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高二2016年第一学期期中考试理科数学试题(含答案)


2016-2017 学年度第一学期高二期中考试 数学试题(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,若输入 x ? 1 则输出的结果为 (
开始 输入 x x<0? 否 是 y=0 x=0? 否 y=2x 输出 y 结束 y=? x 是

)

A. -1 B. 2 C.0 D. 无法判断 2.某公司现有职员 160 人,中级管理人员 30 人,高级管理人员 10 人,要从其中抽取 20 人进行 体检,如果采用分层抽样的方法,则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为() A.8,15,7 B.16,2,2 C.16,3,1 D.12,5,3 3.掷两枚骰子,出现点数之和为 3 的概率是( A. )

1 4

B.

1 9

C.

1 12

D.

1 18


4 已知双曲线 C : A. y ? ?

x2 y 2 5 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
B. y ? ?

1 x 4
165 58 160 52

1 x 3
155 43

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

5.高三学生体检,某班级随机抽取 5 名女学生的身高 x (厘米)和体重 y (公斤)的数据如下表:

x
y

175 62

170 60 )

根据上表可得回归直线方程为 ? y ? 0.92x ? a ,则 a ? (

A. ?96.8 B. 96.8 C. ?104.4 D. 104.4 6. 为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分 (十分制) 如图所示,假设得分的中位数为 me,众数为 mo,则( )

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A.me=mo C.me<mo

B.mo<me D.不能确定

7.过抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点作直线交抛物线于 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,那 么 AB ? ( )

A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 8.为了测算如图阴影部分的面积, 作一个边长为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投 掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是( )

A.12

B.9

C.

D.6 )

9.在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 ,公差为 d ,则“ d ? 4 ”是“ a1,a2,a5 成等比数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10 已知向量 a ? ?1,1,0? , b ? ? ?1,0, 2 ? ,且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值为( A. 1 B.

?

?

? ?
D.

? ?



1 5

C.

3 5

7 5


11.把长为 80 cm 的铁丝随机截成三段,则每段铁丝长度都不小于 20 cm 的概率是( A.

1 16

B.

1 8

C.

1 4

D.

3 16

12. 点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 左支上的一点, 其右焦点为 F ? c,0? , 若 M 为线段 FP a 2 b2
c ,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) 8 4 5 C. ( , ) D. (2,3] 3 3
试卷第 2 页,总 4 页

的中点,且 M 到坐标原点的距离为 A. (1,8] B. (1, ]

4 3

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.若方程

x2 y2 + ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 k ?1 k ? 3



14.已知在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ? AB ? 2 ,

2 的概率为______. 3 ? ? ? ? ?? a ? (2, ? 1, 2) b ? ( ? 1,3, ? 3) c ? (13,6, ? ) a 15.已知 , , ,若向量 , b, c 共面,则 ? ?
在该四棱锥内部或表面任取一点 O ,则三棱锥 O ? PAB 的体积不小于



x2 y 2 2 16.已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,长轴 ?? 上的 100 等分点从左到右依次 a b 2
为点 ?1 ,? 2 ,??? ,?99 ,过 ? i( i ? 1 ,2 ,??? ,99 )点作斜率为 k ( k ? 0 )的直线 li ( i ? 1 ,

2 ,??? ,99 ) ,依次交椭圆上半部分于点 ?1 ,?3 ,?5 ,??? ,?197 ,交椭圆下半部分于点 ?2 ,?4 ,

?6 , ??? , ?198 ,则 198 条直线 ??1 , ??2 , ??? , ??198 的斜率乘积为
三、解答题(17 小题 10 分,其他每题 12 分,共 70 分)



2 17.已知 p :“直线 x ? y ? m ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相交”; q :“方程 x ? x ? m ? 4 ? 0

的两根异号”.若 p ? q 为真, ? p 为真,求实数 m 的取值范围. 18.某校高三年级在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序,选出前 300 名学生,并对这 300 名学生按成绩分组,第一组 [75,80) ,第二组 [80,85) ,第三组 [85,90) ,第 四组 [90,95) ,第五组 [95,100] ,如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四 组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.

(I)请在图中补全频率直方图; (II)若 B 大学决定在成绩高的第 4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生,并且分成 2 组,每 组 3 人进行面试,求 95 分(包括 95 分)以上的同学被分在同一个小组的概率.
试卷第 3 页,总 11 页

19.已知棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 BC 的中点, F 为 A1 B1 的中点。 D1 A1 D (1)求证: DE ? C1 F ; A B E F B1 C1

C

(2)求异面直线 A1C 与 C1 F 所成角的余弦值。 20.焦点在 x 轴上的抛物线,准线方程 x=-2 (1)求该抛物线的标准方程。 (2)过点 Q(4,1)做该抛物线的弦 AB,该弦恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程。 21 . 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? ABCD





A ? B

, P A/ /A , B 且C D

P ? B

B? C

6? B, D

2 ? C D2 ?

0 . 2 A ,B ?

? 1 P2 A0 D

(Ⅰ)求证:平面 PAD ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值.

x2 y 2 1 22.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,其离心率 e ? ,点 P 为椭圆 2 a b
上的一个动点,△ PF 1F2 面积的最大值为 4 3 . (1)求椭圆的标准方程; ( 2 ) 若 A, B, C , D是 椭 圆 上 不 重 合 的 四 个 点 , AC 与 BD 相 交 于 点 F 1 , AC ? BD ? 0, 求

??? ? ??? ?

???? ??? ? AC ? BD 的取值范围.

试卷第 4 页,总 4 页

2016-2017 学年度第一学期万全中学高二期中考试卷

数学(理科)
第 I 卷(选择题)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 【答案】B 2. 【答案】C 3. 【答案】D 4. 【答案】C 5. 【答案】A 6. 【答案】B 7. 【答案】C 考点:抛物线的定义. 8. 【答案】B 9. 【答案】A 10 【答案】D 考点:空间向量垂直的充要条件. 11. 【答案】A【解析】

?80 ? x ? 20 ?80 ? x ? 20 ? ? 试题分析: 设三段长度分别为 x, y,80 ? x ? y ,?80 ? y ? 20 即 ?80 ? y ? 20 可行域如 ?80 ? 80 ? x ? y ? 20 ?60 ? x ? y ? 0 ? ? ?80 ? x ? 0 ?80 ? x ? 0 1 ? ? 下图所示,面积为 ? 20 ? 20 ? 200 .总的可行域为 ?80 ? y ? 0 即 ?80 ? y ? 0 可行 2 ?80 ? 80 ? x ? y ? 0 ?80 ? x ? y ? 0 ? ?
域如下图所示,面积为

1 200 1 ? 80 ? 80 ? 3200 ,故概率为 ? . 2 3200 16

考点:几何概型. 12. 【答案】B【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 设 P ( x, y ) , x ? ? a , ∴ M (

( x ? c) 2 y 2 c 2 x?c y , ), ∴ ? ? ,即 2 2 4 4 64

试卷第 5 页,总 11 页

x 2 ? 2cx ? c 2 ?
∴(

b2 2 2 c 2 c 1 c x ? b ? ? ( x ? a)2 ? c 2 ,∵ x ? ? a ,∴ x ? a ? ?c ? a , 2 a a 16 a 16

c 1 1 c 4 4 x ? a) 2 ? (?c ? a) 2 ? c 2 ? (?c ? a) 2 ? c ? c ? a ? e ? ? ,∴ 1 ? e ? ,考点: a 16 4 a 3 3

双曲线的标准方程及其性质.

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 【答案】 1 ? k ? 3 考点:双曲线的简单性质. 14. 【答案】

5 【解析】 16

试题分析:由题意得,如图, AD, BC, PC, PD 的中点分别为 E , F , G, H ,当点 O 在几何体

CDEFGH 内 部 或 表 面 上 时 , VO ? P A D?

2 . 在 几 何 体 CDEFGH 中 , 连 接 G D, G E, 则 3

VC D E F G ? H V ?G

CDEF ?

? V

G

5 ?D C H ,又 VP ? ABCD 6

5 8 5 ? ,则所求概率为 6 ? . 8 3 16 3

考点:1.线面垂直的性质;2.锥体体积;3.几何概型. 15. 【答案】3 考点:共线向量与共面向量

1 99 16. 【答案】 2 ?
【解析】 试 题 分 析 : 先 证 一 个 结 论 : 对 于 椭 圆 上 非 长 轴 端 点 任 一 点 P, 有

k AP kBP ?

y2 yP y b2 1 p ? P ? 2 ? ? ?? 2 2 x p ? a x p ? a xP ? a a 2





















k AP1 k AP198 ? k AP1 k BP1 ? ?

1 1 1 (? )99 ? ? 99 ??1 ,??2 ,??? ,??198 的斜率乘积为 2 2, 2 因此 198 条直线

考点:椭圆性质 【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多
试卷第 6 页,总 4 页

少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题 同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最 后必定参数统消,定点、定值显现. 三、解答题(17 小题 10 分,其他每题 12 分,共 70 分) 17. 【答案】 ? ? , 1 ? 2 ? 1 ? 2 , 4

?

? ?

?
1? m 2 ? 1,
或 ?? 9 分

【解析】 试题分析:∵ p ? q 为真, ? p 为真,∴ p 假 q 真. 若 p 为假:由圆心 ?1 , 0 ? 到直线的距离 d 不小于半径 1 ,即 d ?



m ? 1? 2

m ? 1? 2 .
若 q 为真:由韦达定理知: x1 x2 ? m ? 4 ? 0 即 m ? 4 . 所以当 p 假 q 真时, m ? 1 ? 2 或 1 ? 2 ? m ? 4 . 故

?? ? , 1 ? 2 ?? ?1 ?

m











是 ??13 分



2,4 .

?

考点:本小题注意考查复合命题真值表的应用,直线与圆的位置关系,二次方程根的情况. 点评:解决此类问题,应该先根据复合命题的真值表判断出两个命题的真假,进而求解各个命题 的真假,一般情况是先求命题为真时的范围,如果命题为假,则求它的补集. 18. 【答案】 (I)频率直方图见解析; (II) 【解析】 试题分析: (I)由图象可知可得所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次是 30 人, 45 人, 60 人, 75 人, 90 人.即可绘制的频率分布直方图; (II)设第四组抽取的四人为

2 . 5

A1,A2,A3,A4 ,第五组抽取的 2 人为 B1,B2 ,这六人分成两组有两种情况,情况一: B1,B2 在
同一小组有 4 种可能结果,所有情况总共 10 种可能结果,所以两人被分在一组的概率为

4 2 ? . 10 5

试题解析: (I)由图象可知第五组为: 0.02 ? 5 ? 300 ? 30 人,第五组、第一组、第四组、第二 组、第三组的人数依次是一个以 30 分为首项,总和为 300 的等差数列,所以第五组、第一组、第 四组、第二组、第三组的人数依次是 30 人, 45 人, 60 人, 75 人, 90 人.则绘制的频率分布直

试卷第 7 页,总 11 页

方图如图所示.

(II) 第四组中抽取人数:

6 6 ? 60 ? 4 人, 第五组中抽取人数: ? 30 ? 2 人, 所以两组共 6 人. 设 90 90

第四组抽取的四人为 A 第五组抽取的 2 人为 B1,B2 , 这六人分成两组有两种情况, ,A2,A3,A4 , 1 情 况 一 : B1,B2 在 同 一 小 组 : ( A ,A2,A3 ), ( A4,B1,B2 ) ; ( A1,A2,A4 ), ( A3,B1,B2 ) ; 1

( A1,A3,A4 ), ( A2,B1,B2 ) ; ( A2,A3,A4 ), ( A1,B1,B2 ) ,共有可能 4 种结果,情况二:不在同
一 小 组

( B1,A,A ,A ,A ) 1 ),(B2

2



3

( B1,A1 ,A3 ),(B2,A2,A4 ) 4



( B1,A1,A4 ), ( B2,A2,A3 ) ; ( B1,A2,A3 ), ( B2,A1,A4 ) ; ( B1,A2,A4 ), ( B2,A1,A3 ) ; ( B1,A3,A4 ), ( B2,A1,A2 ) ,共有 6 种可能结果,两种情况总共 10 种可能结果,所以两人被分在
一组的概率为

4 2 ? . 10 5

考点:1、频率分布直方图;2、古典概型. 19. 【答案】 (1)详见解析; ( 2) 【解析】 试题分析: (1) 建立空间直角坐标系, 求 DE, C1 F 的坐标, 计算两向量的数量积; (2) 求 A1C , C1 F 的坐标,利用两向量夹角的余弦值计算. 试题解析: ( 1 ) 以 D 为 原 点 , 以 DA, DC, DD1 为 x, y , z 的 正 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,
? ? a ? ?a ? ? a ? ?a ? ? D?0, 0, 0?, E? , a,0 ?, C1 ?0, a, a ?, F ? a, , a ? , 所 以 DE ? ? , a,0 ? , C1 F ? ? a,? ,0 ? , 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ?2 ?

15 . 5
? ? ? ?

DE? C1 F ? 0 ,所以 DE ? C1 F .

?

?

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(2) A1 ?a,0, a ?, C ?0, a,0? , A1C ? ?? a, a,?a ? , C1 F ? ? a,?

?

?

? ?

a ? ,0 ? , 2 ?

A C , C1 F cos ? A1C , C1 F ?? 1 ? A1C C1 F
? ?

?

?

3 ? a2 15 2 ,所以异面直线 A1C 与 C1 F 所成角的余弦 ? 5 5 3a ? a 2

值是

15 5

考点:1.空间向量的应用;2.垂直的证明;3.异面直线所成角. 20. 【答案】 (1)

y 2 ? 8x (2)4x-y-15=0
10 . 5

21. 【答案】 (I)证明见解析; (Ⅱ)

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据平面与平面垂直的判定定理可知,要在其中一个面内找一直线与另一平面垂 直,即证明 AB ? 平面 PAD ; (Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AD 为 y 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值. 试题解析:(1)∵BC=BD,E 为 CD 中点,∴BE⊥CD, ∵AB∥CD,∴CD=2AB, ∴AB∥DE,且 AB=DE,∴四边形 ABED 是矩形, ∴BE∥AD,BE=AD,AB⊥AD, ∵AB⊥PA,又 PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD,且 CD⊥AD, 又∵在平面 PCD 中,EF∥PD,∴CD⊥EF, ∵EF∩BE=E,∴EF?平面 BEF,BE?平面 BEF, 又 CD⊥BE,∴CD⊥平面 BEF, ∵CD?平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD. (2)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,建立空间直角坐标角系, ∵PB=BC=BD= 6 ,CD=2AB=2 2 ,∠PAD=120°,
2 2 ∴PA= ?? ? ?? = 6 ? 2 =2,AD=BE= ?D ? ?? ? 6 ? 2 =2,

2

2

2 2 BC= ?? ? C? = 2 ? 2 =2,

则 P(0,﹣1, 3 ),D(0,2,0),B( 2,0,0 ),C(2 2 ,2,0),
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??? ? ??? ? ??? ? ?D =(0,3,﹣ 3 ), ?? =(﹣ 2, ?1, 3 ), ? C =( 2, 2,0 ),
设平面 PBC 的法向量 n =(x,y,z),

?

? ? ??? ? n ? ? C ? 2x ? 2 y ? 0 ? 3 ? ? ? ??? ? n ? ?? ? ? 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? 则? ,取 x= 2 ,得 n =( 2, ?1 , 3 ),
设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 θ ,

??? ? ? ? D, n >|=| sinθ =|cos<

??? ? ? ?D ? n ??? ? ? ?D ? n

?3 ? 1 10 10 12 ? 3 |= 5 |=|

∴直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值为

10 . 5

考点:直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法, 解题要认真审题,注意和法的合理运用.利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平 面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角) . (2)通过平面的法向量 来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

x2 y 2 ? 96 ? ? ? 1 (2) ? ,14 ? 22. 【答案】 (1) 16 12 ?7 ?
【解析】(1)由题意得,当点 P 是椭圆的上、下顶点时,△ PF 1F2 的面积取最大值, 此时 S? PF1F2 ?

1 1 F1 F2 ? OP ? bc, 所以 bc ? 4 3. 因为 e ? , 所以 b ? 2 3 , a ? 4 , 2 2

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ,则 F1 的坐标为 ? ?2,0? , 16 12
??? ?

(2)由(1)得椭圆方程为

因为 AC ? BD ? 0 ,所以 AC ? BD .
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???? ??? ?

??? ?

①当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时,易得 AC ? BD ? 6 ? 8 ? 14 . ②当直线 AC 斜率 k 存在且 k ? 0 时,则其方程为 y ? k ? x ? 2? ,设 A? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,

????

??? ?

? y ? k ? x ? 2? , ? 则点 A 、 C 的坐标是方程组 ? x 2 y 2 的两组解, ?1 ? ? ?16 12
2 2 2 2 所以 3 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 48 ? 0.

?

?

? 16k 2 x ? x ? ? , ? ? 1 2 3 ? 4k 2 所以 ? 2 ? x x ? 16k ? 48 , 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
所以 AC ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 直线 BD 的方程为 y ? ?

??? ?

24 ? k 2 ? 1? 3 ? 4k 2

.

1 ? x ? 2? . k

??? ? 24 ? k 2 ? 1? 同理可得 BD ? , 4 ? 3k 2
???? ??? ? 24 ? k 2 ? 1? 24 ? k 2 ? 1? 168 ? k 2 ? 1? , AC ? BD ? ? ? 3 ? 4k 2 4 ? 3k 2 ?3 ? 4k 2 ?? 4 ? 3k 2 ?
2

令 t ? k ? 1? k ? 0? ,则 t ? 1, AC ? BD ?
2

??? ?

??? ?

168 , t ?1 12 ? 2 t
2

1 t ?1 ?1 1 ? 1 因为 t ? 1 ,所以 0 ? ? 1 , 2 ? ? ? ? ? ? , t t ?t 2? 4
所以 0 ?

t ?1 1 ? , t2 4

所以 AC ? BD ? ? ,14 ? . ?7 ? 考点:椭圆方程与性质,直线与椭圆相交的位置关系.

????

??? ?

? 96

?

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