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函数单调性课件_图文

函数的单调性

观察第一组函数图象,指出其变化趋势.

y
y=x+1
1

y
1

y
1
1

O 1

x

O

x

O

1

x

上升 从左至右图象呈______趋势.

观察第二组函数图象,指出其变化趋势.

y=-x+1

y
1

y
1 1

y
1

O

x

O 1

x

O

1

x

下降 从左至右图象呈______趋势.

观察第三组函数图象,指出其变化趋势.

y
-1

y
1 1

y=x2

y
1

O

1

-1

x

O

1

x

O

1

x

局部上升或下降 从左至右图象呈______________趋势. 在定义域内的某个区间上
图像从左到右逐渐上升 图像从左到右逐渐下降 自变量x增大, 因变量y也增大 自变量x增大, 因变量y反而减小

函数单调性定义
函数 y ? f ( x ) ,定义域为A,区间 I ? A 如果在区间I内随着自变量 x 的增大,因变量 y 也增大 ,那么我们称在区间I上单调增,也称在 区间I上是增函数 如果在区间I内随着自变量 x 的增大,因变量 y 减小 ,那么我们称在区间I上单调减,也称在区 间I上是减函数

y

区间I上图象从左到右逐渐上升 区间I内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N


对区间I内

x1,x2 ,
有f(x1)<f(x2)

当x1<x2时,

I

x1

x2

x

y

区间I上图象从左到右逐渐上升 区间I内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N


对区间I内 任意 x1,x2 ,

I x 1

当x1<x2时,

有f(x1)<f(x2)

x2

x

y

区间I上从左到右图象逐渐上升 区间I内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N
对区间I内 任意 x1,x2 ,

I x1

都 当x1<x2时, 有f(x1)<f(x2)

x2

x

定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数,I 称为
增区间.

设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ), f (x)的单调

类比增函数的研究方法定义减函数. y y
f(x2) f(x1)

f(x1) f(x2)

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A.

O

x1

x2

x

如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2, 的任意两个自变量的值x1,x2,

当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),
那么就说在f(x)这个区间上是 增 函数, I称为f(x)的单调 增 区间. 单调区间 减

>


(1)函数单调性是针对定义域A内的某个子区间I而言的, 是一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性;

x (2)x 、 在区间I内取任意值,不能用特殊值来代替.
1
2

判断1:函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是单调增函数;( × ) 判断2:函数 f (x)在区间[1,2]上满足 f (1)<f(2),则函数 f (x)在[1,2]上是增函数.(
y

×)
y
f(2)

y ? x

2

f(1) O 1 2x

o

x

例题1:根据图像指出y

? f ( x ) 单调增区间和单调减区间

单调增区间是: [ ? 2 ,1] , [3, 5 ] 单调减区间是: [ ? 5, ? 2 ] , [1, 3]

例2. 指出下列函数的单调区间:

(1) y ? 7 x ? 2
无单调减区间

(2) y ? ? 2 x ? 4
y
2

解:(1) y ? 7 x ? 2的 单 调 增 区 间 是 ( ?? , ?? )
( 2 ) y ? ? 2 x ? 4的 单 调 减 区 间 是 ( ?? , ?? )
4

y? 2
7

o

x

无单调增区间

归纳:函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的单调性
y ? kx ? b

o 2

x

单调增区间
( ?? , ?? )

单调减区间

K>0

K<0

( ?? , ?? )

例3.指出下列函数的单调区间:
(1) y ? ? x ? 2 .
2

(2) y ? x ? 2.
2

y
2 1

y=-x2+2

解:
y ? ? x + 2 的 单 调 增 区 间 是 _______;
2

(?? , 0]

2 [0, ? ? ) y ? ? x + 2 的 单 调 减 区 间 是 _______.

-2 -1 O -1 -2

1

2

x

思考1:函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 2 的单调区间呢? 思考2:函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调区间呢? 归纳: 函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的单调性
2

y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的对称轴为
2

x??

b 2a

y ? ax ? bx ? c
2

单调增区间
? b ? ? , ?? ? ? 2a ? ?

单调减区间
b ? ? ? ?? , ? 2a ? ? ?
? b ? ? , ?? ? ? 2a ? ?

a>0
a<0

b ? ? ? ?? , ? 2a ? ? ?

例4. 指出下列函数的单调区间:

y

y ?

1 x

y ?

1 x

y 解: ?

1 x

(? ? , 0) , (0, ? ? 的 单 调 减 区 间 是 _____________ )

O

没有单调增区间 x 1 思考1: 能 不 能 说 y ? x 在 定 义 域 ( ? ? , 0 ) ? (0 , ? ? ) 上
是单调减函数?
?1 x

思考2:函数
y ? ?1 x

y ?

的单调区间是什么?

的单调增区间是 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? )
(k ? 0)

归纳: y

?

k x

在 ? ? ? , 0 ? 和 ? 0 , ? ? ? 上的单调性?

y ?

k x

(k ? 0)

的单调区间
单调增区间 单调减区间
(?? , 0) , (?? , 0) ,
(0, ? ? ) (0, ? ? )

y ?

k x

k ? 0

k ? 0

1.指出下列函数的单调区间?
(1) f ( x ) ? 3 ? 2 x (2) f ( x ) ? 2 x (3) f
2

? 3x ? 1
3 x

?x ?

? ?

(1)单调减区间
(2)单调减区间

? ? ? , ?? ?
3 ? ? ? ?, ? ? 4 ? ?

单调增区间
(0, ? ? )

? 3 ? , ?? ? ? ? 4 ?

(3)单调增区间 ( ? ? , 0 )



例题讲解
例5 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调 性,并加以证明. 解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图 在R上是上升的,函数是R上的增函数. y y=3x+2 证明: 任取x1,x2∈R,设x1<x2, 取值
所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) 作差 =3(x1-x2), 变形
? x1 ? x 2 ? x 1 ? x 2 ? 0
5 4 3
2 1 2 x

即 f(x1)<f(x2) 单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是R上的增函数.

O1 定号 判断 下结论

例6.判断函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增加的还是减少的,并 证明你的结论
3 解: f ? x ? ? ? x ? 1 在

? ? ? , 0 ? 上是减少的,证明如下:在 x 1 ? x 2 ? 0

,则

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? x1 ? 1 ? ? x 2 ? 1 ? ? x1 ? x 2
3 3 3

?

? ? x 2 ? x1 ? x 2 ? x 2 x1
2

?

? ? ? x ?
2 1

?

3

由 x 1 ? x 2 ? 0 ,得 x 2 ? x 1 ? 0 ,且 x 2 ? x 2 x 1 ? x 1 ? 0
2 2

即 f ( x1 ) ? f ? x 2 ? ? 0
3

所以 f ? x 1 ? ? f ? x 2 ?

即 f ? x ? ? ? x ? 1在? ? ? , 0 ? 上是单调递减的

【点评】 证明函数的单调性关键步骤就是对函数值增量的 变形,常用的变形有配方法、分子(母)有理化等。

(5)复合函数的单调性 复合函数: y=f[g(x)] 令 u=g(x) 内函数
则 y=f(u) y=f[g(x)] 外函数 原函数

以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量

复合函数单调性结论: ①当内外函数在各自定义域内同增同减 时,原函数增; ②当内外函数在各自定义域内一增一减 时,原函数减.

复合函数的单调性
复 合 函 数 f[g(x)] 的 单 调 性 与 构 成 它 的 函 数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下:
函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)] 单调性 增 减 减 增 减 减

增 增 增

减 减 增

利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增, 则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处 有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).

例:已知函数 f ? x ? ?

2 x ?1

? x ? ?2 , 6 ?? ,求函数的最大值和最小值

解:设 x 1 , x 2 是区间 ? 2 , 6 ?上的任意两个实数,且 x 1 ? x 2 则 2 2 2 ?? x 2 ? 1 ? ? ? x 1 ? 1 ? ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? 1 ? x2 ? 1

?

?

2 ? x 2 ? x1 ?

? x 1 ? 1 ?? x 2

? 1?

? x1

? 1 ?? x 2 ? 1 ?

由 2 ? x ? x ? 6 得 x ? x ? 0 , x ? 1 ?? x ? 1 ? ? 0 ? 1 1 2 2 1 2 于是 f ? x ? ? f ? x ? ? 0 1 2 所以,函数 f 因此,函数 f
?x ?
?

即 f ?x ? ? f ?x ? 1 2
2 x ?1
2

?

是区间 ? 2 , 6 ? 上的减函数

?x ?

x ? 1

是区间 ? 2 , 6 ?的两个端点上分别取得最大值与最小值

即x=2时最大值是2,x=6时最小值是0.4

1.函数单调性的定义. 2.判断函数单调性的一般方法及证明方法. 3.一次函数、二次函数、反比例函数的单调性.


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