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选修2-1空间向量与立体几何教案


空间向量与立体几何
一、知识网络: 空间向量的加减运算 空 间 向 量 及 其 运 算 空间向量的数乘运算 共线向量定理

共面向量定理

空 间 向 量 与 立 体 几 何

空间向量的数量积运算

空间向量基本定理

平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算

立 体 几 何 中 的 向 量 方 法

向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角 求空间距离

二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作 用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考 对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和 距离。 预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利 用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处

1

理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基 本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的 数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共 线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 P128 页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二) 、知识梳理,方法定位。 (学生完成复资 P128 页填空题,教师准对问题讲评) 。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同 向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平 移。 2.向量运算和运算率

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b
B C

? OP ? ?a(? ? R)
加法交换率: a ? b ? b ? a. 加法结合率: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ). 数乘分配率: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b.

? b
?
O

?

?

?

? a

A

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法 的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 ? ? ? ? 叫做共线向量或平行向量。 a 平行于 b 记作 a ∥ b 。 ? ? 注意:当我们说 a 、 b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 ? ? 我们说 a 、 b 平行时,也具有同样的意义。
? ? ? ? ? ? ? 共线向量定理:对空间任意两个向量 a ( a ≠ 0 ) 、 b , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? 使 b = ? a ? ? ? ? ? ? (1)对于确定的 ? 和 a , b = ? a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | ? a |,当 ? >0 时与 a 同向, ? 当 ? <0 时与 a 反向的所有向量。 ? (3)若直线 l∥ a , A ? l ,P 为 l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导 OP 的表达式。

2

推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满足等式

?

OP ? OA ? ta

?



? 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 当t ?

?

OP ? (1 ? t )OA ? tOB. ②
OP ? 1 (OA ? OB ). 2

1 时,点 P 是线段 AB 的中点,则 2



①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段 AB 的中点公式。 注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵ 推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 ? ? 4.向量与平面平行:如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 ? 平行或 a 在 ? 平面内,我们就 ? ? ? 说向量 a 平行于平面 ? ,记作 a ∥ ? 。注意:向量 a ∥ ? 与直线 a∥ ? 的联系与区别。 共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 ? ? ? ? ? 共面向量定理 如果两个向量 a 、 b 不共线,则向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在实数 对 x、y,使 p ? xa ? yb. ① 注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使

?

?

?

MP ? xMA ? y MB, ④
或对空间任一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? y MB. ⑤ 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面 MAB 的向量表示式。 又∵ MA ? OA ? OM ,. MB ? OB ? OM ,. 代入⑤,整理得

OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB.



由于对于空间任意一点 P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式) ,点 P 就在平面 MAB 内;对于平面 MAB 内的任意一点 P,都满足等式④、⑤、⑥,所以等式④、⑤、⑥都是由 不共线的两个向量 MA 、 MB (或不共线三点 M、A、B)确定的空间平面的向量参数方程,也是 M、A、B、 P 四点共面的充要条件。 ? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的 有序实数组 x, y, z, 使 p ? xa ? yb ? zc. ? ? ? 说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么所有空间向量所组成的集合就是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这个集合可看作由向量 a 、b 、c 生成的, 所以我们把{ a ,b ,c } p | p ? xa ? yb ? zc , x、y、z ? R , ? ? ? 叫做空间的一个基底, a ,b , c 都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一 个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的 ? 概念;⑷由于 0 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含 ? 着它们都不是 0 。

?

?

?

?

?

?

3

推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组 x、 y、 z , 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC.
? ? ? ? (1)夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点 O,作 OA ? a , OB ? b ,则角∠AOB ? ? ? ? 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ?a,b ?

6.数量积

说明:⑴规定 0≤ ?a,b ? ≤ ? ,因而 ?a,b ? = ?b ,a? ; ⑵如果 ?a,b ? =

?

?

?

?

?

?

A
? a

?

?

? ? ? ? ? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a ⊥ b ; 2

⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点 (1) 、 (2)中的两个向量的夹角不同, 图(1)中∠AOB= ?OA, OB? , 图(2)中∠AOB= ? ? ? AO, OB? , 从而有 ? ?OA, OB? = ?OA,?OB? = ? ? ?OA, OB? .

O
? a

B (1) ? A a
? a

重合,注意图

O
? a

(2)

B
? a

(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积: a b cos? a , b ? 叫做向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b 。 即 a ? b = a b cos? a , b ? , 向量 AB 在e 方向上的正射影:

? ?

? ?
?

? ?

B

? e
A
A?

B?
l

? ? ? ? a ? e ?| AB | cos?a, e? ? A?B?
(4)性质与运算率 ⑴ a ? e ? cos? a , e ? 。 ? ? ? ? ⑵ a ⊥ b ? a ? b =0 ⑶ | a | ? a ? a.
2

? ?

? ?

?

? ?

⑴ (?a) ? b ? ? (a ? b ) ? ? ? ? ⑵a ?b =b ?a ? ? ? ? ? ? ? ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

? ?

? ?

(三) .典例解析 题型 1:空间向量的概念及性质 例 1、有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共 线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么点 O, A, B, C 一定共面; ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c ,也是空间的一个基底。其中正确的命题是

? ?

? ?

??? ? ??? ? ????

? ??

? ? ? ??

4



) 。

( A) ①②

( B ) ①③

(C ) ②③

( D) ①②③

解析: 对于① “如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底, 那么 a, b 的关系一定共线” ; 所以①错误。②③正确。 题型 2:空间向量的基本运算 例 2、 如图: 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M
D1 A1 M B1 C1

? ?

? ?



A1C1



B1 D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , AA 1 ? c ,则
BM 相等的向量是(

A

??? ?

?

????

?

???? ?

下列向量中与
D B C

1? 1? ? ? a? b ?c ( A) 2 2

1? 1? ? 1? 1? ? a ? b ? c ? a? b ?c (B) (C ) 2 2 2 2

( D)

1 1 a? b?c 2 2

解析:显然 BM ? BB1 ? B1 M ?

1? 1? ? 1 ( AD ? AB ) ? AA1 ? ? a ? b ? c ;答案为 A。 2 2 2

点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几 何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空 间想象能力。 例 3、 已知:a ? 3m ? 2n ? 4 p ? 0, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp, 且 m, n , p 不共面.若 a ∥ b ,求 x, y 的值. 解:? a ∥ b ,,且 a ? 0,? b ? ?a, 即 ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ? 3?m ? 2?n ? 4?p. 又? m, n , p 不共面,?

?

?

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?

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? ? ?

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?

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?

?

? ? ?

x ?1 8 2y ? ? ,? x ? ?13, y ? 8. 3 ?2 ?4

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 例 4、底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AC 的中点,求证:AB1∥平面 C1BD. 证明:记 AB ? a, AC ? b, AA1 ? c, 则
AB1 ? a ? c, DB ? AB ? AD ? a ? 1 1 b, DC1 ? DC ? CC1 ? b ? c 2 2

∴ DB ? DC1 ? a ? c ? AB1 ,∴ AB1 ,

DB, DC1

共面.

∵B1 ? 平面 C1BD, AB1//平面 C1BD. (四)强化巩固导练 1、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心,若 AF ? AD ? x AB ? y AA1 ,求 x-y 的值. 解:易求得 x ? y ? , ? x ? y ? 0 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c,则下列向量 2、 中与 B1 M 相等的向量是 ( A )。
1 2

5

A A.? 1 a+ 1 b+c B. 1 a+ 1 b+c
2 2 2 2
1

B D B
1

C
1

C. 1 a? 1 b+c 2 2

D.? 1 a? 1 b+c 2 2

A

C

M 是侧 棱 CC1 的中点, 3、 (2009 四川卷理)如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各条棱长都相等,
则异面直线 AB1和BM 所成的角的大是 向量 {BA, BB1 , BC } ,则 AB1 ? BB1 ? BA, BM ? BC ? 。 解析:不妨设棱长为 2,选择基

1 BB1 2

cos ? AB1 , BM ? ?

( BB1 ? BA) ? ( BC ? 2 2? 5

1 BB1 ) 0?2? 2?0 2 ? ? 0 ,故填写 90o 。 2 2? 5

(五) 、小结:1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般 是利用 a⊥b ? a?b=0 进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明. 2.运 用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的 模.而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹 角的已知向量表示出来,从而求得结果. 3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时 也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式

cosθ = a ? b . 4.异面直线间的距离的向量求法:已知异面直线 l1、l2,AB 为其公垂线段,C、D
a b
| CD ? n | |n|

分别为 l1、l2 上的任意一点, n 为与 AB 共线的向量,则| AB |=

.5.设平面 α 的一个法向量

为 n ,点 P 是平面 α 外一点,且 Po∈α ,则点 P 到平面 α 的距离是 d=

| Po P ? n | |n|

.

(六) 、作业布置:课本 P32 页 A 组中 2、3、4 B 组中 3 课外练习:课本 P39 页 A 组中 8 ;B 组中 3; 复资 P130 页变式训练中 1、2、3、5、6 五、教学反思:

6

第二课时 空间向量的坐标运算 一、复习目标:1、理解空间向量坐标的概念;2、掌握空间向量的坐标运算; 3.掌握用直角坐标计 算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 二、重难点:掌握空间向量的坐标运算;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点 间的距离公式. 三:教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、基础知识过关(学生完成下列填空题) 1、空间直角坐标系: (1) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 , 这个基底叫单位正交基底, 用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} ,以 点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 它们都叫坐标轴. 我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz , 点O z 轴, 叫原点,向量 i, j , k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数 组 ( x, y, z ) , 使 OA ? xi ? y j ? z k , 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3、设 a= (a1 , a 2 , a 3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a±b= (4) a∥b ? 。 ;a ? b ? (2) ? a= . .(3) a?b= .
k i O j y

?? ?

?? ?

z

?? ?

A(x,y,z)

?? ?

x

? ? ? ? 2 2 2 (5)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 . ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? (6)夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
(7)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

??? ?

??? ?2

2

(8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = , AB ? . 。如何求直线的方向向量? 。如何求平面的法向量? .

AB 的中点 M 的坐标为 4、直线的方向向量的定义为 5、平面的法向量的定义为 (二)典型题型探析 题型 1:空间向量的坐标

7

例 1、 (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) , b =(b1,b2,b3) ,它们平行的充要条件是( A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1?b1=a2?b2=a3?b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b



(2)已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( ) A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知;
? ?4 ? 16 ? x 2 ? 36 ? x ? 4, ? x ? ? 4, ? ? ? ? 4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? ? y ? ?3 或 ? y ? 1 . ; 点拨:由题知 ?



(2)A (3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。 例 2、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =
?1 ? 0 ? 0 10 10 2 ? 5 ? - 10 ,∴ a 和 b 的夹角为- 10 。

a ?b | a ||b|

=

(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , 2 2 ∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=2k +k-10=0。 5 则 k=- 2 或 k=2。 点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 ( a + b )(k a -2 b )=k a -k a ? b -2 b =2k +k- 5 10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。 题型 2:数量积 例 3、 (1) (2008 上海文, 理 2) 已知向量 a 和 b 的夹角为 120°, 且| a |=2, | b |=5, 则 (2 a - b ) ? a =_____.
2 2 2 2

? (2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)的夹角都等于 4 。
(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b ><π ) 。 解析: (1)答案:13;解析:∵(2 a - b ) ? a =2 a - b ? a =2| a | -| a |?| b |?cos120°=2?4
2 2

8

-2?5(-

2 2 2 2 1 )=13。 (2)解:(1)∵| a |=| b |=1,∴x 1 +y 1 =1,∴x 2 =y 2 =1. 2

2 ? ? 4 4 又∵ a 与 c 的夹角为 ,∴ a ? c =| a || c |cos = 2
6 又∵ a ? c =x1+y1,∴x1+y1= 2 。

6 12 ? 12 ? 12 = 2 .

另外

2 x1

2 +y 1

6 1 1 2 =(x1+y1) -2x1y1=1,∴2x1y1=( 2 ) -1= 2 .∴x1y1= 4 。
2

(2)cos< a , b >=

a ?b | a ||b|
2

6 1 =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= 2 ,x1y1= 4 .

6 1 ∴x1,y1 是方程 x - 2 x+ 4 =0 的解. ? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 , ? x1 ? , , ?x2 ? , ? x1 ? ?x2 ? ? ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ? ? ? ? y1 ? , ? y1 ? . y2 ? , ?y2 ? . ? ? 4 4 4 4 ∴? 或? 同理可得 ? 或?
? ? 6? 2 6? 2 , ? x1 ? y 2 ? , ? x1 ? y 2 ? ? ? 4 4 ? ? 6? 2 6? 2 ? ? x 2 ? y1 ? , ? x 2 ? y1 ? . ? 4 4 ∵ a ≠ b ,∴ ? 或?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 1 1 1 4 4 4 4 ∴cos< a , b >= ? + ? =4+4=2.

? ∵0≤< a , b >≤π,∴< a , b >= 3 。评述:本题考查向量数量积的运算法则。 题型 3:空间向量的应用

例 4、 (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤4 3 。 (2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上,使物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =( 13a ? 1 , 13b ? 1 , 13c ? 1 ), n =(1,1,1), 则| m |=4,| n |= 3 . ∵ m ? n ≤| m |?| n |, ∴ m ? n = 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤| m |?| n |=4 3 .
1 13 a ? 1 13 b ? 1 13 c ? 1 当 = = 时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。
1 1 1

(2)解:W=F?s=(F1+F2+F3)? M 1 M 2 =14。 点评: 若 m =(x, y, z), b, c), 则由 m ? 得(ax+by+cz) ≤(a +b +c )(x +y +z ). n =(a, n ≤| m |?| n |,
2 2 2 2 2 2 2

此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| a |?| b |≥ a ? b 的应用,解题时要先根据题设条件构造向 量 a , b ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。

9

(三) 、强化巩固训练 1、(07 天津理,4)设 a 、 b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a ? b ) c -( c ? a ) b = 0 ②| a |-| b |<| a - b | ③( b ? c ) a -( c ? a ) b 不与 )

2 2 (3 a -2 b )=9| a | -4| b | 中,是真命题的有( c 垂直 ④(3 a +2 b )

A.①② B.②③ C.③④ 解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;答案:D

D.②④

②由向量的减法运算可知| a |、 | b |、 | a - b |恰为一个三角形的三条边长, 由 “两边之差小于第三边” , 故②真; ③因为[ ( b ? c ) a -( c ? a ) b ] ? c =( b ? c ) a ? c -( c ? a ) b ? c =0,所以垂直.故③假; ④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9? a ? a -4 b ? b =9| a | -4| b | 成立.故④真. 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。 2、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥ OA ,求 AC . 解:设 OC ? ? x, y, z ? , BC ? ? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? , ∵ OC ? OA, BC ∥ OA ,∴ OC ? OA ? 0 , BC ? ? OA ? ? ? R ? ,
2 2

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??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?3 x ? z ? 0, ? x ? 1 ? 3? , ? ?3x ? z ? 0, ? ∴? ,即 ? ? ?? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ? ? ? 3, 0,1? ? y ? 1 ? 0, ? ? z ? 2 ? ?.
解此方程组,得 x ? ?

7 21 1 , y ? 1, z ? , ? ? 。 10 10 10

(四) 、小结: (1) 共线与共面问题;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题;运用向量来 解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示, 本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行 向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到 解决.在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程. (五) 、作业布置:课本 P56 页 A 组中 6、11、12、19 课外练习:限时训练 53 中 2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思:

10

第三课时 空间向量及其运算强化训练 一、复习目标:1、了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示;2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表 示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;4、通过本课强化训练,使学生进一步熟练理解和掌 握上述概念和运算方法,提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点:空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳。 四、教学过程 (一) 、基础自测(分组训练、共同交流) 1.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面;②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; ③若 MP =x MA +y MB ,则 P、M、A、B 共面;④若 P、M、A、B 共面,则 MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是( B ) 。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 AB > CD D.若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0,则 AB ∥ CD 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( A.x=1,y=1 C.x= ,y=1 6
3 2

C

) 。
1 2
3 2

B.x= ,y=D.x=- ,y=
1 6

1 2

4.已知 A(1,2,3) ,B(2,1,2) ,P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA ? QB 取最小值时, 点 Q 的坐标是 . 答案
? 4 4 8? ? , , ? ? 3 3 3?

5.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 OE = 表示). (二) 、典例探析 例 1、如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA1 =a,
AB =b, AD =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,

(用 a,b,c

答案

1 1 1 a+ b+ c 2 4 4

试用 a,b,c 表示以下各向量: (1) AP ; (2) A1 N ; (3) MP + NC1 .

11

解 (1)∵P 是 C1D1 的中点,∴ AP = AA1 + A1D1 + D1 P =a+ AD + (2)∵N 是 BC 的中点,∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+ (3)∵M 是 AA1 的中点,∴ MP = MA + AP = 又 NC 1 = NC + CC 1 =

1 1 1 D1C1 =a+c+ AB =a+c+ b. 2 2 2

1 1 1 BC =-a+b+ AD =-a+b+ c. 2 2 2

1 1 1 1 1 a+ b+c, A1 A + AP =- a+(a+c+ b)= 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 3 1 3 BC + AA1 = AD + AA1 = c+a,∴ MP + NC 1 =( a+ b+c)+(a+ c)= a+ b+ c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2

例 2、如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值. (1)证明 设 AB =p, AC =q, AD =r. 由题意可知:|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°.
MN = AN - AM =

1 1 1 ( AC + AD )- AB = (q+r-p) , 2 2 2 1 2
2

∴ MN ? AB = (q+r-p) ?p= (q?p+r?p-p )= (a ?cos60°+a ?cos60°-a )=0. ∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD. (2)解 由(1)可知 MN = (q+r-p)∴| MN | = MN = (q+r-p) = [q +r +p +2(q?r-p?q-r?p) ]= [a +a +a +2( = ?2a =
1 4
2

1 2

1 2

2

2

2

1 2

2

2

1 4

2

1 4

2

2

2

1 4

2

2

2

a2 a2 a2 - )] 2 2 2

a2 . 2

∴| MN |=

2 2 a,∴MN 的长为 a. 2 2
1 p, 2 1 2

(3)解 设向量 AN 与 MC 的夹角为 ? . ∵ AN = ( AC + AD )= (q+r),
1 2 1 2 1 2 1 2
MC = AC - AM =q-

∴ AN ? MC = (q+r) ? (q- p)= (q - q?p+r?q- r?p) = (a - a ?cos60°+a ?cos60°- a ?cos60°)= (a 又∵| AN |=| MC |=
3 a, 2 3 3 a2 . a? a ?cos ? = 2 2 2
1 2
2

1 2

2

1 2

1 2

2

2

1 2

2

1 2

2

a2 a2 a2 a2 + )= . 4 2 4 2

∴ AN ? MC =| AN |?| MC |?cos ? =
2 3

∴cos ? = ,
2 3

2 3

∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为 ,从而异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值为 . 例 3、 (1)求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 a?x=-18 的向量 x 的坐标; (2)已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2) , (4,5,-1) , (-2,2,3) ,求点 P 的坐标使得 AP = ( AB - AC ) ; (3)已知 a=(3,5,-4) ,b=(2,1,8) ,求:①a?b;②a 与 b 夹角的余弦值;
1 2

12

③确定 ? , ? 的值使得 ? a+ ? b 与 z 轴垂直,且( ? a+ ? b) ? (a+b)=53. 解 (1)∵x 与 a 共线,故可设 x=ka, 由 a?x=-18 得 a?ka=k|a| =k( 4 ? 1 ? 4 ) =9k,∴9k=-18,故 k=-2. ∴x=-2a=(-4,2,-4). (2)设 P(x,y,z) ,则 AP =(x-2,y+1,z-2) ,
AB =(2,6,-3) , AC
2 2

=(-4,3,1) ,∵ AP = ( AB - AC ).
1 2 1 2 3 2

1 2

∴(x-2,y+1,z-2)= [ (2,6,-3)-(-4,3,1) ]= (6,3,-4)=(3, ,-2)
?x ? 2 ? 3 ?x ? 5 ? ? 3 ? 1 ∴ ? y ? 1 ? ,解得 ? ?y ? 2 2 ? ? ? z ? 2 ? ? 2 ? z ? 0 ? ?

∴P 点坐标为(5, ,0).

1 2

(3)①a?b=(3,5,-4) ? (2,1,8)=3?2+5?1-4?8=-21. ②∵|a|= 32 ? 52 ? (?4) 2 =5 2 ,
a ?b
?21 5 2 ? 69

|b|= 22 ? 12 ? 82 = 69 ,
7 138 7 138 .∴a 与 b 夹角的余弦值为. 230 230

∴cos〈a,b〉= a b

=

=-

③取 z 轴上的单位向量 n=(0,0,1) ,a+b=(5,6,4).

? ??a ? ?b ? ? a ? 0 依题意 ???a ? ?b ? ? ?a ? b ? ? 53 ?
故?
?? ? 1 ??4? ? 8? ? 0 ? 解得 ? 1 . ?? ? 2 ?29? ? 18? ? 53 ?

即?

??3? ? 2? ,5? ? ? ,?4? ? 8? ?? ?0,0,1? ? 0 ??3? ? 2? ,5? ? ? ,?4? ? 8? ?? ?5,6,4? ? 53

(三) 、强化训练:如图所示,正四面体 V—ABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M. (1)求证:AO、BO、CO 两两垂直; (2)求〈 DM , AO 〉. (1)证明 设 VA =a, VB =b, VC =c,正四面体的棱长为 1, 则 VD = (a+b+c), AO = (b+c-5a),
BO =

1 3

1 6

1 1 (a+c-5b), CO = (a+b-5c) 6 6
1 1 2 (b+c-5a) ? (a+c-5b)= (18a?b-9|a| ) 36 36

∴ AO ? BO = =

1 (18?1?1?cos60°-9)=0.∴ AO ⊥ BO ,∴AO⊥BO,同理 AO⊥CO,BO⊥CO, 36

∴AO、BO、CO 两两垂直. (2)解
DM

= DV + VM =- (a+b+c)+ c= (-2a-2b+c).∴| DM |= ? ?? 2a ? 2b ? c ?? = , 2 3 6 2 ?6 ?

1

1

1

?1

?

2

1

13

1 1 1 1 2 ? | AO |= ? , DM ? AO = (-2a-2b+c) ? (b+c-5a)= , ? ?b ? c ? 5a ?? =

2

?6

?

2

6

6

4

∴cos〈 DM , AO 〉=

1 4 1 2 ? 2 2

=

2 ,∵〈 DM , AO 〉∈(0, ? ),∴〈 DM , AO 〉=45°. 2

(四) 、小结:本节主要有空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直向量坐标之间 的关系以及中点公式,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面 向量类似,具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样,实质没有改变.因而运算的方 法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向 量平行时表达式不一样,但实质是一致的,即对应坐标成比例,且比值为 ? ,对于中点公式要熟记。 (五) 、作业布置:复资 P129 页中 4、5、8、9
AF 补充: 1、 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点, 则 AE ?

的值为( C

)A.a

2

B. a 2

1 2

C. a 2

1 4

D.

3 2 a 4
AC 1 = ,则 C 点的坐标为( AB 3

2、已知 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C 为线段 AB 上一点,且 A. ( ,? , )
7 2 1 5 2 2

C

)

2) B. ( ,? 3,

8 3

C. (

10 7 ,? 1, ) 3 3

D. ( ,? , )

5 2

7 3 2 2

3、如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1,且两 两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 解 记 AB =a, AD =b, AA1 =c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a?b=b?c=c?a= . (1)| AC1 | =(a+b+c) =a +b +c +2(a?b+b?c+c?a)=1+1+1+2?( + + )=6, ∴| AC1 |= 6 ,即 AC1 的长为 6 . (2) BD1 =b+c-a, AC =a+b,∴| BD1 |= 2 ,| AC |= 3 ,
BD1 ? AC =(b+c-a) ? (a+b)=b -a +a?c+b?c=1.∴cos〈 BD1 , AC 〉=
2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

BD1 ? AC BD1 AC

=

6 . 6

∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 五、教学反思:

6 . 6

14

立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离
一.考纲要求: 1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作 用。 二.命题走向: 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容,高考对本节的考查主要有以下情况: (1)空间的 夹角; (2)空间的距离; (3)空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测 2010 年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间 关系找角、求距离这方面内容的讲解,而是加大了向量在这方面内容应用的讲解,因此作为立体几何 的解答题,用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。 第一课时 空间夹角和距离 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离;2.能用向量方法解决线线、 线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一) 、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 132 页,教师讲解,增强目标与参与意识。 (二) 、知识梳理,方法定位(学生完成复资 P132 页填空题,教师准对问题讲评) 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 (1)异面直线所成的角的范围是 (0,

?
2

] 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移

动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在 特殊的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用三角形来求角。 (2)直线与平面所成的角的范围是 [0,

?
2

] 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下: ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; D ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出 所求的角; ③把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直 线所成的一 切角中的最小角,即若 θ 为线面角,α 为斜线与平面内任 何一条直线 所成的角,则有 ? ? ? ; A C (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ? B ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平 面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的

15

平分线上;如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平面上的射影在这个角的 平分线上; ③两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上; ④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面 三角形的内心(或旁心); c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心; (4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 (0, ? ] ,解题时要注意图形的位置和题目的要求。 作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成 的角,就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上 的点(即垂足) ,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角; ③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角 就是二面角的平面角。 斜面面积和射影面积的关系公式: S ? ? S ? cos ? ( S 为原斜面面积, S ? 为射影面积, ? 为斜面与射影 所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角 的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。 2.空间的距离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,常先找或作直线 a 所 在平面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段PB即为 点P到直线 a 的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。 点到平面的距离:点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求法①作出点P到平 面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面 ? 的斜线上两点A,B到斜足C的距离AB,AC 的比为 m : n ,则点A,B到平面 ? 的距离之比也为 m : n .特别地,AB=AC时,点A,B到平面 ? 的距离相等;③体积法 (2)异面直线间的距离:异面直线 a , b 间的距离为 a , b 间的公垂线段的长.常有求法①先证线段 AB为异面直线 a , b 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过 b 且与 a 平行的平面,则直线

a 到平面的距离就是异面直线 a , b 间的距离.③找或作出分别过 a , b 且与 b , a 分别平行的平面,则这 两平面间的距离就是异面直线 a , b 间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。
(3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另一个平面的 距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短

16

距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 如右图所示,a、b 是两异面直线, n 是 a 和 b 的法 E∈a , F∈b , 则 异 面 直 线 a 与 b 之 间 的 距 离 是 a

E 向 量 , 点

d?

EF ? n n
; b F A 面α 的法 C α B

(2)用法向量求点到平面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线, n 为平

n

向量,则 A 到平面α 的距离为 d ?

AB ? n


n

(3)用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问 题。 (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转化 成点到平面的距离问题。 (5)用法向量求二面角 如图,有两个平面 α 与 β ,分别作这两个平面的法向 则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n1 与 n2 所成的角相等或 先必须判断二面角是锐角还是钝角。 (6)法向量求直线与平面所成的角 α 量 n1 与 n2 , 互补,所以首
n2

n1
β

要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ ,先求这个平面 α 的法向量 n 与直线 a 的夹角的余弦 cos n, a , 易知 θ = n, a 或者

?
2

? n, a 。

(三) 、基础巩固导练 1、在平行六面体 ABCD— A ' B' C ' D ' 中,设 AC' ? xAB ? 2yBC ? 3zCC' ,则 x+y+z=(A ) A.

11 6

B.

5 6

C.

2 3

D.

7 6

2、在正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一 点,则异面直线 OP 与 AM 所成角的大小为( C )

17

A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D. 与 P 点位置无关

3、如图,正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的 余弦值为( B )

3 2 1 1 B. C. D. 3 3 3 6 4、 如图所示,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点, 且 BF⊥平面 ACE。
A.

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B-AC-E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离。10、 (1)略(2) arcsin

6 3

(3)

2 3 3

(四) 、小结:本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中:1、线面角的求法: 2、二 面角的求法:①AB,CD 分别是二面角 ? — l — ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小 为 AB, CD 。 3 、 设 n 1 , n 2 分 别 是 二 面 角 ? — l — ? 的 两 个 平 面 ? , ? 的 法 向 量 , 则

cos n1 , n 2 ?

n1 ? n 2 , n1 , n 2 就是二面角的平面角或其补角。4、异面直线间距离的求法: 5、点面 | n1 | ? | n 2 |

距离的求法: 6、线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。 (五) 、作业布置:课本 P57 页 A 组中 16、17、18 B 组中 3 课外练习:复资 P133 页变式训练题 1、2、4、5、6、7、8 五、教学反思:

18

第二课时 用向量法求空间夹角 ——热点考点题型探析 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角;2.能用向量方法解决线线、线面、 面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型,掌握解法。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型,掌握解法。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 题型 1:异面直线所成的角 例 1、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦值 表示) z 解析:建立坐标系如图, D1 C1 则 A ? 2,0,0? 、 B ? 2,2,0 ? , C ? 0,2,0 ? ,

A1 ? 2,0,2? ,B1 ? 2,2,2? ,D1 ? 0,0,2? ,E ? 2,1,0? ,

A1

B1

???? ? AC ? ? ?2,2, ?2? , 1 ???? ? ??? ? ??? ? ? D1E ? ? 2,1, ?2? ,AB ? ? 0,2,0? ,BB1 ? ? 0,0,2? 。
???? ? 不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1C ?D1 E 3 ∵ cos A1C , D1 E ? ???? 。 ? ???? ? ? 9 A1C D1 E
x A

D

y C E B

∴ D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

3 。 9

反思归纳:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型 2:直线与平面所成的角 例 2、 (09 年高考试题)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱 AA1 =2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G。求 A1B 与平面 ABD 所 成角的大小(结果用余弦值表示) ; 解析:如图所示,建立坐标系,坐标 原点为 C,设 z CA=2a,则 A(2a,0,0),B(0,2a,0), D(0,0,1), C1 2a , 2a , 1 ) , A1(2a, 0, 2), E(a, a, 1), G( 3 3 3 A1 B ∵ GE ? ? a , ? a , ? 2 ,

??? ?

?

3

3

3

?

1

??? ? BD ? ? 0, ?2a,1? ,
??? ? ??? ? GE ?BD ? 2 a 2 ? 2 ? 0 , 3 3

D D E K G x A C B y
19

∴ a=1, GE ? ? 1 , ? 1 , ? 2 ,

??? ?

?

3

3

3

?

??? ? ? A1B ? ? ?2,2, ?2?
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? A1 B ? GE 2 ∵ GE 为平面 ABD 的法向量,且 cos A1 B, GE ? ???? 。 ? ??? ? ? 3 A1 B GE

∴ A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是

2 。 3

反思归纳:先处理平面的法向量,再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。 题型 3:二面角 例 3、(08 年高考)在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正 面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点。 (1) 求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小 (用 (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 解析:(1)延长 AB、DE 交于点 F,则 PF 为平面 PAD 所成二面角的棱,∵PA⊥平面 ABCD,∴AD⊥PA、 PA∩AB=A∴DA⊥平面 BPA 于 A, F E PDE 与平面 AB, 方形,PA⊥平 O 正切值表示) ;

过 A 作 AO⊥PF 于 O,连结 OD,则∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。易得

tan?AOD ?

5 5 ,故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 ; 2 2

(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A, ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时,BC⊥平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 θ , 0 cosθ =S△PAB/S△PCD= /2 θ =45 。 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45°。 解法 2(补形化为定义法) 如图: 将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN, 则 PQ⊥PA、 是两面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中, PA=AD, 则∠APD=45°。 即平面 BAP 与平面 PDC PD,于是∠APD

所成二面角的大

20

小为 45°。 (二) 、强化巩固训练 1、 (2007 年,北京卷高考题)如图 6,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 3,侧棱

AA1 ?

3 3 2 ,D

是 CB 延长线上一点,且 BD ? BC 。求二面角 B1 ? AD ? B 的大小。 (略去了该题的①,③问) 2、 (06 四川卷)已知球 O 的半径是 1, A 、 B 、 C 三点都在球面上, A 、 B 两点和 A 、 C 两点的球

? ? 面距离都是 4 , B 、 C 两点的球面距离是 3 ,则二面角 B ? OA ? C 的大小是(
? (A) 4 ? (B) 3 ? (C) 2
2? (D) 3



1、解析: (1)取 BC 的中点 O,连 AO。 由题意:平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 , AO ? BC ,∴ AO ? 平面 BCC1 B1 , 以 O 为原点,建立如图 6 所示空间直角坐标系,

3 3 9 A(0,0, 3) B( ,0,0) D( ,0,0) 2 2 2 则 , , , 3 3 B ( , 3 ,0) 1 2 2 , 9 3 AD ? ( ,0,? 3) 2 2 ∴ ,

z
A C O B B1 D A1 C1

y

3 3 B1 D ? (3,? 3 ,0) BB1 ? (0, 3 ,0) 2 2 , ,

x

由题意

BB1 ? 平面 ABD, ∴

BB1 ? (0,

3 3 ,0) 2 为平面 ABD 的法向量。

设 平面 AB1 D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,

3 ?9 x ? 3z ? 0 ?2 2 ? ? ? ? n2 ? AD ? n2 ? AD ? 0 3 ? ? ? 3x ? 3y ? 0 ? ? n2 ? B1 D n2 ? B1 D ? 0 2 ? ? ? 则 , ∴ , ∴ ,即
BB1 ? n2 | BB1 | ? | n2 |

3 ? 3y ?x ? 2 ? ? ? z ? 3x 。

∴ 不妨设

n2 ? (

3 3 ,1, ) 2 2 ,由

cos ? BB1 , n2 ??

?

3 3?2 2

3 3 2

?

1 2


21

? 得 ? BB1 , n2 ?? 60 。 故所求二面角 B1 ? AD ? B 的大小为 60 。

?

评析: (1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:“找——证—— 求”直接简化成了一步曲:“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法 对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神;

(2) 此法在处理二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题, 如本题中若取

n2 ? ( ?

3 3 ,?1,? ) 2 2

时,会算得

cos ? BB1 , n2 ?? ?

1 2 ,从而所求二面角为 120? ,但依题意只为 60? 。因为二面角的大小有

时为锐角、直角,有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小,然后根 据计算取“相等角”或取“补角”。

? 2、解析:球 O 的半径是 R= 1 , A, B, C 三点都在球面上, A, B 两点和 A, C 两点的球面距离都是 4 ,则
? ? ? B , C ∠AOB,∠AOC 都等于 4 ,AB=AC, 两点的球面距离是 3 ,∠BOC= 3 ,BC=1,过 B 做 BD⊥AO,垂足
? 2 为 D,连接 CD,则 CD⊥AD,则∠BDC 是二面角 B ? OA ? C 的平面角,BD=CD= 2 ,∴∠BDC= 2 ,二面

? 角 B ? OA ? C 的大小是 2 ,选 C。
(三) 、小结:本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中:1、线面角的求法: 2、二面角 的求法:①AB,CD 分别是二面角 ? — l — ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小为

AB, CD 。 3 、 设 n 1 , n 2 分 别 是 二 面 角 ? — l — ? 的 两 个 平 面 ? , ? 的 法 向 量 , 则
cos n1 , n 2 ? n1 ? n 2 , n1 , n 2 就是二面角的平面角或其补角。教师引导学生反思归纳回顾,进一步 | n1 | ? | n 2 |

深化理解。 (四) 、作业布置:复资 P133 页中 2、3、4 课外练习:限时训练 54 中 3、5、7、8、10、11 五、教学反思:

22

第三课时 用向量法求空间的距离 ——热点考点题型探析 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离;2.能用向量方法解决线线、线面、 面面的距离的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型,掌握解法。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的距离应用。探究题型,掌握解法。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 z 题型 1:异面直线间的距离 S 例 1、如图 2,正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 , 底边长 AB ? 2 。求异面直线 BD 和 SC 之间的距离? 分析:建立如图所示的直角坐标系,则
A ( 2 2 2 2 ,? ,0) B ( , ,0) 2 2 2 2 , ,

D A
x

O 图2 B

C
y

C (?

??? ? 2 2 2 2 2 2 ? , ,0) D (? ,? ,0) S (0, 0, 2) ? ??? CS ? ( ,? , 2) DB ? ( 2, 2,0) 2 2 2 2 2 2 , , 。 , 。

? ? ??? ? ? ??? ? 令向量 n ? ( x, y,1) ,且 n ? DB, n ? CS ,



? ??? ? ? ?n ? DB ? 0 ? ? ? ??? ? ? n ? CS ? 0

? ( x, y ,1) ? ( 2, 2, 0) ? 0 ? ? ? ?? ?x ? ? 2 ? x? y ?0 2 2 ?? ? ,? , 2) ? 0 ? ?( x, y ,1) ? ( x? y?2 2 ?0 y ? 2 ? n ? (? 2, 2,1) 。 ? ? ? 2 2 ? ? , , , ,

? 异面直线 BD 和 SC 之间的距离为:
2 2 ???? ? (? , , 0) ? (? 2, 2,1) OC ? n 2 2 1?1? 0 2 5 ? d? ? ? ? 2 2 2 (? 2, 2,1) 5 n (? 2) ? ( 2) ? 1 。

题型 2:点面距离 例 2、如图,已知ABCD为边长是4的正方形, E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于A BCD所在的平面,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离。 解 法 一 : 连 结 B F , B G ,



D F E A

O?
H E O E E B



S ?BEF ?

1 1 BE ? FA ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 , 1 3 BD ? 2 2 , CH ? AC , 2 4

又E,F分别是AB,AD的中点,

? EF ?

23

? GH ? GC ? CH

2

2

?3 ? ? 2 ?? 4 2? ?4 ? ? 22 。
2

2

S ?GEF ?

1 1 2 1 ? 2 2 ? 22 ? 2 11 VB ? EFG ? ? 2 11 ? h ? 11h VG ? BEF ? ? 2 ? 2 2 3 3 3 , , ,

?h ?

2 11 11 .

解法二.? E,F分别是AB,AD的中点,? EF//BD,? B到平面GEF的距离为BD上任 一点到平面GEF的距离,BD ? AC于O,EF//BD,

? EF ? AC, 又GC ? 平面ABCD,EF ? 平面ABCD,? EF ? GC,EF ? 平面GEF,?
平面GEF ? 平面GCH,过O点作 OO ? ? HG,则 OO ? ? 平面GEF, OO ? 为O到平面GCH的 距离,即B到平面GEF的距离。

OH ?

1 OH OO? 2 11 AC ? 2 ? , OO? ? 4 GC 11 。 由解法一知: GH ? 22 ,由 ?HO O ? ∽ ?HCG 得 GH

思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。 题型 6:线面距离 例 3、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8, 对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。 (1)求点 B1 到 直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离。 解析: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线定理可得: A D B C

A1

B1

C1

B1 D ? AC ,所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距离。
在 Rt?B1 BD 中

BB1 ? B1C 2 ? BC 2 ? 10 2 ? 8 2 ? 6, BD ? 4 3 .


? B1 D ?

BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21

(2) 因为 AC 与平面 BD 所以 AB1 到平面 BD

C1 交于AC的中点D, 设 B1C ? BC1 ? E , 则 AB1 //DE, 所以 AB1 //平面 C1 BD ,

C1 的距离等于A点到平面 BD C1 的距离,等于C点到平面 BD C1 的距离,也就等于

三棱锥 C ? BDC1 的高。

24

?VC?BDC1 ? VC1 ?BDC
12 13 距离是 13 。

1 1 12 13 ? hS ?BDC1 ? S ?BDC CC1 ? h ? 3 13 所以,直线 AB1 到平面 BD C1 的 , 3 ,

思维点拔:求空间距离多用转化的思想。 例 4、如图,已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中,
E 、 F 分别为 BC 和 AC 的中点, PA ? 面 ABC ,且 PA ? 2 ,设平面 ? 过 PF 且与 AE 平行。 求 AE 与平面 ? 间的距离? ?? ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? 分析:设 AP 、 AE 、 EC 的单位向量分别为 e1 、 e2
?? ? ?? ?? ? ?? ? e3 ,选取{ e1 , e2 , e3 }作为空间向量的一组基底。 ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ??? ? ?? ? ??? ? ? ? ? e ? e ? e ? e ? e ? e ? 0 AP ? 2 e , AE ? 2 6 e , EC ? 2 2 e 1 2 1 3 2 3 1 2 3, 易知 ,

P F E B

A

C



??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? PA ? AC PA ? ( AE ? EC ) ? 2 e ? 6 e ? 2 e 1 2 3 , PF ? PA ? AF = 2 2 = = ? ?? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? n ? xe1 ? ye2 ? e3 n ? AE, n ? PF ?

是平面 的一个法向量,则



? ??? ? ? ?n ? AE ? 0 ? ? ? ??? ? ? ?n ? PF ? 0

?? ?2 ? ? y?0 2 6 y e2 ? 0 ? ? ? ?? ?? 2 ?? ?2 ?? ?2 2 ? ?2 x e1 ? 6 y e2 ? 2 e3 ? 0 ?x ? ? ? 2 ,即 ,

??? ? ? Ap ? n ? ? ? ? 2 ?? ? ?n ? e1 ? e3 . n d ? ? 直线 AE 与平面 ? 间的距离 2 =

?? ? 2 ?? ?? 2e1 ? ( e1 ? e3 ) 2 ?? ?2 2 ?? e1 ? e3 2
2

?

2 3 . 3

(二) 、强化巩固训练 长方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中, AB=4, AD=6,AA1 ? 4 , M 是 A1C1 的中点, P 在线段 BC 上, 且|CP|=2, Q 是 DD1 的中点,求: (1)异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值; (2)M 到直线 PQ 的距离; (3)M 到平面 AB1P 的距离。 解析: (1)方法一: 如图,建立空间直角坐标系 B—xyz,则 A(4,0,0) ,M(2,3,4) ,P(0,4,0) ,Q(4,6, 2) , ∴ AM ? (?2,3,4) , PQ ? (4,2,2)

? | AM |? (?2) 2 ? 32 ? 4 2 ? 29

25

| PQ |? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 24 AM ? PQ ? (?2) ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 故异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值为 ? cos AM, PQ ? AM ? PQ | AM | | PQ | ? 174 58
174 58

方法二:

? AM ? AA1 ? A1M ? AA1 ?
∴ AM ? PQ

1 1 A1B1 ? A1D1 , PQ ? PC ? CD ? DQ 2 2

1 1 A 1 B1 ? A 1 D1 )( PC ? CD ? DQ) 2 2 1 1 ? A 1 D1 ? PC ? A 1 B1 ? CD ? AA1 ? DQ 2 2 AM ? PQ 174 1 1 ?cos AM, PQ ? ? ? ? 6 ? 2 ? ? 4 ? (?4) ? 4 ? 2 ? 6 58 2 2 | AM | ? | PQ | 2 2 2 ?| AM |? 4 ? 2 ? 3 ? 29 ? (AA1 ? | PQ |? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 24
故异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值为

174 58

(2)∵ QM ? (?2,?3,2), QP ? (?4,?2,?2) ,

∴ QM在QP 上的射影的模 ?

QM ? QP | QP |

? ?
2

(?2) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? 2 ? (?2) (?4) 2 ? (?2) 2 ? (?2) 2 10 24 ? 5 6 6

?5 6 ? 25 462 ? 故 M 到 PQ 的距离为 | QM | ?? ? 6 ? ? 17 ? 6 ? 6 ? ?
2

(3)设 n ? ( x , y, z) 是平面 AB1 P 的某一法向量,则 n ? AB1 , n ? AP ,

?? 4 x ? 4 z ? 0 ∵ AB1 ? (?4,0,4), AP ? (?4,4,0) ∴ ? ?? 4 x ? 4 y ? 0

26

因此可取 n ? (1,1,1) ,由于 MA ? (2,?3,?4) ,那么点 M 到平面 AB1 P 的距离为

d?

5 3 | MA ? n | | 2 ? 1 ? (?3) ? 1 ? (?4) ? 1 | 5 3 ,故 M 到平面 AB1 P 的距离为 。 ? ? 3 |n| 3 3

(三) 、小结: 1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分,学习 时要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识(特别是余弦定理)熟练 解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来,这里要特别注意平面角的探求;2.把 空间问题转化为平面问题,从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤:“作”、 “证”、“算”。3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点:①注意根据定义找出或作出所求的 成角或距离,一般情况下,力求明确所求角或距离的位置;②作线面角的方法除平移外,补形也是常 用的方法之一;求线面角的关键是寻找两“足” (斜足与垂足) ,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性 质定理;③求二面角高考中每年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种: 根据定义或图形特征作;根据三垂线定理(或其逆定理)作,难点在于找到面的垂线。解决办法,先 找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线;作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先

S? 找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cosθ = S ”求二面角否则要适当扣分。④求点到平
面的距离常用方法是直接法与间接法,利用直接法求距离需找到点在面内的射影,此时常考虑面面垂 直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法;⑤求角与距离的关键是 将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离,然后将所求量置于一个三角形中,通过解三角形最 终求得所需的角与距离。4.注意数学中的转化思想的运用: (1)常用等角定理或平行移动直线及平面 的方法转化所求角的位置; (2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距 离的位置; (3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。 (四) 、作业布置:课本 P47 页 3、5 P50 页 2、3 课外练习:限时训练 54 中 2、4、6、9、12、13、14 五、教学反思:

27


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