当前位置:首页 >> 数学 >>

对称性在微积分学中的应用20150715


二重积分的对称性
(1)如果D关于y轴(x=0)对称,则 ?( x , y ) ? D 有

0, f ( x, y)关于x为奇函数 ? ? f ( x, y)dxdy ? ?2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y)关于x为偶函数 ?? ?? D ? ? D1 其中 D1 ? ?( x, y) | ( x, y) ? D, x ? 0? 0, f ( x, y)关于y为奇函数 ? ? f ( x, y)dxdy ? ?2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y)关于y为偶函数 ?? ?? D ? ? D2 其中 D2 ? ?( x, y ) | ( x, y ) ? D, y ? 0?
目录 上页 下页 返回 结束

(2)如果D关于x轴(y=0)对称,则 ?( x , y ) ? D 有

(3)如果D关于原点对称,则?( x, y) ? D 有

0, f (? x, ? y ) ? ? f ( x, y ), ? ? ?2?? f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy ? ? D1 ?? f ( ? x , ? y ) ? f ( x, y ) D ? ?或2?? f ( x, y )dxdy ? D2 其中 D1 , D2 同上.

目录

上页

下页

返回

结束

推论:若 D 关于 x 轴 和 y 轴都对称 ,则
0, ? ? f ( x, y)dxdy ? ?4 f ( x, y)dxdy, ?? ? ? D1 f ( x, y)关于x或y为奇函数 f ( x, y )关于x, y均为偶函数

??
D

y
D
D1

D1 ? {( x, y ) ? D | x ? 0, y ? 0}

o

x

目录

上页

下页

返回

结束

二重积分的轮换对称性:
积分区域 D 关于 直线y=x对称,即若(x,y)?D,则(y, x)?D. 也就是表示D的不等式x,y对调不等式不变,有

(1)

若D1 , D2分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分,则:

??

D

f ( x, y ) d ? ? ?? f ( y, x) d ?
D

??
D1

f ( x, y )dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy.
D2

y

称为关于积分变量的轮换对称性 (2) f ( x, y) ? ? f ( y, x) f ( x, y)d ? ? 0

(3) f ( x, y ) ? f ( y, x), 则 ??D f ( x, y) d ? ? 2??D f ( x, y) d ?
1

??

D

D1

D D 2 o
x

简述为“你对称,我奇偶 ”. 运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面,
目录 上页 下页 返回 结束

三重积分的对称性
1.关于积分区域?的对称性: 若(x,y,z)??,有(x,y,-z)??,则?关于xoy坐标面对称。 *类似地可定义?关于yoz,zox坐标面的对称性。 2.关于函数f(x,y,z)的奇偶性 ⅰ 若 f ( x , y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则称f(x,y,z)在?上是关于z的偶函数 若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z ) 则称f(x,y,z)在?上是关于z的奇函数 *类似地可定义f(x,y,z)在?上是关于x或y的奇或偶函数.

目录

上页

下页

返回

结束

ⅱ 若 f ( x, y, z ) ?

f ( x, ? y, ? z ),( x, y, z ) ??,( x, ? y, ? z) ??

则称f(x,y,z)在?上是关于y,z的奇或偶函数. *类似地可定义其他.

ⅲ 若 f ( x, y, z ) ? f (? x, ? y, ? z ),( x, y, z ) ??,(? x, ? y, ? z ) ?? 则称f(x,y,z)在?上是关于x,y,z的奇或偶函数 3. 积分区域?,被积函数f(x,y,z) 的轮换对称性: 将积分区域?的边界曲面方程(或被积函数f(x,y,z) ) 中,变量x,y,z依此轮换,方程(或函数f(x,y,z))的形式 不变

目录

上页

下页

返回

结束

4. 利用对称性计算三重积分的有关结论: ⅰ. 若?关于xoy坐标面对称, f(x,y,z)在?上是关于z的奇 或偶函数,则 f 为z的奇函数 ?0 ? f ( x, y, z )dv ? ?2 f ( x, y , z )dv ??? f 为z的偶函数 ??? ? ? ? ?1

xoz 若? ? ?1 ? ?2 , 且?1、?2关于xoy面对称,则: y yoz 0 f : z的奇函数 ? ? x f ( x, y, z )dv ? ?

*其他类似的结果.

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}

???
?

? ?

2??? f ( x, y, z )dv
?1

f : z的偶函数

目录

上页

下页

返回

结束

ⅱ. 若?关于yoz,zox坐标面都对称, f(x,y,z)在?上是同时 关于x,y的奇或偶函数, 则
?0 ? f ( x, y, z )dv ? ?4 f ( x, y, z )dv ??? ??? ? ? ? ?2 f 为x或y的奇函数 f 同时为x, y的偶函数

? 2 ? {( x, y, z ) ?? | x ? 0, y ? 0}

*类似地可表示其他一些结果. ⅲ. 若?关于三坐标面都对称, f(x,y,z)在?上是同时 关于x,y,z的奇或偶函数, 则
f 为x或y或z的奇函数 ?0 ? f ( x, y, z )dv ? ?8 f ( x, y, z )dv ??? f 同时为x, y, z的偶函数 ??? ? ? ? ?3 ?3 ? {( x, y, z ) ?? | x ? 0, y ? 0, z ? 0}(?1 : I 卦限)
目录 上页 下页 返回 结束

三重积分的轮换对称性:
1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x积分域?不变,则

??? f ( x, y, z )dxdydz ? ???
? ?

f ( y , x , z )dxdydz .

2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域?不变, 则 ??? f ( x, y, z )dxdydz ? ??? f ( y, z, x )dxdydz.
? ?

目录

上页

下页

返回

结束

注:关于对弧长的曲线积分的对称性
对 ? f ( x, y )ds
L

y

①若 L 关于 y 轴对称

L1
x

(1)当 f (? x, y ) ? ? f ( x, y )时 ? f ( x, y )ds ? 0
L

L
0 f (x , y )ds

(2)当 f (? x, y ) ? f ( x, y )时 ? f ( x , y )ds ? 2?
L

L1

其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 L1 ? ?( x, y ) | ( x, y) ? L , x ? 0? ②若 L 关于直线 y = x 对称(即x与y对调后L表达式不变)

?

L

f ( x, y )ds ? ? f ( y, x)ds
L
目录 上页 下页 返回 结束

原理: 积分值与被积变量用什么字母表示无关


?

关于对弧长的曲线积分的对称性

对 ? f ( x, y, z ) ds

①若 L 关于xoy 平面对称

(2)当 f ( x, y, ? z ) ? f ( x, y, z )时 ? f ( x, y, z )ds ? 2? f ( x, y, z )ds
?

(1)当 f ( x, y, ? z ) ? ? f ( x, y, z )时 ? f ( x, y, z )ds ? 0
?
?1

其中 ?1是 ? 的关于 xoy 平面对称的部分弧段

?1 ? ?( x, y, z ) | ( x, y, z) ? L , z ? 0?

目录

上页

下页

返回

结束

1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x,

? 表达式不变,则

?

?

f ( x, y, z )ds ? ? f ( y, z , x)ds.
?

2.(三字母轮换) 如果以y代x,以z代y,以x代z后,

? 的表达式不变,则

??

f ( x , y , z )ds ? ? f ( y , z , x )ds .
?

目录

上页

下页

返回

结束

xoz 若? ? ?1 ? ?2 , 且?1、?2关于xoy面对称,则: y yoz ? z的偶函数 ?2??? f ( x, y, z )dS f :x ??? f ( x, y, z )dS ? ?
1

对面积的曲面积分的对称性

? ?

0

f : z的奇函数

f ( x, y, z ) 关于z是偶函数: f ( x, y, ? z ) ? f ( x, y, z ) f ( x, y, z ) 关于z是奇函数: f ( x, y, ? z ) ? ? f ( x, y, z )

若?关于三坐标面都对称,(?1 : I卦限)则:

??

?

? ?8???1 f ( x, y, z )dS f ( x, y, z )dS ? ? 0 ? ?

f : x, y, z的偶函数 f : 任一变量的奇函数
目录 上页 下页 返回 结束

对面积的的曲面积分的轮换对称性:
1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x积分域Σ 不变,则

??

?

f ( x , y , z )dS ?

??

?

f ( y, x , z )dS .

2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域Σ 不变,则

??

?

f ( x , y , z )dS ?

??

?

f ( y , z , x )dS .

完全类似于三重积分的对称性

目录

上页

下页

返回

结束

对坐标的曲线积分的对称性
对 ? f ( x, y )dx
L

(2)当 f (? x, y) ? f ( x, y)时 , ? f ( x, y)dx ? 2 ? f ( x, y)dx
L

①若 分段光滑曲线L 关于 y 轴对称,且L在 y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反 (1)当 f (? x, y ) ? ? f ( x, y )时, ? f ( x, y )dx ? 0
L
L1

y L 1

L
0

x

其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 L1 ? ?( x, y ) | ( x, y) ? L , x ? 0?
注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(y)对称就关于谁(y轴)的方向相反

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的两个子曲线

方向为相反, 则: ? 0, 若f 是x的奇函数 ? ?L f ( x, y)dx ? ?2? f ( x, y)dx,若f 是x的偶函数 ? ? L右
目录 上页 下页 返回 结束

对坐标的曲线积分的对称性
对 ? f ( x, y )dx
L

y

L1
0 L

②若 分段光滑曲线L 关于 x 轴对称,且L在 x轴上半部分和在x轴下半部分的方向相反

x

(1)当 f ( x, ? y ) ? f ( x, y )时,

(2)当 f ( x, ? y) ? ? f ( x, y)时 , ? f ( x, y)dx ? 2 ? f ( x, y)dx
其中L1 是L 的关于 x 轴对称的部分弧段
L L1

?

L

f ( x, y )dx ? 0

L1 ? ?( x, y) | ( x, y) ? L , y ? 0?

注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(x)对称就关于谁(x轴)的方向相反

设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线

方向为相反, 则: ? 0, 若f 是y的偶函数 ? f ( x , y ) dx ? ?2 ?L f ( x , y ) dx ,若 f 是 y 的奇函数 ? ? ? L上
目录 上页 下页 返回 结束

对 ? f ( x, y )dx
L

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的

?

L

两个子曲线方向为相同, 则: L 0, 若 f 是 x 的偶函数 ? ? f ( x, y )dx ? ? 0 2 ? f ( x, y )dx ,若f 是x的奇函数 ? ? L右 设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相同, 则:
0, 若f 是y的奇函数 y ? ? f ( x, y )dx ? ? 2 ? f ( x, y )dx ,若f 是y的偶函数 ? L ? 上

y L 1

x

?

L

L1
L
返回 结束

0
注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴对称就关于谁的方向相同
目录 上页 下页

x

A(1, ? 1) 到B(1, 1) 的一段.
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO ? OB

例1. 计算 ?

L

x yd x , 其中L 为沿抛物线 y 2 ? x 从点

y

B ( 1, 1 )

AO : y ? ? x , x : 1 ? 0 OB : y ? x ,
? ? x yd x ? ?
L AO

y? x

x : 0 ?1
OB

O

x yd x ? ?

x yd x
0

y?? x A(1,?1)
1 3 2

x

? 2? x
被积函数xy是y的奇函数.

解法2 设分段光滑的曲线?关于x轴对称, 且对称的两个子曲线方向为相反,
? ? x y d x ? 2? x y d x ? 2 L OB

4 dx ? 5

?0 x

1 3

2

4 dx ? 5
目录 上页 下页 返回 结束

A(1, ? 1) 到B(1, 1) 的一段. 解: 设分段光滑的曲线L关于x轴对称,

2 其中 L 为沿抛物线 x y d x , y ? x 从点 例1. 计算? L

y

B ( 1, 1 )

且对称的两个子曲线方向为相反,

y? x

被积函数x y 是y的偶函数.
? ? x y d x ? 0.
L

O

y?? x A(1,?1)

x

目录

上页

下页

返回

结束

对 ? f ( x, y )dy
L

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相反, 则:
0, 若f 是x的偶函数 ? ? f ( x, y )dy ? ? 2? f ( x, y )dy ,若f 是x的奇函数 ? L ? 右

?

y L 1

L

L
0

设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相反, 则:

x

y

?

L

0, 若f 是y的奇函数 ? ? f ( x, y )dy ? ? 2 f ( x , y ) dy ,若 f 是 y 的偶函数 ? ? ? L上
目录 上页 下页

L1
0 L
返回 结束

x

dy ? dx , 其中C: x ? y ? 1(逆时针方向). 例2. 求 ? C 2 2 x ?y y 解: 曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相反, o
dy ?? 2 ? 0, 2 C x ? y

1 被积函数 2 是 x 的偶函数. 2 x ?y

x

曲线L关于y轴对称,且对称的两个子曲线方向为相反,

1 被积函数 2 是 y 的偶函数. 2 x ?y
dx ?? 2 ? 0, 2 C x ? y

dy ? dx ?? 2 ?0 C x ? y2
目录 上页 下页 返回 结束

对 ? f ( x, y )dy
L

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的

?

L

两个子曲线方向为相同, 则: L 0, 若 f 是 x 的奇函数 ? ? f ( x, y )dy ? ? 0 2? f ( x, y )dy ,若f 是x的偶函数 ? ? L右 设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相同, 则:
0, 若f 是y的偶函数 y ? ? f ( x, y )dy ? ? 2? f ( x, y )dy ,若f 是y的奇函数 ? L ? 上

y L 1

x

?

L

L1
L
返回 结束

0
注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴对称就关于谁的方向相同
目录 上页 下页

x

对坐标的曲面积分满足轮换对称性, 不满足一般的对称性 如果积分区域满足轮换对称性,则被积函数进行轮换后 积分值不变,不过要同时轮换 dxdy,dydz,dzdx

?? f ( x, y, z )dxdy ? ?? f ( y, z, x)dydz
? ?

?? f ( x, y, z )dydz ? ?? f ( y, z, x)dzdx
? ?

?? f ( x, y, z )dzdx ? ?? f ( y, z, x)dxdy
? ?

补充:利用对称性简化第二类曲面积分的计算
设分片光滑的闭曲面?关于xoy面对称,方向为外侧, 则: 0, 若R是z的偶函数 ? ? ?? ? Rdxdy ? ?2 ?? Rdxdy,若R是z的奇函数 ? ?上 ?
目录 上页 下页 返回 结束

补充:利用对称性简化第二类曲面积分的计算
设分片光滑的闭曲面?关于xoy面对称,方向为外(内)侧,则:
0, 若R是z的偶函数 ? ? ?? ? Rdxdy ? ?2 ?? Rdxdy,若R是z的奇函数 ? ?上 ? 设分片光滑的曲面?关于xoy面对称, 且对称的两个子曲面 0, 若R是z的奇函数 ? ? ?? ? Rdxdy ? ?2 ?? Rdxdy,若R是z的偶函数 ? ?上 ? 设分片光滑的曲面?关于xoy面对称, 且对称的两个子曲面

方向为相同, 则:

方向为相反, 则: ? 0, 若R是z的偶函数 ? Rdxdy ? ?2 ?? ? Rdxdy ,若R是z的奇函数 ?? ? ? 上 ?
目录 上页 下页 返回 结束

利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性 计算各种积分

目录

上页

下页

返回

结束

利用对称性计算定积分

命题1
(1) 若 (2) 若 证:
a 0

偶倍奇零

则?

a

?a

f ( x ) dx ? 2 ? f ( x ) dx
0

a

则?
a a

a

?a

f ( x ) dx ? 0
a

??a f ( x) dx ? ??a f ( x) dx ? ?0 f ( x) dx
? ? f (?t ) d t ? ? f ( x) dx ? ? [ f ( ? x ) ? f ( x ) ] dx
0 0 a 0

令 x ? ?t

?

f ( ? x) ? f ( x)时 f ( ? x) ? ? f ( x)时
目录 上页 下页 返回 结束

利用对称性计算二重积分
命题 2 在闭区域上连续, 设区域D 关于
x 轴(y=0) 对称,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在 D 上

(1) 若被积函数 f (x , y ) 关于 y 是偶函数,即

D1 ? ?( x, y) | ( x, y) ? D, y ? 0?
f ( x, ? y ) ? f ( x, y ).
f ( x, y ) d ? ? 2??
D1

y OD
D1



??D

f ( x, y ) d ?

x

(2) 若被积函数 f ( x, y ) 关于 y 是奇函数,即
f ( x ,? y ) ? ? f ( x , y ).



??D f ( x, y) d ? ? 0
目录 上页 下页 返回 结束

(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数,即

f ( x, ? y ) ? f ( x, y ).
D1



?? f ( x, y) d? ? 2?? f ( x, y) d? .
D

? a ? x ? b, (1) 不妨假设积分区域是X-型的 D : ? ? y1 ( x ) ? y ? y2 ( x ).
由积分区域 D 关于 x 轴对称性: y1 ( x) ? ? y2 ( x).

y

?? f ( x, y) d? ? ? dx ?
D a

b

y2 ( x ) y1 ( x )

f ( x, y )dy
a o

y ? y2 ( x )

D1

? ? (?
a

b

y2 ( x )

? y2 ( x )

f ( x, y )dy )dx

bx
y ? y1 ( x )

? 2? ( ?
a

b

y2 ( x )

0

f ( x, y )dy )dx ? 2 ?? f ( x, y ) d? .
D1
目录 上页 下页 返回 结束

( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数,即

f ( x ,? y ) ? ? f ( x , y ).


y

y ? y2 ( x )

?? f ( x , y ) d?
D

? 0.

a

o

D1

? a ? x ? b, y ? y1 ( x ) 证 (2)积分区域 D : ? ? y1 ( x ) ? y ? y2 ( x ). 由积分区域 D 关于 x 轴对称性: y1 ( x ) ? ? y2 ( x ).

bx

?? f ( x , y ) d? ? ?a dx ?y1 ( x )
D

b

y2 ( x )

f ( x , y )dy ?

? [?
a

b

y2 ( x )

?? y2 ( x ) f ( x , y )dy
于是, ?? f ( x , y ) d? ?
D
b a

y2 ( x )

f 关于 y 是奇函数
y2 ( x )

? y2 ( x )

f ( x, y )dy ]dx

0.
b

? [?

? y2 ( x )

f ( x, y )dy ]dx ? 2?a 0 dx ? 0.
目录 上页 下页 返回 结束

(1)如果D关于y轴(x=0)对称,则 ?( x , y ) ? D 有

命题2’

(? x, y) ? ? f ( x, y) f(x, y) 关于 x 为偶函数: f (? x, y) ? f ( x, y)
f(x, y) 关于 x 为奇函数: f

0, f ( x, y)关于x为奇函数 ? ? f ( x, y)dxdy ? ?2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y)关于x为偶函数 ?? ?? D ? ? D1 其中 D1 ? ?( x, y) | ( x, y) ? D, x ? 0?

D 位于 y 轴右方的部分为 D1 ? {( x, y ) ? D | x ? 0}

目录

上页

下页

返回

结束

证: 不妨假定D的右半部分D1为X型区域:

D1 : a ? x ? b, ? ( x) ? y ? ? ( x)
由D关于y轴的对称性,D的左半部分D2为:

D2 : ?b ? x ? ?a, ? (? x) ? y ? ? (? x)
则 ?? f ( x, y )dxdy ? ? [ ?
D2 ?b ?a

? (? x)

? (? x)

f ( x, y )dy ]dx

=== ? [? ?
b

换元 x ?? t

a

? (t )
(t )

f (?t , y )dy ](?dt )
交换变量 b

? ? [?
a

b

? (t ) ? (t )

f (?t , y )dy ]dt ==== ? [ ?
a

? ( x) ? ( x)

f (? x, y )dy ]dx
上页 下页 返回 结束

目录

若 f ( ? x, y ) ? ? f ( x, y ) 则

?? f ( x, y)dxdy ? ? ? [ ? ?
D2 a

b

? ( x)
( x)

f ( x, y )dy ]dx ? ? ?? f ( x, y ) dxdy
D1

所以

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( x, y)dxdy ?0
D D1 D2
b

若 f ( ? x, y ) ? f ( x, y ) 则

?? f ( x, y)dxdy ? ? [? ?
D2 a

? ( x)
( x)

f ( x, y )dy ]dx ? ?? f ( x, y )dxdy
D1

?? f ( x, y)dxdy ? 2?? f ( x, y )dxdy
D D1
目录 上页 下页 返回 结束

命题2

(1) 如果D关于y轴(x=0)对称,则 ?( x , y ) ? D 有

0, f ( x, y)关于x为奇函数 ? ? f ( x, y)dxdy ? ?2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y)关于x为偶函数 ?? ?? D ? ? D1 其中 D1 ? ?( x, y) | ( x, y) ? D, x ? 0?
(2) 如果D关于x轴(y=0)对称,则 ?( x , y ) ? D 有

0, f ( x, y)关于y为奇函数 ? ? f ( x, y)dxdy ? ?2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y)关于y为偶函数 ?? ?? D ? ? D2 其中 D ? ?( x, y) | ( x, y) ? D, y ? 0? 2
目录 上页 下页 返回 结束

(3) 如果D关于原点对称,则 ?( x, y) ? D 有

0, f (? x, ? y ) ? ? f ( x, y ), ? ? ?2?? f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy ? ? D1 ?? f ( ? x , ? y ) ? f ( x, y ) D ? ?或2?? f ( x, y )dxdy ? D2 其中 D1 , D2 同上.

目录

上页

下页

返回

结束

推论:若 D 关于 x 轴 和 y 轴都对称 ,则
0, ? ? f ( x, y)dxdy ? ?4 f ( x, y)dxdy, ?? ? ? D1 f ( x, y)关于x或y为奇函数 f ( x, y )关于x, y均为偶函数

??
D

D1 ? {( x, y ) ? D | x ? 0, y ? 0}

D
D1

目录

上页

下页

返回

结束

二重积分的轮换对称性:
积分区域 D 关于 直线y=x对称,即若(x,y)?D,则(y, x)?D. 也就是表示D的不等式x,y对调不等式不变,有

(1)

??

D

f ( x, y ) d ? ? ?? f ( y, x) d ?
D

若D1 , D2分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分,则:

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy. (2) f ( x, y) ? ? f ( y, x) ?? f ( x, y)d ? ? 0
D1 D2
D

y

(3) f ( x, y ) ? f ( y, x),则

D1

??D f ( x, y) d ? ? 2??D1 f ( x, y) d ?
简述为“你对称,我奇偶 ”.

D D 2 o
x
目录 上页 下页 返回 结束

y

命题 3

若 D1是区域 D2 关于直线 y = x 对称的区域,则 o

D1 D2
x

??
D1

f ( x, y )dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy
D2

目录

上页

下页

返回

结束

证: 不妨假定D2为X型区域:

D2 : a ? x ? b, ? ( x) ? y ? ? ( x)
则D1为Y型区域:

D1 : a ? y ? b, ? ( y ) ? x ? ? ( y )

所以 ?? f ( x, y )dxdy ? ? [ ?
D2 a 交换积分变量x ,y

b

? ( x) ? ( x)

f ( x, y )dy ]dx

????? ? [? ?
a

b

? ( y)
( y)

f ( y, x)dx]dy ? ?? f ( y, x)dxdy
D1
目录 上页 下页 返回 结束

y

推论 1

o

D
x

若 D 关于直线 y = x 对称,则

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy
D D

证 设 D1 是D 关于直线 y=x 对称的区域,则 D1=D。用命题 3 即得。
目录 上页 下页 返回 结束

推论 2
若区域 D 关于直线 y = x 对称 且 f(x, y) 关于 x 和 y 对称:

y

o

DD

1

x

f ( x, y) ? f ( y, x)


??
D

f ( x, y )dxdy ? 2?? f ( x, y )dxdy
D1

其中 D1 ? {( x, y ) ? D | x ? y}
目录 上页 下页 返回 结束

证: 设 D2 ? {( x, y ) ? D | x ? y}, 则D2
与D1关于直线 y=x 对称,且D ?

y
D2

D1 ? D2
o

由命题 3
D2 D1 D1

DD

1

x

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ( y, x)dxdy ? ?? f ( x, y)dxdy
所以

?? f ( x, y)dxdy = ?? f ( x, y)dxdy + ?? f ( x, y)dxdy
D D1 D2

? 2 ?? f ( x, y )dxdy
D1
目录 上页 下页 返回 结束

命题 4 若空间区域Ω关于 xOy 面 (z = 0) 对称,则
当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数 0 ? f ( x, y, z ) dv ? ? ??? ? ?2 ??? f ( x, y, z )dv
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

证 不妨假定Ω的上半部分Ω1为XY型区域:

?1 ? {( x, y, z ) | ( x, y) ? D, ? ( x, y) ? z ? ? ( x, y)}
由Ω关于xOy坐标面的对称性,Ω的下半部分Ω2为:

?2 ? {( x, y, z ) | ( x, y ) ? D, ?? ( x, y ) ? z ? ?? ( x, y )}

目录

上页

下页

返回

结束

则 ??? f ( x, y , z )dv ? ?? d? ?
?2 D

?? ( x , y ) ?? ( x , y )

f ( x , y , z )dz

=== ?? d? ??
D

换元 z ?? t

? ( x, y )
( x, y )

f ( x, y , ?t )(?dt )

? ?? d? ?
D 改变变量

? ( x, y ) ? ( x, y )

f ( x, y , ?t )dt
? ( x, y ) ? ( x, y )

===== ?? d? ?
D

f ( x , y , ? z )dz

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z )

则 ??? f ( x, y, z )dv ? ? ?? d? ?
?2 D

? ( x, y ) ? ( x, y )

f ( x, y , z )dz

? ? ??? f ( x, y, z )dv
?1

所以

??? f ( x, y, z )dv
?

? ??? f ( x, y, z )dv ? ??? f ( x, y, z )dv ? 0
?1 ?2
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则??? f ( x, y , z )dv ? ?? d? ?
?2 D

? ( x, y ) ? ( x, y )

f ( x , y , z )dz

? ??? f ( x, y , z )dv
?1

?

??? f ( x, y, z )dv
? ?1 ?2 ?1

? ??? f ( x, y, z ) dv ? ??? f ( x, y, z ) dv ? 2??? f ( x, y, z ) dv
目录 上页 下页 返回 结束

利用积分曲线的对称性

和被积函数的奇偶性
计算对弧长的曲线积分

目录

上页

下页

返回

结束

y

命题 5
若曲线 L 关于 y 轴 (x = 0) 对称,则

L

L1

x

? f ( x, y )ds ? ?
L

0 ?
L1

当 f(x, y) 关于 x 为奇函数

? 2 f ( x, y )ds
当 f(x, y) 关于 x 为偶函数

?

f(x, y) 关于 x 为奇函数: f (? x, y) ? ? f ( x, y) f(x, y) 关于 x 为偶函数: f (? x, y) ?

f ( x, y)
目录 上页 下页 返回 结束

L1 ? {( x, y ) ? L | x ? 0}

证 设 L 的右半部分 L1 由以下参数方程给出: L1 : x ? ? (t ), y ? ? (t ), a ? t ? b
由 L 关于 y 轴的对称性,L 的左半部分 L2 的参 数方程为:

L2 : x ? ?? (t ), y ? ? (t ), a ? t ? b

于是
b

L2

? f ( x, y)ds
2 2

= ? f (?? (t ), ? (t )) [ ?? ?(t )] ? [? ?(t )] dt
a

=?

b a

2 2 ? ? f (?? (t ), ? (t )) [? (t )] ? [? (t )] dt
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( ? x, y ) ? ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y )ds
L2

? ??
L1

b a

2 2 ? ? f (? (t ), ? (t )) [? (t )] ? [? (t )] dt

? ? ? f ( x, y )ds 所以

? f ( x, y)ds ? ? f ( x, y)ds ? ? f ( x, y)ds ? 0
L L1 L2
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( ? x, y ) ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y )ds
L2

? ? f (? (t ), ? (t )) [? ?(t )]2 ? [? ?(t )]2 dt
a

b

? ? f ( x, y )ds
L1

所以 ? f ( x, y )ds ? ? f ( x, y )ds ? ? f ( x, y )ds
L L1 L2

? 2 ? f ( x, y )ds
L1
目录 上页 下页 返回 结束

y

命题 5’
若曲线L关于 x 轴 (y = 0) 对称,则

L1

L

x

?
L

f ( x, y ) ds ? ? ? 2 f ( x, y )ds
L1

0 ?

当 f(x,y) 关于 y 为奇函数

?

当 f(x, y) 关于 y 为偶函数

f(x, y) 关于 y 为奇函数: f

( x, ? y) ? ? f ( x, y) f(x, y) 关于 y 为偶函数:f ( x, ? y) ? f ( x, y)
L1 ? {( x, y ) ? L | y ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

命题 6 若空间曲线 Γ 关于 xOy 面 (z = 0) 对称,则
当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数 0 ? f ( x, y, z ) ds ? ? ? ? ? 2 f ( x, y, z )ds ?
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

证 设 Γ 的上半部分 Γ1 由以下参数方程给出:

?1 : x ? x(t ), y ? y (t ), z ? z (t ), a ? t ? b
由 Γ 关于xOy面的对称性, Γ 的左半部分 Γ2 的 参数方程为:

? 2 : x ? x(t ), y ? y (t ), z ? ? z (t ), a ? t ? b
于是
b ?2

? f ( x, y, z )ds

= ? f ( x(t ), y (t ), ? z (t )) [ x?(t )]2 ? [ y?(t )]2 ? [ ? z ?(t )]2 dt
a

=?

b a

2 2 2 ? ? ? f ( x(t ), y (t ), ? z (t )) [ x (t )] ? [ y (t )] ? [ z (t )] dt
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z )
则 ? f ( x, y, z )ds
?2

? ? ? f ( x(t ), y (t ), z (t )) [ x?(t )]2 ? [ y?(t )]2 ? [ ? z ?(t )]2 dt
a

b

? ? ? f ( x, y, z )ds
?1

所以

? f ( x, y, z )ds = ? f ( x, y, z )ds + ? f ( x, y, z )ds =0
? ?1 ?2
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则 ? f ( x, y, z )ds
?2

? ? f ( x(t ), y (t ), z (t )) [ x?(t )]2 ? [ y?(t )]2 ? [ ? z ?(t )]2 dt
a

b

?

?1

? f ( x, y, z )ds
? ?1 ?2

所以 ? f ( x, y, z )ds = ? f ( x, y, z )ds + ? f ( x, y, z ) ds =2 ? f ( x, y, z )ds
?1
目录 上页 下页 返回 结束

利用积分曲面的对称性

和被积函数的奇偶性
计算对面积的曲面积分

目录

上页

下页

返回

结束

命题 7 若曲面 Σ 关于 xOy 面 (z = 0) 对称,则
当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数 0 ? f ( x, y , z )dS ? ? ?? ? ? 2 f ( x, y, z )dS ??
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

证 设 Σ 的上半部分Σ1由以方程给出:

?1 : z ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D
由 Σ 关于xOy面的对称性, Σ的下半部分Σ2的方 程为: ?1 : z ? ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D 于是 ?? f ( x, y, z )dS
?2

? ?? f ( x, y, ? z ( x, y )) 1 ? [? z x ( x, y )]2 ? [ ? z y ( x, y )]2 dxdy
D

? ?? f ( x, y, ? z ( x, y )) 1 ? [ z x ( x, y )] ? [ z y ( x, y )] dxdy
2 2 D
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z )
则 ?? f ( x, y, z )dS
?2

? ? ?? f ( x, y, z ( x, y )) 1 ? [ z x ( x, y )] ? [ z y ( x, y )] dxdy
2 2 D

? ? ?? f ( x, y, z )dS
?1

所以

?? f ( x, y, z )dS = ?? f ( x, y, z )dS + ?? f ( x, y, z )dS =0
? ?1 ?2
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则 ?? f ( x, y, z )dS
?2

? ?? f ( x, y, z ( x, y )) 1 ? [ z x ( x, y )]2 ? [ z y ( x, y )]2 dxdy
D

? ?? f ( x, y, z )dS
?1

所以

?? f ( x, y, z )dS = ?? f ( x, y, z)dS + ?? f ( x, y, z)dS
? ?1 ?2

? 2 ?? f ( x, y, z )dS
?1
目录 上页 下页 返回 结束

利用积分曲面的对称性

和被积函数的奇偶性
计算对坐标的曲面积分

目录

上页

下页

返回

结束

命题 8 若封闭曲面 Σ 关于 xOy 面 (z = 0) 对称, 取外侧,则

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数 0 ? f ( x, y, z )dxdy? ? ?? ? ? 2 f ( x, y, z )dxdy ??
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

证: 设 Σ 的上半部分Σ1由以方程给出:

?1 : z ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D
由 Σ 关于xOy面的对称性, Σ的下半部分Σ2的方 程为: ?1 : z ? ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D
于是

?? f ( x, y, z )dxdy ? ??? f ( x, y, ? z ( x, y))dxdy
?2 D

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z ) 则 ?? f ( x, y, z )dxdy
?2

? ? ?? f ( x, y, ? z ( x, y ))dxdy
D

? ?? f ( x, y, z ( x, y ))dxdy ? ?? f ( x, y, z )dxdy
D ?1

?

?? f ( x, y, z)dxdy = ?? f ( x, y, z )dxdy +?? f ( x, y, z )dxdy
? ?1 ?2

=2?? f ( x, y, z )dxdy
?1
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则 ?? f ( x, y, z )dxdy
?2

? ? ?? f ( x, y, ? z ( x, y ))dxdy
D

? ? ?? f ( x, y, z ( x, y ))dxdy ? ?? f ( x, y, z )dxdy
D ?1

? ?? f ( x, y, z )dxdy = ?? f ( x, y, z )dxdy + ?? f ( x, y, z )dxdy ? 0
? ?1 ?2

目录

上页

下页

返回

结束

命题 8’ 若封闭曲面 Σ 关于 xOy 面 (z = 0) 对称, 且对称的两个子曲面方向相反,则

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数 0 ? f ( x, y, z )dxdy? ? ?? ? ?2?? f ( x, y, z )dxdy
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

命题 8’’ 若封闭曲面 Σ 关于 xOy 面 (z = 0) 对称, 且对称的两个子曲面方向相同,则
当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数 0 ? f ( x, y, z )dxdy? ? ?? ? ?2?? f ( x, y, z )dxdy
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

证: 设 Σ 的上半部分Σ1 , 取上侧,其方程为:

?1 : z ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D
由 Σ 关于xOy面的对称性, Σ的下半部分Σ2 ,取 上侧,其方程为: ?1 : z ? ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D
于是

?? f ( x, y, z)dxdy ? ?? f ( x, y, ? z ( x, y))dxdy
?2 D

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z ) 则 ?? f ( x, y, z )dxdy
?2

? ?? f ( x, y, ? z ( x, y ))dxdy
D

? ? ?? f ( x, y, z ( x, y ))dxdy ? ? ?? f ( x, y, z )dxdy
D ?1

?

?? f ( x, y, z)dxdy = ?? f ( x, y, z )dxdy +?? f ( x, y, z )dxdy
? ?1 ?2

? 0.

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( x, y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则 ?? f ( x, y, z )dxdy
?2

? ?? f ( x, y, ? z ( x, y ))dxdy
D

? ?? f ( x, y, z ( x, y ))dxdy ? ?? f ( x, y, z )dxdy
D ?1

? ?? f ( x, y, z )dxdy = ?? f ( x, y, z )dxdy + ?? f ( x, y, z )dxdy
? ?1 ?2

=2?? f ( x, y , z )dxdy.
?1
目录 上页 下页 返回 结束

利用积分曲线的对称性

和被积函数的奇偶性
计算对坐标的曲线积分

目录

上页

下页

返回

结束

对坐标的曲线积分的对称性
对 ? f ( x, y )dx
L

(2)当 f (? x, y) ? f ( x, y)时 , ? f ( x, y)dx ? 2 ? f ( x, y)dx
L

①若 分段光滑曲线L 关于 y 轴对称,且L在 y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反 (1)当 f (? x, y ) ? ? f ( x, y )时, ? f ( x, y )dx ? 0
L

y L 1

L
0

x

其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 L1 ? ?( x, y ) | ( x, y) ? L , x ? 0?
注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(y)对称就关于谁(y轴)的方向相反

L1

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的两个子曲线

方向为相反, 则: ? 0, 若f 是x的奇函数 ? ?L f ( x, y)dx ? ?2? f ( x, y)dx,若f 是x的偶函数 ? ? L右
目录 上页 下页 返回 结束

命题 9 若曲线 L 关于 y 轴 (x = 0) 对称,

? f ( x, y )dx ? ? 2
L

且L在y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反,则 y L 0 当 f(x, y) 关于 x 为奇函数 1 ?

?

L1

?

f ( x, y )dx
当 f(x, y) 关于 x 为偶函数

L
0

x

注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(y)对称就关于谁(y轴)的方向相反

f(x, y) 关于 x 为奇函数:f (? x, y) ? ? f ( x, y)

f (? x, y) ? f(x, y) 关于 x 为偶函数:

f ( x, y)

其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 L1 ? ?( x, y ) | ( x, y) ? L , x ? 0?
目录 上页 下页 返回 结束

证: 设 L 的右半部分 L1 由以下参数方程给出: L1 : x ? ? (t ), y ? ? (t ), t : a ? b
由 L 关于 y 轴的对称性,L 的左半部分 L2 的参 数方程为:

L2 : x ? ?? (t ), y ? ? (t ), t : b ? a

于是
a

L2

? f ( x, y)dx

= ? f (?? (t ), ? (t ))( ?? ?(t )) dt
b

= ? f (?? (t ), ? (t ))? ?(t )dt
a
目录 上页 下页 返回 结束

b

若 f ( ? x, y ) ? ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dx
L2

? ? f (?? (t ), ? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? ? f ( x, y )dx
a L1

b

? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? 0
L L1 L2
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( ? x, y ) ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dx
L2

? ? f (?? (t ), ? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? f ( x, y )ds
a

b

? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx
L L1 L2

L1

? 2 ? f ( x, y )dx
L1
目录 上页 下页 返回 结束

对坐标的曲线积分的对称性
对 ? f ( x, y )dx
L

y

L1
0 L

②若 分段光滑曲线L 关于 x 轴对称,且L在 x轴上半部分和在x轴下半部分的方向相反

x

(1)当 f ( x, ? y ) ? f ( x, y )时,

(2)当 f ( x, ? y) ? ? f ( x, y)时 , ? f ( x, y)dx ? 2 ? f ( x, y)dx
其中L1 是L 的关于 x 轴对称的部分弧段
L L1

?

L

f ( x, y )dx ? 0

L1 ? ?( x, y) | ( x, y) ? L , y ? 0?

注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(x)对称就关于谁(x轴)的方向相反

设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线

方向为相反, 则: ? 0, 若f 是y的偶函数 ? f ( x , y ) dx ? ?2 ?L f ( x , y ) dx ,若 f 是 y 的奇函数 ? ? ? L上
目录 上页 下页 返回 结束

命题 9’ 若曲线L关于 x 轴 (y = 0) 对
称,且L在x轴上半部分和在x轴下半部 分的方向相反,则

y

L1

L x

?
L

f ( x, y ) dx ? ? ?2 f ( x, y )dx
L1

0 ?

当 f(x,y) 关于 y 为偶函数

?

当 f(x, y) 关于 y 为奇函数

f(x, y) 关于 y 为奇函数: f

( x, ? y) ? ? f ( x, y) f(x, y) 关于 y 为偶函数:f ( x, ? y) ? f ( x, y)
L1 ? {( x, y ) ? L | y ? 0}
目录 上页 下页

注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(x)对称就关于谁(x轴)的方向相反

返回

结束

证: 设 L 的上半部分 L1 由以下参数方程给出: L1 : x ? ? (t ), y ? ? (t ), t : a ? b
由 L 关于 x 轴的对称性,L 的下半部分 L2 的参 数方程为:

L2 : x ? ? (t ), y ? ?? (t ), t : b ? a

于是
a

L2

?

y

f ( x, y )dx

L1
0 L

x

= ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t ) dt
b

= ? ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t )dt
a
目录 上页 下页 返回 结束

b

若 f ( x, ? y ) ? ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dx
L2

? ? ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? f ( x, y )dx
a

b

? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? 0
L

L1

? 2 ? f ( x, y )dx
L1

L1

L2

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( ? x, y ) ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dx
L2

? ? ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? ? f ( x, y )ds
a L1

b

? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? 0
L L1 L2

目录

上页

下页

返回

结束

命题 10 若曲线 L 关于 y 轴 (x = 0) 对称,

? f ( x, y )dy ? ? 2
L

且L在y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反,则 y L 0 当 f(x, y) 关于 x 为偶函数 1 ?

?

L1

?

f ( x, y )dy
当 f(x, y) 关于 x 为奇函数

L
0

x

注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(y)对称就关于谁(y轴)的方向相反

f(x, y) 关于 x 为奇函数:f (? x, y) ? ? f ( x, y)

f (? x, y) ? f(x, y) 关于 x 为偶函数:

f ( x, y)

其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 L1 ? ?( x, y ) | ( x, y) ? L , x ? 0?
目录 上页 下页 返回 结束

证: 设 L 的右半部分 L1 由以下参数方程给出: L1 : x ? ? (t ), y ? ? (t ), t : a ? b
由 L 关于 y 轴的对称性,L 的左半部分 L2 的参 数方程为:

L2 : x ? ?? (t ), y ? ? (t ), t : b ? a 于是 ? f ( x, y )d y
L2

= ? f (?? (t ), ? (t )) ? ?(t )dt
b

a

= ? ? f (?? (t ), ? (t ))? ?(t )dt
a
目录 上页 下页 返回 结束

b

若 f ( ? x, y ) ? ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) d y
L2

= ? ? f (?? (t ), ? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? f ( x, y )dy
a

b

? ? f ( x, y )dy ? ? f ( x, y )dy ? ? f ( x, y )dy
L L1 L2

L1

? 2 ? f ( x, y )dy
L1
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( ? x, y ) ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dy
L2

? ? ? f ( ?? (t ), ? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? ? f ( x, y )dy
a L1

b

? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx
L L1 L2

? 0.

目录

上页

下页

返回

结束

对 ? f ( x, y )dx
L

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的

?

L

两个子曲线方向为相同, 则: L 0, 若 f 是 x 的偶函数 ? ? f ( x, y )dx ? ? 0 2 ? f ( x, y )dx ,若f 是x的奇函数 ? ? L右 设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相同, 则:
0, 若f 是y的奇函数 y ? ? f ( x, y )dx ? ? 2 ? f ( x, y )dx ,若f 是y的偶函数 ? L ? 上

y L 1

x

?

L

L1
L
返回 结束

0
注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴对称就关于谁的方向相同
目录 上页 下页

x

命题 10’ 若曲线L关于 x 轴 (y = 0)
对称,且L在x轴上半部分和在x轴下半 部分的方向相反,则

y

L1
0 L

x

0 当 f(x,y) 关于 y 为奇函数 ? f ( x , y ) dy ?? ? L ? 2 ? f ( x, y )dx
L1

当 f(x, y) 关于 y 为偶函数

f(x, y) 关于 y 为奇函数: f

( x, ? y) ? ? f ( x, y) f(x, y) 关于 y 为偶函数:f ( x, ? y) ? f ( x, y)
L1 ? {( x, y ) ? L | y ? 0}
目录 上页 下页

注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴(x)对称就关于谁(x轴)的方向相反

返回

结束

证: 设 L 的上半部分 L1 由以下参数方程给出: L1 : x ? ? (t ), y ? ? (t ), t : a ? b
由 L 关于 x 轴的对称性,L 的下半部分 L2 的参 数方程为:

L2 : x ? ? (t ), y ? ?? (t ), t : b ? a

于是
a

L2

? f ( x, y ) d y

y

L1
0 L

= ? f (? (t ), ?? (t ))( ?? ?(t )) dt
b

x

= ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t )dt
a
目录 上页 下页 返回 结束

b

若 f ( x, ? y ) ? ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dy
L2

? ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? ? f ( x, y )dy
a

b

? ? f ( x, y )dy ? ? f ( x, y )dy ? ? f ( x, y )dy ? 0
L L1 L2

L1

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( ? x, y ) ? f ( x, y )
则 ? f ( x, y ) dy
L2

? ? f (? (t ), ?? (t ))? ?(t )dt
a

b

? ? f (? (t ), ? (t ))? ?(t )dt ? ? f ( x, y )dy
a L1

b

? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx ? ? f ( x, y )dx
L L1 L2

? 2 ? f ( x, y )dy
L1
目录 上页 下页 返回 结束

对 ? f ( x, y )dy
L

设分段光滑的曲线L关于y轴对称, 且对称的

?

L

两个子曲线方向为相同, 则: L 0, 若 f 是 x 的奇函数 ? ? f ( x, y )dy ? ? 0 2? f ( x, y )dy ,若f 是x的偶函数 ? ? L右 设分段光滑的曲线L关于x轴对称, 且对称的两个子曲线 方向为相同, 则:
0, 若f 是y的偶函数 y ? ? f ( x, y )dy ? ? 2? f ( x, y )dy ,若f 是y的奇函数 ? L ? 上

y L 1

x

?

L

L1
L
返回 结束

0
注意:这里的方向相反是指:关于哪个轴对称就关于谁的方向相同
目录 上页 下页

x

命题 11 若空间曲线 Γ 关于 xOy 面 (z = 0) 对称,且L在z
轴上半部分和在z轴下半部分的方向相反,则
当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数 0 ? f ( x, y, z ) dz ? ? ? ? ? 2 f ( x, y, z )dz ?
?1

当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数

f(x, y, z) 关于 z 为奇函数: f ( x, y, ? z) ? ? f ( x, y, z) f(x, y, z) 关于 z 为偶函数: f ( x, y, ? z) ?

f ( x, y, z)

?1 ? {( x, y, z ) ?? | z ? 0}
目录 上页 下页 返回 结束

证 设 Γ 的上半部分 Γ1 由以下参数方程给出:

?1 : x ? x(t ), y ? y (t ), z ? z (t ), t : a ? b
由 Γ 关于xOy面的对称性, Γ 的左半部分 Γ2 的 参数方程为:

? 2 : x ? x(t ), y ? y (t ), z ? ? z (t ), t : b ? a
于是
a ?2

? f ( x, y, z )ds

= ? f ( x(t ), y (t ), ? z (t ))( ? z ?(t ))dt
b

= ? f ( x(t ), y (t ), ? z (t )) z ?(t )dt
a
目录 上页 下页 返回 结束

b

若 f ( x, y , ? z ) ? ? f ( x, y , z )
则 ? f ( x, y, z )dz
?2

? ? f ( x(t ), y (t ), ? z (t )) z ?(t )dt
a

b

? ? ? f ( x(t ), y (t ), z (t )) z ?(t )dt ? ? ? f ( x, y, z )dz
a ?1

b

所以

? f ( x, y, z )ds = ? f ( x, y, z )ds + ? f ( x, y, z )ds =0
? ?1 ?2
目录 上页 下页 返回 结束

若 f ( x, y , ? z ) ? f ( x, y , z )
则 ? f ( x, y, z ) dz
?2

? ? f ( x(t ), y (t ), ? z (t )) z?(t )dt
a

b

? ? f ( x(t ), y (t ), z (t )) z?(t )dt ? ? f ( x, y , z )dz
a ?1

b

? ? f ( x, y, z )ds = ? f ( x, y, z )d z+ ? f ( x, y, z )dz
? ?1 ?2

=2 ? f ( x, y, z )dz
?1
目录 上页 下页 返回 结束

二重积分的计算:
根据积分区域和被积函数的特点选择: 合适的坐标系; 恰当的积分次序,从而正确地确定积分限。

三重积分的计算:
根据积分区域和被积函数的特点选择: 合适的坐标系:直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系; 在各种坐标系系下相应的穿针法与截面法; 恰当的积分次序,从而正确地确定积分限;

*1计算的难点:各种坐标系下积分限的确定
*2在掌握基本运算的基础上,还应了解如何根据对称性及轮换对 称性等方法来计算重积分.此外,还要会用对称性,交换积分次序,变 量代换以及重积分性质来解决一些较难的问题(计算题及证明题).
目录 上页 下页 返回 结束

D ? {( x, y ) ? a ? x ? a, x ? y ? a}, D1 ? {( x, y ) P182 1(2) 0 ? x ? a, x ? y ? a}, 则 ?? ( x y ? cos x sin y ) dx d y ? A
1. 设
D

( A) 2?? cos x sin y d x d y
D1

( B) 2??

D1

x y dx d y

(C ) 4?? ( x y ? cos x sin y ) d x d y
D1

提示: 如图 , D ? D1 ? D2 ? D3 ? D4 由对称性知

y a D2 D1 DD 3 ? a D4 O a x




上是关于 y 的奇函数

上是关于 x 的偶函数
目录 上页 下页 返回 结束

1.

设D 是以 (1,1), (?1,1), (? 1, ? 1) 为顶点的三角形区

D1 是区域 D 在第一象限部分. 域,
证明

y a 解: 积分区域如图所示,将区域分成 D2 D1 DD 3 四个小区域,由于区域 D1 ? D2 y 关于 轴 ?1 D4 O 1 x 轴对称,区域 D3 ? D4 关于 x 轴对称,故
D D1

?? ( xy ? cos x sin y) d x d y ? 2?? cos x sin y d x d y .

?? xy d x d y ? ?? xy d x d y ? ?? xy d x d y ? 0 ,
D D1 ? D2 D3 ? D4
目录 上页 下页 返回 结束




D3 ? D4

?? cos x sin y d x d y ? 0 .
? ?? cos x sin y d x d y
D

?? ( xy ? cos x sin y) d x d y
D

y a D2 D1 DD 3 ? a D4 O a x

?

D1 ? D2

?? cos x sin y d x d y
D1

? 2?? cos x sin y d x d y .

目录

上页

下页

返回

结束

cos( xy ) I ? xe sin( xy )dxdy , 其中 2. 设 ??

D : x ? 1, y ? 1,
利用对称性简化计算 解:

D

则I ?(

C ).

A. e ; B. e ?1 ; C . 0 ;

D. ? .

因为D关于 x 轴对称,

且f ( x, ? y ) ? ? f ( x, y ), 所以I ? 0.
I ?

y

??
D

xe cos( xy ) sin( xy )dxdy ,
1 1 ?1 ?1

? ? ? dx ? de cos( xy )
cos x cos x ? ? ?? ? e ? e dx ? 0 ? ? ?1
目录

1

o

x

上页

下页

返回

结束

3.

若区域 D : x ? y ? a ,则 ?? xy dxdy ? (
2 2 2

D

D
y

).

1 4 A. 0 ; B . a ; C . ? a ; D . a . 2 解 在极坐标系下 D: 0 ? ? ? a , 0 ? ? ? 2? .
4 4

o

x

由于被积函数是x和y的偶函数,积分域关于x轴 和y轴都对称,记D1 : x 2 ? y 2 ? a 2 , x ? 0, y ? 0, 则有

?? xy dxdy =4?? xy dxdy? 4?
D

?

? 4 ? 2 cos? sin? d? ?
0

?

D1

2 0

d? ? ? cos? sin? d ?
3 0

a

a

0

? 1 4 1 4 2 3 2 ? a . ? sin ? ? d? ? a ? ?0 2 2 ?

目录

上页

下页

返回

结束

例4. 计算二重积分


1011B 其中D 为

所围成的闭区域.(画出积分区域草图).

??1 ? x ? 1, 解: D : ? 2 ? x ? y ? 1, 利用对称性简化计算, 因为D关于 y 轴对称, 且

1 4 1 1 1 4 1 ? ? ? 2 y ? 2d x? ? ? 2 ? 2 x ? d x ? . ?1 ?1 5 x 1
2

? ? d x ? 2 yd y
?1

1

1

x

目录

上页

下页

返回

结束

例5. 计算

其中D 由

y ? 4 ? x , y ? ?3x , x ? 1 所围成. 2 解: 令 f ( x, y ) ? x ln( y ? 1 ? y )
D ? D1 ? D2 (如图所示)
显然, 在 D1上 , f (? x, y ) ? ? f ( x, y )

2

4
y ? ?3x

y

y ? 4 ? x2

D1

在 D2上 , f ( x,? y) ? ? f ( x, y)
? I ? ?? x ln( y ? 1 ? y )d xd y
2 D1

O

D2

1

x

x ?1

? ??

D2

x ln( y ? 1 ? y 2 )d xd y ? 0
目录 上页 下页 返回 结束

例6. I ?

2 2 x [1 ? yf ( x ? y )]d? , ?? D

D由下列曲线所围:

y ? x , y ? 1, x ? ?1
3

解: 由积分区域D与被积函数特点, 构造“对称性” y ? ?x3

y

D
D2
D3

y ?1
D
1

I? ?

D1 ? D2

??

x[1 ? yf ( x 2 ? y 2 )d?
2 2

y ? x3

D3 ? D4

??

x[1 ? yf ( x ? y )d?

o x

? 0?
0

D3 ? D4

??
x

xd? ? 0
0

x ? ?1

D4

? ? xdx ? 3
?1

? x3

4 2 ? ? 2 x dx dy ??1 ? ? .

5

目录

上页

下页

返回

结束

例7.

??? ( x ? y ? z )dv,
?

其中 ? : x ? 0, y ? 0, z ? 0, x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 . 解 1:

?与?的特点(?)

z
R DZ o R

??? xdv ? ??? ydv ? ??? zdv
? ? ?

? ??? ( x ? y ? z )dv ? 3??? zdv
? ?

? 3? zdz ?? dxdy
0 DZ

R

DZ : x ? y ? R ? z
2 2 2

2

y

x R

? 3?

R

0

1 3 2 2 z ? ? ( R ? Z ) ? ? R4 4 16
目录 上页 下页 返回 结束

解 2: ??? ( x ? y ? z )dv ? 3??? zdv
? ?

z
R

? 3?? rdrd? ?
Dr?

R2 ? Z 2

0

zdz
o

? 3? d? ? rdr ?
2 0 0

?

R

R2 ? Z 2

0

zdz

D

R

y

?

3 ? ? R4 16

R

x

目录

上页

下页

返回

结束

解3:
?

??? ( x ? y ? z )dv ? 3??? zdv
? ?

z R

? 3? 2 d? ?? r cos ? ? r 2 sin ? d?
0 D?

? 3? d? ? d? ? r cos ? r 2 sin ? d?
2 0 2 0 0

?

?

R

o R

D? R y

?

3 ? ? R4 16

x

目录

上页

下页

返回

结束

1 例9. 设f(x)在[a,b]上连续且恒大于零,则 ?a f ( x)dx ? ?a dx ? (b ? a) 2
b b

f ( x)

分析: 欲证式左右两边特点 右: (b ? a)2 ? ?? dxdy (1) 左:(?) “升维法”,以利用积分不等 D 式1 b b b b 1 f ( x)

f ( y) f ( y) D b b 比较(1),(2),进一步:? f ( x)dx ? ? 1 dx ? ?? f ( y ) dxdy a a f ( x) f ( x) D f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) ? ? 2 ? ?2 解: f ( y ) f ( x) f ( y ) f ( x)
a a a a

?

f ( x)dx ? ?

f ( x)

dx ? ? f ( x)dx ? ?

dy ? ??

dxdy

(2) (3)

?

b

a

f ( x)dx ? ?

b

a

1 1 f ( y) f ( y) 1 dx ? ?? ( ? )dxdy ? ? 2?? dxdy f ( x) 2 D f ( x) f ( x) 2 D



?

b

a

f ( x)dx ? ?

b

a

1 dx ? (b ? a)2 . f ( x)
目录 上页 下页 返回 结束

分析2: 利用柯西不等式:(高等数学(上) P272 9(1)) 设f(x),g(x)均在[a,b]上连续,则
[? f ( x ) g( x )dx] ? ? f ( x )dx ? g ( x )dx
2 2 2 a a a b b b

目录

上页

下页

返回

结束

例10. 设f(u)可微,f(0)=0,t > 0, ?:
求 lim 1 4 t ?0 ? t

x ? y ?z ?t
2 2 2

2

???
?

f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv

分析:实质:求一元函数极限 lim

1 F (t ) 求F(t): 4 t ?0 ? t

解: F ( t ) ? ??? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv ? ??? f ( r )r 2 sin ? drd? d?
? ?

??

2?

0

d? ? d? ? f ( r )r sin ? dr ? 4? ? f (r )r 2dr ? 0(t ? 0)
2 0
t

?

t

t

0

0

lim
t ?0

4? ? f ( r )r 2dr
0

? t4

4 f ( t )t 2 4 f (t ) ? lim ? ? f ?(0) 3 lim t t t ?0 t ?0

目录

上页

下页

返回

结束

练习 P253 2. 证明 分析

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (a ? b ? x )dx
a

b

(1) 积分区间相同;(2) 被积函数不同.

解决:采用适当的换元 证明 令 a ? b ? x ? t, 则 dt ? ? dx

换元
换限

当 x ? a 时,t ? b;当 x ? b 时, t ? a
所以

?

b

a

f (a ? b ? x)dx ? ?? f (t )dt ? ? f (t )dt
b a

a

b

所以,原命题成立。

? ? f ( x)dx
a
目录 上页 下页 返回 结束

b

轮换对称性在微分学中的应用 函数 u ? f ( x , y , z ) ,如果满足 1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x函数的表达式不 变,即 f ( x , y, z ) ? f ( y, x , z ) 则称此函数关于自变量 x,y具有轮换对称性

ux ? f x ( x , y , z )
只需将上式中的将x,y换为y,x,就得到对变量y的偏导数:

uy ? f y ( x, y, z ) ? f y ( y, x, z );

目录

上页

下页

返回

结束

轮换对称性在微分学中的应用
函数 u ? f ( x , y , z ) ,如果满足 2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x函数的表达式不变 即 f ( x, y, z ) ? f ( y, z , x ) ? f ( z , x , y ) 则称此函数关于自变量 x,y,z具有轮换对称性 ux ? f x ( x , y , z ) 只需将上式中的将x,y,z换为y,z, x就得到对变量y的偏导数:

uy ? f y ( x, y, z ) ? f y ( y, z , x ); 只需将上式中的将y,z, x 换为z,x,y 就得到对变量z的偏导数:
uz ? f z ( x , y , z ) ? f z ( z , x , y )
目录 上页 下页 返回 结束

例1 . 求 z ? x 2 ? 3x y ? y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. ?z ?z ? 2x ? 3y , ? 3x ? 2 y 解法1 先求后代 ?x ?y ?z ?z ? ? y (1, 2) ? x (1, 2)
解法2

z

2 ? x ? 6x ? 4 y ?2

先代后求

?z ? x (1, 2)

z

x ?1 ? 1 ? 3 y ?

y

2

?z ? y (1, 2)
目录 上页 下页 返回 结束

注意: 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.

? xy , x2 ? y2 ? 0 ? 2 例如, z ? f ( x, y ) ? ? x ? y 2 2 2 ? 0 , x ? y ?0 ?
显然

?0 ?0
但是 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束

例1.

f ( x , y ) ?| x | ? | y |,

在(0,0) 处连续,

| x | ?0 | x| f x (0, 0) ? lim ? lim 不存在 x ?0 x ?0 x x
| y | ?0 | y| f y (0, 0) ? lim ? lim 不存在. y ?0 y ?0 y y

可见:多元函数的可导既不是连续的充分条件, 也不是连续的必要条件.

目录

上页

下页

返回

结束

例2. 证明函数

满足拉普拉斯

? 2u ? 2u ? 2u 方程 ?u ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?z
证:
2

2 3 x ? r 1 3 x 1 ? u ? 4 ? ?? 3? 5 ? ? r r ?x2 r 3 r ?x ? 2u 1 3 y2 ? 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 ? ? 3 ? 5 , ?? 3? 5 2 ?z r r ?y r r 2 2 2 ? u ? u ? u 3 3( x2 ? y2 ? z 2 ) ? ? 2 ? 2 ?? ? ?0 2 3 5 ?x ?y ?z r r
目录 上页 下页 返回 结束

? r2

练习P69,6(1)
z ? x4 ? y4 ? 4 x2 y2 ,
?z ? 4 x3 ? 8 xy 2 , 解: ?x

?z ? 4 y3 ? 8x2 y , ?y 2 2 ? z ? z 2 2 2 2 ? ? 12 y ? 8 x , 2 2 12 x ? 8 y , ?x ?y

?2z ? ?16 xy. ? x?y

目录

上页

下页

返回

结束

例3. 设

x 注意: x , y , z 具有 解: ? f ( x,0,0) ? 轮换对称性 3 ? cos x 1 x ? ? ? ? f x (0,0,0) ? ? 3 ? cos x x ? 0 4

1 f y (0,0,0) ? f z (0,0,0) ? 4 ? d f (0,0,0) ? f y (0,0,0) d x ? f y (0,0,0) d y ? f z (0,0,0) d z 1 ? (d x ? d y ? d z ) 4
目录 上页 下页 返回 结束

利用轮换对称性 , 可得

例3. 设 解: 注意: x , y , z 具有轮换对称性

x 1 x ? ? f ( x,0,0) ? ? ? ? f x (0,0,0) ? ? 3 ? cos x 3 ? cos x x ? 0 4
利用轮换对称性 , 可得

1 f y (0,0,0) ? f z (0,0,0) ? f x (0,0,0) ? 4 ? d f (0,0,0) ? f y (0,0,0) d x ? f y (0,0,0) d y ? f z (0,0,0) d z 1 ? (d x ? d y ? d z ) 4
目录 上页 下页 返回 结束


相关文章:
对称性在微积分学中的应用20150715.ppt
对称性在微积分学中的应用20150715_数学_自然科学_专业资料。对称性在微积分学中的应用20150715 二重积分的对称性(1)如果D关于y轴(x=0)对称,则 ?( x , y ...
对称性在微积分中的应用as_图文.pdf
对称性在微积分中的应用as - 对称性在微积分中的应用 胡大勇 (重庆商务职业学
对称性在微积分应用中的教学归纳.pdf
对称性在微积分应用中的教学归纳 - 研究了微积分的对称性,给出了偏导数、定积分、
对称性在积分计算中应用.doc
本论文 主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。 积分在微积分学中既是重点又是难
对称性在微积分应用中的教学归纳.pdf
对称性在微积分应用中的教学归纳 - 第17卷第5期V01.17N。?5 重庆工学
一元函数微积分学在物理学上的应用.pdf
一元函数微积分学在物理学上的应用_理学_高等教育_教育专区。一元函数微积分学...y 2 ? z 2 (0 ? z ? 1) 根据对称性可知,所求引力在x轴,y轴上的...
微积分在物理学上的应用.doc
微积分在物理学上的应用 - 微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数的运算,因此...
一元函数微积分学在物理学上的应用(1).doc
一元函数微积分学在物理学上的应用(1) - 一元函数微积分学在物理学上的应用
数学软件Mathematica在微积分教学中的应用.pdf
100048 )[摘要] 在大学文科 《微积分》 的教学中利用符号计算软件 Mathematica 的计算功能和绘制函数图形的功能,增 强数学教学的直观性,激发学生的兴趣,提高学习...
微积分在物理学中的应用_图文.doc
微积分在物理学中的应用 - 微积分在物理学中的应用 The application of calculus in physics 摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概....
微积分在高考数学试题中的应用_图文.pdf
微积分在高考数学试题中的应用 - 上海中学数学?2013年第3期 微积分在高考数学试题中的应用 200234上海师范大学数理学院 随着新编高中教材内容的更新以及全国中学生 ...
微积分在物理学中的应用论文_图文.doc
微积分在物理学中的应用论文_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 微积分在物理学中的应用论文_理学_高等教育_教育专区。 ...
微积分在经济学中的应用.doc
微积分在经济学中的应用 - 微积分在经济领域中的应用,主要是研究在这一领域中出现
电磁学中的微积分教学.pdf
们都发现我们现在所学的力学、 电磁学 上的题目其实完全可以改名为微积分应用题...二、 用高斯定理计算电场强度 (1) 从电荷分布的对称性来分析电场强度的对称 ...
浅析微积分在经济学中的应用.doc
浅析微积分在经济学中的应用黄尹艺(四川大学锦城学院,会计 2 班,1304102
浅谈微积分学在中学数学教学中的应用.doc
浅谈微积分学在中学数学教学中的应用 - 题 目 浅谈微积分学在中学数学教学中的应用 何凯茜 学号 1109014004 学生姓名 所在学院 专业班级 指导教师 完成地点 数学...
微积分在经济学中的应用.doc
微积分在经济学中的应用_数学_自然科学_专业资料。绥化学院本科毕业设计(论文)
浅谈微积分在高中数学中的应用.doc
浅谈微积分在高中数学中的应用 - 浅谈微积分在高中数学中的应用 房山教师进修学校 卢寒芳 摘要:微积分是数学中的重要内容,其思想方法和基本理论有着广泛的应用,...
浅谈微积分在中学数学中的应用.doc
浅谈微积分在中学数学中的应用 - 浅谈微积分在中学数学解题中的应用 数学与计算科学系 学号:09690137 数学与应用数学专业 姓名:尹佩 指导老师:蔡江涛 摘要:微积分...
线性代数在微积分课程教学中的应用_图文.pdf
线性代数在微积分课程教学中的应用_理学_高等教育_...性代 数在 微积 分 课程 教学 中的 应用魏 莹...L-2 o 7j 2 A 一5 _2 0 设实对称阵A 的...
更多相关标签: