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安庆一中理科实验班招生考试(数学)

安庆一中理科实验班招生考试-数 学
中学
本试卷共 20 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、选择题: (下列各小题都给出了四个选项,其中只有一项是符合题目要求.本大题共 8 小题,每小题 5 分,计 40 分) 1.下列说法中,正确的是( ) A.如果

a?b c?d a c ? ,那么 ? b d b d

B. 9 的算术平方根等于 3
2

C.当 x ? 1 时, x ? 1 有意义

D.方程 x ? x ? 2 ? 0 的根是 x1 ? ?1 ,x2 ? 2

市(县)

2.将函数 y ? x2 ? x 的图象向右平移 a ( a ? 0) 个单位,得到函数 y ? x2 ? 3x ? 2 的图象, 则 a 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列图形中,对称轴有且只有 3 条的是( ) A.菱形 B.等边三角形 C.正方形 D.圆 4、方程 ( x 2 ? x ? 1) x?3 ? 1的所有整数解的个数是( ) D B O A

毕业学校:

A..5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 5.如图, AB 是圆 O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上, DC 切圆 O 于 C, 若∠A ? 25 . 则 ∠D 等于( A. 40 ? B. 50 ?
2

C 第 5 题图

) D. 70 ?

C. 60 ?

y 1 )
?1 O

6.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, 有以下结论:① a ? b ? c ? 0 ;② a ? b ? c ? 1 ;③ abc ? 0 ; ④ 4a ? 2b ? c ? 0 ;⑤ c ? a ? 1 其中所有正确结论的序号是( A.①② B.①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 7. 如图,已知等边 ?ABC 外有一点 P,P 落在 ?ABC 内,设 P 到 BC、CA、AB 的距离分别为 h1 , h2 , h3 , 满足 h1 ? h2 ? h3 ? 6 ,那么等边 ?ABC 的面积为( A. 4 3 C. B. 8 3 D. 12 3
2

1 x

第 6 题图

姓名





h1

h2
B A 第 7 题图



9 3

h3


准考证号

2 8. 若 xy ? 1 ,且有 7 x ? 2009 x ? 13 ? 0 及 13 y ? 2009 y ? 7 ? 0 ,则

x 的值是 ( y

A.

13 7

B.

7 13

C. ?

2009 7

D. ?

2009 13

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.

第 1 页 共 .4 页

9. 4cos30? sin60? ? (?2)?1 ? ( 2009 ? 2008)0 =_____________ 10. 函数 y=

B

x2 ? 4x ? 5 ? x2 ? 4x ? 8 的最小值是____________
A 第 11 题图 与 x 轴交于 An、Bn 两点, C

,AC ? 4,BC ? 2, 11.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C ? 90° 分别以 AC 、 BC 为直径画半圆,则图中阴影部分的面积 为 . (结果保留 ? )
12. 对于每个非零自然数 n,抛物线 y ? x ?
2

2n ? 1 n( n ? 1)

x?

1 n( n ? 1)

以 An Bn 表示这两点间的距离,则 A 1B 1?A 2 B2 ?
2

? A2009 B2009 的值是____________

? (b-6) + 10-2b =2 ,则代数式 a+c 的 13、已知 a、b、c 满足 a+b+c+(a +1)
值是 14.如果三位数 abc(表示百位数字为 a,十位数字为 b,个位数字为 c 的三位数),且满足 b<a 或 b<c,则称这个三位数为“凹数” 。那么,从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数” 的概率是 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

a 5 ? a 4 ? 2a 3 ? a 2 ? a ? 2 5 ?1 15. (本小题满分 12 分)设 a ? ,求 的值. a3 ? a 2

16. (本小题满分 14 分)某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的售价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元) .设 每件商品的售价上涨 x 元( x 为正整数) ,每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上结论,请你直接 写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元?

17. (本小题满分 14 分)如图,半径为 2 5 的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于
第 2 页 共 .4 页

P 点. (1) 求证:PA·PB=PC·PD; (2) 设 BC 的中点为 F,连结 FP 并延长交 AD 于 E,求证:EF⊥ AD: (3) 若 AB=8,CD=6,求 OP 的长.

C F A E P O D
第 17 题图

B

18. (本小题满分 14 分) 已知:在矩形 AOBC 中, OB ? 4 , OA ? 3 .分别以 OB,OA 所在直线为 x 轴和 y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系. F 是边 BC 上的一个动点(不 与 B,C 重合) ,过 F 点的反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的图 x

象与 AC 边交于点 E . (1)求证: △ AOE 与 △BOF 的面积相等; (2)记 S ? S△OEF ? S△ECF ,求当 k 为何值时, S 有最大 值,最大值为多少?

第 18 题图

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19. (本小题满分 12 分) 象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘, 计分的方法是胜一盘得 2 分,和一盘的 1 分,负一盘的 0 分。已知其中两名棋手共得 16 分,其 他人的平均得分为偶数,求参加这次比赛的选手共有多少人?

20. (本小题满分 14 分) 如图, 将正方形纸片 ABCD 折叠, 使点 B 落在 CD 边上一点 E(不 与点 C , D 重合) ,压平后得到折痕 MN . F CE 1 AM ? 时,求 (1) 当 的值; A M D

CD 2 BN CE 1 AM ? ( n 为整数) (2) 若 , 求 的值 (用含 n 的式子表示) 。 CD n BN

E B

N 第 20 题图

C

第 4 页 共 .4 页

数学试卷参考答案
一、选择题:1. A 二、 填空题: 9. 0 2. B 10. 5. 3. B 11. 4. C

5 ? ?4 2

A 6. C 7. D 2009 12. 13. -6 2010

5.

8. A 14.

19 60

2 三、解答题:15. 解 ∵ a 2 ? ( 5 ? 1)2 ? 3 ? 5 ? 1 ? a ,∴ a ? a ? 1 , 2 2 5 4 3 2 3 2 a ? a ? 2a ? a ? a ? 2 a ( a ? a ) ? 2a 3 ? ( a 2 ? a ) ? 2 ∴ ? a3 ? a a ? a2 ? a 3 3 3 3 a ? 2a ? 1 ? 2 1 ? a 1? a ? ? ?? ? ?(1 ? a ? a 2 ) ? ?(1 ? 1) ? ?2 . a ? (1 ? a) ? a ?a 2 1? a

16. 解: (1) y ? (210 ?10x)(50 ? x ? 40) ? ?10x2 ? 110x ? 2100 ( 0 ? x ≤ 15 且 x 为整数) ; (2) y ? ?10( x ? 5.5)2 ? 2402.5 .

a ? ?10 ? 0 ,? 当 x ? 5.5 时, y 有最大值 2402.5.

0 ? x ≤ 15 ,且 x 为整数,
当 x ? 5 时, 50 ? x ? 55 , y ? 2400 (元) ,当 x ? 6 时, 50 ? x ? 56 , y ? 2400 (元)

? 当售价定为每件 55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月利润是 2400 元.
(3)当 y ? 2200 时, ?10 x ? 110 x ? 2100 ? 2200 ,解得: x1 ? 1 ,x2 ? 10 .
2

? 当 x ? 1 时, 50 ? x ? 51 ,当 x ? 10 时, 50 ? x ? 60 . ? 当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元.
当售价不低于 51 或 60 元,每个月的利润为 2200 元. 当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时, 每个月的利润不低于 2200 元 (或当售价分 别为 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月的利润不低于 2200 元) . 17.解 (1)∵∠A、∠C 所对的圆弧相同,∴∠A=∠C.
C

∴Rt△APD∽Rt△CPB,∴ AP ? PD ,∴PA·PB=PC·PD; CP PB (2)∵F 为 BC 的中点,△BPC 为 Rt△,∴FP=FC,∴∠C=∠CPF. 又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90° , ∴∠DPE+∠D=90° .∴EF⊥ AD. (3)作 OM⊥ AB 于 M,ON⊥ CD 于 N,同垂径定理: ∴OM2=(2 5 )2-42=4,ON2=(2 5 )2-32=11 又易证四边形 MONP 是矩形,∴OP= OM 2 ? ON 2 ? 15

F A E P O D B

18. 解: (1)设 E( x1,y1 ) , F ( x2,y2 ) , △ AOE 与 △FOB 的面积分别为 S1 , S2 , 由题意得 y1

?

k k , y2 ? x2 x1

.? S1 ?

1 1 x1 y1 ? k , S 2 ? 1 x2 y2 ? 1 k . 2 2 2 2

? S1 ? S2 ,即 △ AOE 与 △FOB 的面积相等.

第 5 页 共 .4 页

? ? k? (2)由题意知: E,F 两点坐标分别为 E ? k , 3 , F 4, , ? ? ?3 ?
? ? ? 4?

? S△ECF ?

1 1? 1 ?? 1 ? EC CF ? ? 4 ? k ?? 3 ? k ? , 2 2? 3 ?? 4 ?

1 1 ? S△ EOF ? S矩形AOBC ? S△ AOE ? S△ BOF ? S△ ECF ? 12 ? k ? k ? S△ ECF ? 12 ? k ? S△ ECF 2 2
1? 1 ?? 1 ? ? S ? S△OEF ? S△ECF ? 12 ? k ? 2S△ECF ? 12 ? k ? 2 ? ? 4 ? k ?? 3 ? k ? 2? 3 ?? 4 ? 1 1 . ? S ? ? k 2 ? k .当 k ? ? ?1 ? 6 时, S 有最大值, S ? ?3 12 min ? 1? ? 1?
2?? ? ? ? 12 ?

4?? ? ? ? 12 ?

19. 解:设参赛的选手共有 n+2 人,除两人的 16 分外,其余 n 人平均得分为 2k(k 为整数),所 以 n+2 人总的分为 16+2nk。 因为每人与其他人比赛一盘,所以 n+2 人共赛了 (n ? 2)(n ? 1) 盘,而每盘比赛都得 2 分,
2

故总得分为 (n ? 2)(n ? 1) 分,从而有:16+2nk = (n ? 2)(n ? 1) 化简得 n(n ? 3 ? 2k ) ? 14 因为 n,k 均为正整数,所以 n 可能为 1,2,7,14,又 n 为奇数,故 n=1,7 当 n=1 时,n+3-2k=14 得 k=-5(舍去) 当 n=7 时,k=4 满足,所以共有 9 人参加比赛。 20.解(1)连接 BM ,EM ,BE . 由题设,得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称. ∴ MN 垂直平分 BE .∴ BM ? EM ,BN ? EN. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ ?A ? ?D ? ?C ? 90° ,AB ? BC ? CD ? DA ? 2. ∵

CE 1 NC ? 2 ? x. ? , ? CE ? DE ? 1. 设 BN ? x, 则 NE ? x, CD 2
A M

F D

2 2 2 在 Rt△CNE 中, NE ? CN ? CE .
2 2 ∴ x ? ?2 ? x? ?1 . 解得 x ? 2

5 5 ,即 BN ? . 4 4
B

E

在 Rt△ ABM 和在 Rt△DEM 中,

AM 2 ? AB 2 ? BM 2 , DM 2 ? DE 2 ? EM 2 , ? AM 2 ? AB 2 ? DM 2 ? DE 2. 2 2 2 2 设 AM ? y, 则 DM ? 2 ? y, ∴ y ? 2 ? ?2 ? y? ?1 . 1 1 解得 y ? , 即 AM ? . 4 4 AM 1 ? . ∴ BN 5

N

C

(n ? 1) 2 (2) 2 n ?1

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