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圆锥曲线常见综合题型(整理)

卓越个性化教案
学生姓名 课 题 年级 圆锥曲线综合复习 1. 2. 3. 4. 5. 6. 求轨迹方程 直线与椭圆的位置关系 弦长问题 中点弦问题 焦点三角形(定义和余弦定理或勾股定理) 最值问题 授课时间 教师姓名 课时 2h

教学目标

【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系

注意:直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程(二次项系数 a 不为 0) ,但 直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程,因此需分类讨论。 即: 1. 一次方程,只有一个解,说明直线与双曲线相交,只有一个交点,此时直线与渐进性平行;

? ? ? 0, 无解,没有交点 ? 2. 二次方程, ?? ? 0,有一个交点(相切) ?? ? 0,有两个交点(相交) ?
因此在做题过程中,若直线与双曲线 ①没有交点: a ? 0且? ? 0 ②有一个交点: a ? 0或者a ? 0且? ? 0 ③有两个交点: a ? 0且? ? 0 此外,在设直线方程时,要注意直线斜率不存在的情况。

二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),

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且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 2 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ =b -4ac >0。 ? y ? kx ? n

则弦长公式为:

| AB |? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 。
三、用点差法处理弦中点问题 设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点代入圆锥曲线的 方程并对所得两式作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们 称这种代点作差的方法为“点差法” 。 【典型例题】
:学。科。网][来源:学§科§网]

题型一

直线与圆锥曲线的交点问题

2 2 例 1 k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共

点?

例 2. 已知直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,求 k 的取值范围。
2 2

x2 y2 变式 1:过点 P(0,1)的直线与双曲线 4 ? 5 ? 1 有且只有一个公共点,求直线的斜率的取值范围。

2

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变式 2:已知曲线 C: y ?

? x 2 ? 2 x 与直线 l:x+y-m=0 有两个交点,则 m 的取值范围是

题型二

直线与圆锥曲线的弦长问题(注意 ? ? 0 的条件)

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 例 3. 已知椭圆: 6 9
的长。

例 4. 直线 l 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上截得弦长为 4,其斜率为 2,求直线 l 在 y 轴上的截距 m. 3 2

变式 1 :椭圆

3 x2 y 2 ,椭圆与直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 相交于点 P,Q ,且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

PQ ? 10 ,求椭圆的方程

3

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变式 2:已知椭圆 C :

x y x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,直线 l1 : ? ? 1 被椭圆 C 截得的弦长为 2 2 ,且 2 a b a b

e?

6 ,过椭圆 C 的右焦点且斜率为 3 的直线 l2 被椭圆 C 截的弦长 AB, 3

⑴求椭圆的方程;⑵弦 AB 的长度.

题型三

运用点差法处理中点弦问题

例 5. 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被 M 点平分, 求这条弦所在直线的方程。 16 4

例 6. 直线 y=x-1 被抛物线 y 2 ? 4 x 截得线段的中点坐标是

变式 1:过点 P(-1,1)作直线与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点恰为 P 点,求 AB 4 2 所在直线的方程和线段 AB 的长度.

x2 y2

变式:椭圆

4 x2 y 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 P F1⊥PF2,,| P F1|= ,,| P 2 3 a b

F2|=

14 . 3

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直 线 L 的方程。

4

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例 7. 中心在原点 O 的椭圆 mx2 ? ny2 ? 1 与直线 x+y-1=0 交于 P、Q 两点,M 为 PQ 中点,且

K OM ?

m 2 ,则 的值为 n 2

题型四

直线与圆锥曲线有关的最值问题

例 8. 若点 P 在椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上,则点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离的最大值为

变式:点 P 在抛物线 y ? x 2 上,求 P 到直线 x-y-2=0 的最短距离。

例 9. 已知 P 是抛物线 y ? 并求此时 P 点的坐标。

1 2 x 上的动点,F 为抛物线的焦点,定点 A(12,6),求|PA|+|PF|的最小值, 4

例 10. 若直线 y=x+m 和椭圆

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,当 m 变化时,|AB|的最大值为( 4
C.



A. 2

B.

4 5 5

4 10 5

D。

8 10 5

5

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例 11. 已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1,直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3

3 ,求△AOB 面积的最大值. 2

变式 1:过椭圆

的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ,求

面积的最大值 .

变式2. 已知动点 P 到定点 F

?

2, 0 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离之比为

?

2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

FN ? 0 ,求 MN (2)设 M 、 N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若 EM ?
的最小值. [

? ? ? ? ?? ? ? ?

题型五

有关轨迹问题
2

例 12.求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程。 4

6

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变式 1: 已知椭圆

y2 x2 ? ? 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。 75 25

变式 2:椭圆方程为 x ?
2

y2 ,B,O 是坐标原点,点 P 满 ? 1,过点 M (0, 1) 的直线 l 交椭圆于点 A 4

足 OP ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

评析:本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力.利用点差 法是求解的关键.

题型六:焦点三角形

x2 y2 ? ? 1的焦点为F1和F2,且P是双曲线上一点,若 ?F1 PF2 ? 900 , 求?ABC 例 13 双曲线 9 16
的面积。

x2 y2 ?F1MF2 ? ? , 变式 1: M 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)上一点,F1和F2为椭圆的两个焦点, a b
求 ?F1MF2 的面积(用 a、b、? 表示)

7

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变式 2:已知双曲线 P 到 x 轴的距离。

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2 ,点 P 在双曲线上,当 PF 1 ? PF 2 时,求点 9 16

【方法与技巧总结】 1.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线 的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想来设而不求法与 弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查; 2.关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。利用引入一个参数表示动点的 坐标 x、y,间接把它们联系起来,减少变量、未知量采用参数法。有些题目还常用它们与平面几何 的关系,利用平面几何知识会化难为易,化繁为简,收到意想不到的解题效果; 3.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是 否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法; 4.当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用 弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来,相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就 能事半功倍;
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源头学子 小屋
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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【巩固练习】 x2 y2 1.AB 为过椭圆 2+ 2=1 中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB 的最大面积为( a b A.b2 B.ab C.ac D.bc )

x2 y2 2 2.已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰 16 m 2 好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( ) A.2 B.2 2 C.8 D.2 3

8

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x2 3.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4 A.2 4 5 B. 5 4 10 C. 5 ) 8 10 D. 5

4.直线 y=x+m 与椭圆 4x2+y2=1 恒有公共点,则 m 的取值范围是______.

π x2 5.倾斜角为 的直线交椭圆 +y2=1 于 A、B 两点,则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是________. 4 4

6. 已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ, 10 |PQ|= ,求椭圆方程. 2

7. 点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且 36 20

位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

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8. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为

? 1? D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . ? 2?
(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

【拓展训练】 1. 已知椭圆的焦点为 F1(-4,0)、 F2(4,0). 过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B, 且|F1B| +|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标.?

2.已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线 y2=4 5x 的焦点,离心率是 (1)求椭圆 E 的方程;

6 . 3

1 (2)过点 C(-1,0)的动直线与椭圆相交于 A,B 两点.若线段 AB 的中点的横坐标是- ,求直线 2 AB 的方程. ?

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