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高中入学考试数学试卷2答案


一. 选择题(本大题共 12 个小题,1~6 小题,每小题 2 分;7~12 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.D 2. C 3.A 4. C 5. B 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C 11.D 12.B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分.把答案写在题中横线上) 13. 60°. 14. a ? 4 。 15. 41 16.
3 ?1

三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC= 2 3 ,求 AB 的长, 解:

C

30° A

45°

第 17 题图

17. 解析:本题在一个三角形中已知两个角和一边,求三角形的边.不是直角三角形, 要利用三角函数必须构筑直角三角形,过点 C 作 CD⊥AB 于 D,利用构造的两个直角三 角形来解答. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 在 Rt△ACD 中,∠A=30°,AC= 2 3 ∴CD=AC×sinA= 2 3 ×0.5= 3 ,

AD=AC×cosA= 2 3 ×

3 =3, 2

在 Rt△BCD 中,∠B=45°,则 BD=CD= 3 , ∴AB=AD+BD=3+ 3 18.科学研究发现,空气含氧量 y (克/立方米)与海拔高度 x (米)之间近似地满足 一次函数关系.经测量,在海拔高度为 0 米的地方,空气含氧量约为 299 克/立方米; 在海拔高度为 2000 米的地方,空气含氧量约为 235 克/立方米. (1)求出 y 与 x 的函数表达式; (2)已知某山的海拔高度为 1200 米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少? 18.解: (1)设 y ? kx+b ,则有 ?

?

b ? 299,

?2000k ? b ? 235.

4 ? , ?k ? ? 解之,得 ? 125 ? b ? 299. ?
∴y??

4 x ? 299 . 125 4 . ?1200 ? 299 ? 260.6 (克/立方米) 125

(2)当 x ? 1200 时, y ? ?

∴该山山顶处的空气含氧量约为 260.6 克/立方米.

? 2x ? y ? 2 ? 19.解方程: ? y2 x2 ? ?1 ? ? 4
19.解:依题意: ? 将 3=0 x=1

? ? y ? 2 (x-1) ?y 2 ? 4 x 2-4 ?

(1) ( 2)
+ 3 2x - 或

① 代 入 ② 中 化 简 得 : x2 ……………………………………3 分 解 得 : x= - ……………………………………2 分 所以, 原方程的解为: ?

? x ? -3 ? y ? -4 2

或?

?x ? 1 ?y ? 0

………………………

3分 20.如图甲所示:等边△ ABC 中,线段 AD 为 其内角平分线,过 D 点的直线 C C1 D

B1C1 ? AC 于 C1 交 AB 的 延 长 线 于

B1 .
(1)请你探究:

AC CD AC1 C1 D ? , 是 ? AB DB AB1 DB1

A

图甲

B

B1

否成立? (2)请你继续探究:若△ ABC 为任意三角形, 线段 AD 为其内角平分线,请问 定成立吗?并证明你的判断. F A E 图乙 B

AC CD 一 ? AB DB

C D

(3) 如图乙所示 Rt △ ABC 中,?ACB ? 90 ,AC ? 8 , AB ?
0

40 , E 为 AB 上 3

一点且 AE ? 5 , CE 交其内角角平分线 AD 与 F .试求 20.解: (1)易验证

DF 的值. FA

AC CD AC1 1 C1 D ? ? , ?1? AB DB AB1 2 DB1

这两个等式都成立; ………………………………………………………2 分 (2)可以判断结论仍然成立,证明如下: ………………………………1 分 如右图所示Δ ABC 为任意三角形,过 B 点作 BE∥AC 交 AD 的延长线于 E 点 C ∵∠E=∠CAD=∠BAD D ∴BE=AB 又∵Δ EBD∽Δ ACD ……………………………1 分
A B

E

AC CD ∴ ? , 又∵BE=AB BE DB AC CD ∴ 即 对 ? AB DB
立.





















…………………………1 分 ﹙3﹚如图(11)所示,连结 ED ∵AD 为Δ ABC 的内角角平分线 ∴

C D

CD AC 8 3 ? ? ? ………………1分 DB AB 40 5 3

A

F B

E

图(11)

AE 5 3 ? ? ……………………1分 EB 40 5 ?5 3
∴ ∴ ACF ∴

CD AE , ∴DE∥AC ? DB EB
Δ DEF ∽ ……………………………1分 Δ

DF EF AE 5 ? ? ? FA FC AC 8

…………………………1分

21. 已 知 抛 物 线 y ? ax2 ? bx? c 0 ? 2a ? b ) 的顶 点 为 P ( x 0 , 0 ) , 点 A (1, A )、 ( y y
B (0, B ) 、 C (?1, C ) 在该抛物线上. y y

(Ⅰ)当 a ? 1, b ? 4 , c ? 10 时,①求顶点 P 的坐标;②求 (Ⅱ)当 y0 ≥ 0 恒成立时,求
yA 的最小值. y B ? yC

yA 的值; y B ? yC

21.解: (Ⅰ)若 a ? 1, b ? 4 , c ? 10 , 此时抛物线的解析式为 y ? x 2 ? 4 x ? 10 . ① ∵ y ? x2 ? 4 x ? 10 ? ( x ? 2)2 ? 6 , ∴ 抛物线的顶点坐标为 P (?2 , ; 6) ② ∵点 A (1, A ) 、 B (0, B ) 、 C (?1, C ) 在抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 10 上, y y y ∴ yA ? 15 , yB ? 10 , yC ? 7 . ∴
yA 15 ? ?5. yB ? yC 10 ? 7

(Ⅱ)由 0 ? 2a ? b ,得 x0 ? ?

b ? ?1 . 2a

由题意,如图,过点 A 作 AA1 ? x 轴于点 A 1 ,则 AA1 ? y A , OA1 ? 1 . 连接 BC ,过点 C 作 CD ? y 轴于点 D ,则 BD ? yB ? yC , CD ? 1 .
0) 过点 A 作 AF // BC ,交抛物线于点 E ( x1 , E ) ,交 x 轴于点 F ( x 2 , , y

则 ?FAA1 ? ?CBD . 于是 Rt△AFA1 ∽ Rt△BCD .
yA 1 ? x2 有 ,即 ? ? 1 ? x2 . ? yB ? yC 1 BD CD AA1 FA1

y
A

过点 E 作 EG ? AA1 于点 G , 易得 △AEG∽△BCD . 有
y ? yE AG EG ,即 A ? 1 ? x1 . ? yB ? yC BD CD

E

B
C

D
O

G
A1 1

F x2

x1

?1

x

∵ 点 A (1, A ) 、 B (0, B ) 、C (?1, C ) 、 E ( x1 , E ) 在抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 上, y y y y 得 y A ? a ? b ? c , yB ? c , yC ? a ? b ? c , yE ? ax12 ? bx1 ? c ,



(a ? b ? c) ? (ax12 ? bx1 ? c) c ? (a ? b ? c)

? 1 ? x1 .

化简,得 x12 ? x1 ? 2 ? 0 ,解得 x 1 ? ?2 ( x 1 ? 1 舍去) . ∵ y0 ≥ 0 恒成立,根据题意,有 x 2 ≤ x1< ? 1 , 则 1 ? x 2 ≥1 ? x1 ,即 1 ? x 2 ≥ 3 . ∴
yA 的最小值为 3 . y B ? yC

22.如图 10 是一个四棱柱包装盒,它的底面是边长为 6cm 的正方形,四个侧面都是矩 形.现将宽为 12cm 的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形 ABCD(如图 11), 然后用这条平行四边形纸带按如图 12 的方式把这个四棱柱包装盒的侧面进行包贴 (要求包贴时没有重叠部分) ,纸带在侧面缠绕四圈,正好将这个四棱柱包装盒的侧 面全部包贴满.? (1)请在图 11 中,计算裁剪的角度∠BAD;? (2)计算按图 12 方式包贴这个四棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.


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