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人教A版高中数学选修2-3课件:3.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

高二数学选修2-3
3.1回归分析的基 本思想及其初步
应用(二)
?

案例1:女大学生的身高与体重
例1从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系,因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。
?

分析:由于问题中 要求根据身高预报 体重,因此选取身 高为自变量,体重 为因变量.
1.散点图;
2.回归方程: y? ? 0.849x ? 85.172 身高172cm女大学生体重 y? = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
本例中,r=0.798>0.75.这表明体重与身高有很强的线性相关关 系,从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。
?

探究: 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗?如果不是,你能解析一下原因吗?
答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg,但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。 即,用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值,只能给出她们平均 体重的值。
?

案例1:女大学生的身高与体重
例1从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系,因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。
3、从散点图还看到,样本点散布在 某一条直线的附近,而不是在一条 直线上,所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。
?

我们可以用下面的线性回归模型来表示:

y=bx+a+e,(3)

? y=bx+a+e, E(e)=0,D(e)=(4?) 2.

其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。
在线性回归模型(4)中,随机误差e的方差越?小2 ,通过回归
直线(5) y ? bx ? a
预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值与y 真实值y
之间的误差的原因之一,其大小取决于随机误差的方差。
y? 另一方面,由于公式(1)和(2)中a和? 为b截? 距和斜率的估计值,它
们与真实值a和b之间也存在误差,这种误差是引起预报值与 真实值y之间误差的另一个原因。

?

思考: 产生随机误差项e的原因是什么?
随机误差e的来源(可以推广到一般):
1、忽略了其它因素的影响:影响身高y的因素不只 是体重x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长 环境等因素;
2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差; 3、身高y的观测误差。 以上三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合效
果越好。
?

编号 身高/cm 体重/kg

1

2

3

4

5

6

7

8

165 165 157 170 175 165 155 170

48 57 50 54 64 61 43 59

那么,在这个总的效应(总偏差平方和)中,有多少来自于解析变量(身高)? 有多少来自于随机误差?

假设随机误差对体重没有影响,也就是说,体重仅受身高的影响,那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是,在图中,数据点并没有完全落在回归 直线上。这些点散布在回归直线附近,所以一定是随机误差把这些点从回归直线上 “推”开了。

因此,数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机(y误i ?差y的i )效应, 称为e残i =差yi 。? yi

例如,编号为6的女大学生,计算随机误差的效应(残差)为:
61? (0.849?165 ? 85.712) ? 6.627
对每名女大学生计算这个差异,然后分别将所得的值平方后加起来,用数学符号
n
? 表示为: ( yi ? yi )2 称为残差平方和,它代表了随机误差的效应。 i ?1

? 在例1中,残差平方和约为128.361。

残差分析与残差图的定义:

在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用回归模型来拟合数据。
然后,我们可以通过残差来判断e模1, 型e2拟, 合,的e效n 果,判断原始
数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。

表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。

编号 身高/cm 体重/kg
残差

1 165 48
-6.373

2 165 57
2.627

3 157 50
2.419

4 170 54
-4.618

5 175 64
1.137

6 165 61
6.627

7 155 43
-2.883

8 170 59
0.382

我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本 编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。

?

残差图的制作及作用。
几点? 说坐明:标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 第错一误?个。样如若本果点数模和据第采型集6个选有样错择本误点的,的就正残予差确以比纠,较正大残,,然差需后要再图确重认中新在利的采用集点线过性应程回中该归是模分否型有布拟人合在为数的以据; 如果数据横采集轴没有为错心误,的则带需要形寻区找其域他;的原因。 另的外带?,状残区对差域点的于比宽较度远均越离匀窄地,横落说轴在明水模的平型点的拟带合,状精要区度域越特中高,,别说回注明归选方意用程。的的模预型报计精较度合越适高,。这样

异常点
身高与体重残差图

?错误数据

?

?模型问题

由于解析变量和随机误差的总效应(总偏差平方和)为354,而随机误差的效应为 128.361,所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。

解析变量和随机误差的总效应(总偏差平方和) =解析变量的效应(回归平方和)+随机误差的效应(残差平方和)

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
n

?? R2

?1?

( yi ? yi )2
i ?1
n
( yi ? y)2

?

1?

残差平方和 。 总偏差平方和

i ?1

n

n

? ? ? R2

?

( yi
i ?1

? y)2 ? ( yi ?
i ?1
n
( yi ? y)2

yi )2

?

总偏差平方和 ? 残差平方和 总偏差平方和

?

回归平方和 总偏差平方和

i ?1

?

样本决定系数

(判定系数R2)

1.回归平方和占总离差平方和的比例

n

n

?? ?? R2

?

SSR SST

?

? y?i ? y ?2
i ?1 n
? yi ? y ?2

?1?

? yi ? y? ?2
i ?1 n
? y?i ? y ?2

i ?1

i ?1

2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在[0,1]之间 4. R2?1,说明回归方程拟合的越好;R2?0,
说明回归方程拟合的越差

5. 判定系数等于相关系数的平方,即R2=(r)2

?

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
n

?? R2

?1?

i ?1 n

( yi ? yi )2 ( yi ? y)2

?

1

?

残差平方和 。 总偏差平方和

i ?1

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。

R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强)。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,则可以通过比较R2的值 来做出选择,即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

总的来说:
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。

?

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
n

?? R2

?1?

( yi ? yi )2
i ?1
n
( yi ? y)2

?

1

?

残差平方和 。 总偏差平方和

i ?1

表1-3
来源 随机误差 残差变量
总计

平方和 225.639 128.361
354

比例 0.64 0.36
1

? 从表3-1中可以看出,解析变量对总效应约贡献了64%,即R20.64,可以叙述为
“身高解析了64%的体重变化”,而随机误差贡献了剩余的36%。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

?

例2、在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为:

价格x 14 16

18

20

22

需求量Y 12 10

7

5

3

求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。

5

5

5

解: x ? 18, y ? 7.4, ? ? xi2 ? 1660, yi2 ? ? 327, xi yi ? 620,

i ?1

i ?1

i ?1

5

?? ?b? ?

xi yi ? 5x y

i ?1

5

xi2

?

2
5x

?

620 ? 5?18? 7.4 1660 ? 5?182 ? ?1.15.

i ?1
?a? ? 7.4 ?1.15?18 ? 28.1.

??回归直线方程为:y? ? ?1.15x ? 28.1.

例2、在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为:

价格x 14 16

18

20

22

需求量Y 12 10

7

5

3

求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。 列出残差表为

yi ? y?i 0

0.3

-0.4

-0.1

0.2

yi ? y 4.6

2.6

-0.4 -2.4

-4.4

5

5

? ? ( yi ? y?i )2 ? 0.3, ? ( yi ? y)2 ? 53.2,

i ?1

5

i ?1

? ( yi ? y?i )2

R2

?1?

i ?1 5

? 0.994 因而,拟合效果较好。

?

? ( yi ? y)2

i ?1

比《数学3》中“回归”增加的内

数学3——统计

容选修1-2——统计案例
5. 引入线性回归模型

1. 画散点图
2. 了解最小二乘法 的思想

y=bx+a+e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因

3. 求回归直线方程
y=bx+a
4. 用回归直线方程 解决应用问题

7. 了解相关指数R2和模型拟合 的效果之间的关系
8. 了解残差图的作用
9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题

10. 正确理解分析方法与结果
?

小结
用身高预报体重时,需要注意下列问题: ——这些问题也使用于其他问题。 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。
涉及到统计的一些思想:
模型适用的总体; 模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。
?

一般地,建立回归模型的基本步骤为:
(1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量是预报变量。 (2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)。 (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则 选用线性回归方程y=bx+a). (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残 差呈现不随机的规律性,等等),过存在异常,则检查数据是否有误,或 模型是否合适等。
?

什么是回归分析?
(内容)
1. 从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关 系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验, 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著,哪些不显著
3. 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给 出这种预测或控制的精确程度
?

回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中,变量x变量y处于平等的地位;回归分 析中,变量y称为因变量,处在被解释的地位,x称 为自变量,用于预测因变量的变化
2. 相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量;回归 分析中,因变量y是随机变量,自变量x可以是随机 变量,也可以是非随机的确定变量
3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切 程度;回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响 大小,还可以由回归方程进行预测和控制
?


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