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方程的根与函数的零点经典讲课大赛获奖教案


新授课

§3.1.1 方程的根与函数的零点 1.知识与技能: (1)、初步掌握函数零点的概念、理解其意义; (2)、 理解函数的零点和方程根的关系,初步掌握判定函数零点的简单 方法,并会简单应用。 2.过程与方法: (1)、通过研究具体的二次函数方程的根和二次函数图象与 x 轴的关 系,培养学生观察、归纳、抽象的能力; (2)、进一步渗透数形结合的数学思想和函数与方程的数学思想。 3.情感态度和价值观: (1)、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值; (2)、渗透由特殊到一般的认识规律,提升学生的抽象和概括能力。 教学重点:理解函数的零点与方程根的关系,使学生遇到一元二次方程 的根的问题时能顺利联想到函数的思想和方法。 教学难点:函数零点存在的条件。 教 学 设 计: 教 学 过 程:

观察二次函数的图象 归纳抽象 一般方程的根与函数的零点关系 探究函数零点的存在条件 应用 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a ? 0) 的根与二次函数 y=ax2+bx+c (a ? 0) 的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出) ①方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 ②方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 1 ③方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3

1

引导学生解方程, 画函数图象, 分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系, 并填写下表: 一元二次方 程 x2+2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 方程根的情 况 二次函数 y=x2+2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 函数的图象 图象与 x 轴的交 点

归纳出一般的一元二次方程与相应二次函数的关系,填写下表: △= b2-4ac △>0 △<0 △=0 总结出方程 ax2+bx+c=0 (a ? 0) 的实根情况 ? 函数 y=ax2+bx+c (a ? 0) 的图象与 x 轴的交点情况。 抽象出 f(x)=0 的实根情况 ? 函数 y= f(x)的图象与 x 轴的交点情况. (二)研探新知 1、函数零点的概念: 对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 的 实 数 x 叫 做 函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 2、函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函 数 y ? f ( x) 有零点. 由特殊到一般,由具体的二次方程、二次函数抽象出一般的二次方程、 二次函数,再到一般的方程、一般的函数。 ax2+bx+c=0 (a ? 0) 的实根 y=ax2+bx+c (a ? 0) 图象与 x 轴的交 点

2

注意:函数的零点不是坐标,是使 f(x)=0 的实数。 3.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总 结概括形成结论. 二次函数的零点: 对于二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1) ? ? 0 ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有 两个交点,二次函数有两个零点. (2) ? ? 0 ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图 象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3) ? ? 0 ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点, 二次函数无零点. 4、函数零点的求法:求函数 y ? f ( x) 的零点 (1) (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 若 f(x)-g(x)=0,可在同一直角坐标系分别画出 f(x)、g(x)图像,两个图像交 点的横坐标就是函数的零点。 5. 连续函数在某个区间零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图象: 1 在 区 间 [?2,1] 上 有 零 点 ______ ; f (?2) ? ____ , f (1) ? ___ , ○ f (?2) · f (1) _____0(<或>) . 2 在区间 [2,4] 上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>) ○ (Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

1 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点; ○ f (a ) · f (b) _____0(<或>) .
3

2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; ○

. f (b) · f (c) _____0(<或>) 3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; ○ . f (c) · f ( d ) _____0(<或>) 由以上两步探索, 引导学生结合函数图象, 分析函数在区间端点上的函 数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系.启发学生得出结论:函 数零点的存在条件(教材 P88) (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 例 1、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数. 启发学生:你可以想到什么方法来判断函数零点个数?(解略) 引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的 图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识。 引导学生反思:1、为何必须确定函数的单调性 2、能否回避复杂的运算,运用函数零点存在性定理,判断 零点个数。 结合图象考察零点所在的大致区间,让学生认识到函数的图象及基本性质 (特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用。总结判定方程在某个区间存在 根的基本步骤. (四) 、课堂练习 课本 P 88 练习 1——(1) 、 (3) (五) 、课堂总结: 本节我们从较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手, 发现函数与方程 之间的联系,充分结合图象,抽象归纳出方程的根与函数的零点的关系,再进 一步发现连续函数在某区间上存在零点的判定定理。 (六) 、作业: 1.课本 P88 练习 1—(2) 、 (4) (写本上,交) 2、 (选做) (1)利用函数 y=x2+2x-3 图象说明,自变量 x 取什么值时,函数值等于零、 大于零、小于零? (2)判断方程 x2=2x 根的个数

4

板 书 设计:

3.1.1 方程的根与函数的零点 1、定义 例

练习

教 学 反思:

5


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