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高二数学选修4-4__考试试卷(文科)

高二数学选修 4-4 考试试卷 一、选择题:

C.

? x ? t ?1 (t ? ? y ? 2t ? 1

为参数)

D.

? x ? sin ? (t ? ? y ? 2 sin ? ? 1



参数) 1. 曲 线 的 极 坐 标 方 程 ? ? 4 sin ? 化 为 直 角 坐 标 为 ( A. )。
x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4
x ? t ? (t 为参数)表示的曲线是( 4.方程 ? ? t ? ? y?2 ? 1

)。 C. 一 条 线 段

B.

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

C.

A. 一 条 直 线 D.抛物线的一部分

B. 两 条 射 线

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

D. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

2.已知点 P 的极坐标是(1,? ),则过点 P 且垂直极轴 的直线方程是( A. ? ? 1
1 ?? cos ?

x ? 2 ? sin2 ? 5. 参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程是 ? ? y ? ?1 ? co s2?

)。
1 C. ? ? ? cos ?

B. ? ? cos?

D. A. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? [2,3] B. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? [2,3]



)。

3.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
x ? t 2 (t A. ? ? 2 ? y ? 2t ? 1

)。 B.
? x ? 2t ? 1 (t ? ? y ? 4t ? 1

6.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半 为参 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标为( A.( 3 2 , ? )
3 4

为参数)


5 4

数)

B. ( ? 3 2 , ? )

5 4

C. (3, ? )

D. (-3, ? ) 7.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l:
y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围

3 4

程为 ?

? x ? 2t ? 1 (t 为参数), ? y ? 6t ? 1

则直线与圆的位置关系是( A. 相交过圆心 是(
3 A. k ? ? 4
k?0

)。 C.

B.相交而不过圆心

)。
3 B. k ? ? 4

C. k ? R

D. k ? R 但

相切

D.相离

8. 已知过曲线

?

1 ? x? ? t 10. 参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是 1 2 ?y ? t ?1 t ?

x?3cos? ? ? y ?4sin? ? 为参数,0 ? ? ? ? 上一点 P 原



y

)。
0 x

y

y

y

点 O 的直线 PO 的倾斜角为 ? ,则 P 点坐标是
4

0

x

0

x

0

x

A、 (3, 4)
( 12 12 , ) 5 5

12 12 B、 (? ,? ) 5 5

C、 (-3, -4)

D、

9.若圆的方程为 ?

? x ? ?1 ? 2 cos? ( ? 为参数),直线的方 ? y ? 3 ? 2 sin ?

A D

B

C

二、填空题: 11.在同一平面直角坐标系中,直线 x ? 2 y ? 2 变成直线
2 x? ? y ? ? 4 的伸缩变换是

15. 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示 什么曲线:(8 分) ⑴?
? x ? 5 cos? ( ? 为参数); ? y ? 4 sin ?



⑵?

12.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线 交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则|AB|= 。

? x ? 1 ? 3t ( t 为参 ? y ? 4t

数)
t ? x ? 2? ? 2 ( t 为参数),则它的 13.设直线参数方程为 ? ? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

斜截式方程为 14.

。 16.求以椭圆 x2 ? 4 y2 ? 16 内一点 A(1,-1)为中点的弦所

? ?x ? 2 ? t 直线 ? (t为参数)被双曲线x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长为________ 在直线的方程。(8 分) ? ? y ? 3t

三、解答题:

y P A

17. 已知 x、y 满足 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,求 S ? 3x ? y 的最
2 2

值。(8 分)

O

x

19. 如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0)的顶点作两条互 相垂直的弦 OA、OB。
y ⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标;

18. 如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶 角∠OPA 为 120°(O,P,A 按顺时针方向排列), 求点 P 的轨迹方程。

⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。(10 分)
0

A M x

B

20. 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心, 它 以每小时 40 千米的速度向东北方向移动,距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大 约多长时间后,气象台 A 所在地将遭受台风影响?持 续多长时间?(10 分) (注: 7 ? 2.65, 2 ? 1.41) 高二级数学选修 4-4 考试卷数学科答案(文科) 一.选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题 1 号 答 B 案 二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) C C B D A A D B 2 3 4 5 6 7 8 9

10

D

11 . ? ; ? y? ? 4 y 13. y ? 3x ? 3 ? 2 3 ;

? x? ? x

12 . 2 3 ; 14. 2 10 。

16.(8 分)解:设以 A(1,-1)为中点的弦所在的直
x?1?t cos? 线方程为 y ??1?t sin? ?? 为参数 ? ,

?

三.解答题(8 分+8 分+8 分+10 分+10 分+10 分,共 54 分)
x ? 5 cos? 15.(8 分)解:⑴.∵ ? ? ? y ? 4 sin ?

把它代入 x2 ? 4 y2 ? 16 得 (1 ? t cos? )2 ? 4(?1 ? t sin ? )2 ? 16 即 (cos2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? 2(cos? ? 4sin ? )t ?11 ? 0

∴? 5 ?

?x

? cos?

y ? ? sin ? 4 ?

两边

∵弦以 A(1, -1)为中点, ∴交点所对应的参数 t1 和 t 2 有:
t1 + t 2 =0
cos ? ? 4sin ? 1 ? 0 ∴ cos ? ? 4sin ? =0,∴ tan ? ? 2 2 cos ? ? 4sin ? 4 1 ∴所求的直线方程为 y ? 1 ? ( x ? 1) 即 x-4y-5=0 4

x2 y2 平方相加, 得 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? 25 16



x2 y2 ? ? 1∴ 25 16

∴?

曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 8,中心在原点的 椭圆。
y y x ? 1 ? 3t ⑵.∵ ? ∴由 t ? 代入 x ? 1 ? 3t ,得 x ? 1 ? 3 ? ∴ ? 4 4 ? y ? 4t

17.(8 分)解:由 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 可知曲线表示以 (1,-2)为圆心,半径等于 2 的圆。令 x ? 1 ? 2 cos ?
y ? ?2 ? 2 s i n ? ,则

4x ? 3 y ? 4 ? 0

S ? 3x ? y ? 3(1 ? 2 cos? ) ? (?2 ? 2 sin ? ) ? 5 ? 6 cos? ? 2 sin ? ? 5 ? 2 10 sin(? ? ? )
4 3

∴它表示过(0, )和(1, 0)的一条直线。

(其中 tan ? ?

6 ? ?3 )∵-1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ? 1 ?2

3? cos?? ? 30?? ? 5

∴当 sin(? ? ? ) ? 1 时,S 有最大值,为 Smax ? 5 ? 2 10 当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,S 有最小值,为 S min ? 5 ? 2 10 ∴S 最大值为 Smax ? 5 ? 2 10 ;S 最小值为 S min ? 5 ? 2 10 。

19.(10 分)解:⑴.∵依题意可知直线 OA 的斜率存 y 在且不为 0 ∴设直线 OA 的方程为 y ? kx ( k ? 0 )
0 M A

18.(10 分)解:取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建 立极坐标系,则直线 x=5 的极坐标方程为 rcosq=5 设 A(r0,q0),P(r,q)
? 点A在直线? cos? ? 5上
? ? 0 cos? 0 ? 5 ?1?

? y ? kx ∴联立方程 ? 2 ? y ? 2 px
1 k

解得 x A ?

2p k2

yA ?

2p k

B

以 ? 代上式中的 k ,解方程组 ? 解得 x B ? 2 pk 2
? 2 pk )。

1 ? ?y ? ? x k 2 ? y ? 2 px ?
2p 2p , ),B( 2 pk 2 , 2 k k

y B ? ?2 pk ∴A(

? ?O P A 为等腰三角形,且?O P A ? 120? ,而 OP ? ? , OA ? ? 0 以及?POA ? 30?

⑵.设 AB 中点 M(x,y),则由中点坐标公式,得
1 ? 2 ? x ? p( k 2 ? k ) ? 1 ? y ? p( ? k ) k ?

? ? 0 ? 3?,且? 0 ? ? ? 30?

?2?

消去参数 k,得 y 2 ? px ? 2 p 2 方程。

;即为 M 点轨迹的普通

把<2>代入<1>,得点 P 的轨迹的极坐标方程为:

20.(10 分)解:如图,以气象台为坐标原点,正东 方向为 x 轴正方向, 建立直角坐标系, 则现在台风中心 B1 的坐标为(-300,0)。根据题意,可知,t 小
B1

y B2

0 A

时后,B 的坐标为( ? 300 ? 40t cos 45? , 40t sin 45 ? ),即 ( ? 300? 20 2t , 20 2t ),因为以台风中心为圆心,以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所 以 B 在圆上或圆内时,气象台将受台风影响。 所以令 | AB |? 250,即 (?300? 20 2t ) 2 ? (20 2t ) 2 ? 2502 整 理 得
16t 2 ? 120 2t ? 275 ? 0

x





15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 ?t ? , 1.99 ? t ? 8.61 4 4

故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响, 大约持续 6 个半小时。


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