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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案:第三讲 第2节 一般形式的柯西不等式

[核心必知] 1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数,则 2 2 2 2 2 2 (a2 1+a2+a3)(b1+b2+b3)≥(a1b1+a2b2+a3b3) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,3)或存在一个 数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 2.一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,?,an,b1,b2,b3,?,bn 是实数,则 2 2 2 2 2 2 (a2 1+a2+?+an)(b1+b2+?+bn)≥(a1b1+?+anbn) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,?,n) 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,?,n)时,等号成立. [问题思考] 1.在一般形式的柯西不等式的右端中,表达式写成 ai·bi(i=1,2,3,?,n),可以 吗? 提示:不可以,ai〃bi 的顺序要与左侧 ai,bi 的顺序一致. 2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为 ai=kbi(i=1,2,3,?,n),可 以吗? 提示:不可以.若 bi=0 而 ai≠0,则 k 不存在. 设 a,b,c 为正数,且不全相等. 求证: 2 2 2 9 + + > . a+b b+c c+a a+b+c 本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据 1 1 1 , , ,然后利用柯西不等式解决. a+b b+c c+a [ 精讲详析 ] a+b, b+c, c+a; 构造两组数 a+b, b+c, c+a; 1 1 1 , , , a+b b+c c+a 则由柯西不等式得 1 1 1 (a+b+b+c+c+a)?a+b+b+c+c+a?≥(1+1+1)2,① ? ? 1 1 1 即 2(a+b+c)?a+b+b+c+c+a?≥9, ? ? 2 2 2 9 于是 + + ≥ . a+b b+c c+a a+b+c 由柯西不等式知, ①中有等号成立? a+b b+c c+a = = ?a+b=b+c=c+a?a=b=c. 1 1 1 a+b b+c c+a 因题设,a,b,c 不全相等,故①中等号不成立, 2 2 2 9 于是 + + > . a+b b+c c+a a+b+c ————— ————————————— 柯西不等式的结构特征可以记为 (a1 + a2 +?+ an)· (b1 + b2 +?+ bn)≥( a1b1 + a2b2 +?+ anbn)2,其中 ai,bi∈R+(i=1,2,?,n),在使用柯西不等式时(要注意从整体上把 握柯西不等式的结构特征),准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键. a2 b2 c2 1.设 a,b,c 为正数,求证: + + ≥a+b+c. b c a a2 b2 c2? 证明:∵? ? b + c + a ?(a+b+c) =?? ≥? a ?2 ? b ?2 ? c ?2? + + · [( b)2+( c)2+( a)2] ?? b? ? c? ? a? ? 2 a b c · b+ · c+ · a? c a ? b ? =(a+b+c)2, a2 b2 c2? 2 即? ? b + c + a ?(a+b+c)≥(a+b+c) , 又 a,b,c∈R+, ∴a+b+c>0, a2 b2 c2 ∴ + + ≥a+b+c,当且仅当 a=b=c 时等号成立。 b c a 设 2x+3y+5z=29,求函数 u= 2x+1+ 3y+4+ 5z+6 的最大值. [精讲详析] 本题考查三维柯西不等式的应用,解答本题需要利用好特定条件,设法去 掉根号. 根据柯西不等式 120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)] ≥(1× 2x+1+1× 3y+4+1× 5z+6)2, 故 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 30. 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6, 37 28 22 即 x= ,y= ,z= 时,等号成立,此时 umax=2 30. 6 9 15 ————— ————————————— 利用柯西不等式求最值时, 关键是对原目标函数进行配凑, 以保证出现常数结果. 同时, 要注意等号成立的条件. 2.已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求 4a+1+ 4b+1+ 4c+1 的最大值. 解:由柯西不等式,得 ( 4a+1+ 4b+1+ 4c+1)2 =(1× 4a+1+1× 4b+1+1× 4c+1)2 ≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1) =3[4(a+b+c)+3]=21. 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 故 4a+1+ 4b+1+ 4c+1的最大值为 21. 1x+2x+?+(n-1)x+a· nx 设 f(x)=lg ,若 0≤a≤1,n∈N+且 n≥2,求证: n f(2x)≥2f(x). [精讲详析] 本题考查柯西不等式、综合法、分析法在证明不等式中的应用,解答本题 的关键是将 f(2x)≥2f(x)具体化,然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法. 12x+22x+?+(n-1)2x+a· n2x ∵f(2x)=lg , n ∴要证 f(2x)≥2f(x), 只要证 lg 12x+22x+?+(n-1)2x+a· n2x ≥ n 1x+2x+?+(n-1)x+a· nx 2lg , n 12x+22x+?+(n-1)2x+a· n2x 即证 n 1 +2 +?+(n-1) +a· n? ≥? n ? ? (*) 也即证 n[12x+22x+?+(n-1)2x+a· n2x] ≥[1x+2x+?+(n-1)x+a· nx]2, ∵ 0≤a≤1,∴a≥a2,根据柯西不等式得 n[12x+22x+?+(n-1)2x+a· n2x] ≥(12+12+?+12),\s\do4(n 个)){(1x)2+(2x)2+?+[(n-1)x]2+(a· nx)2}≥[1x+2x+?+(n

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