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高考数学常用公式及结论200条——圆锥曲线


高考数学常用公式及结论 200 条
八.圆锥曲线
92.椭圆 93.椭圆

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 = e( x + ) , PF2 = e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 + 2 <1. a2 b 2 2 x0 y0 + 2 > 1. a2 b

94.椭圆的的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? a b
95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b x2 y2 ( 3 ) 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a +B b =c . x2 y2 96.双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的外部 ? a b
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? 2 >1. a2 b 2 2 x0 y0 ? <1. a2 b2

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上).
99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b =c . 2 100. 抛物线 y = 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y = 2 px ( p > 0) 焦半径 CF = x0 + . 2 p p 过焦点弦长 CD = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2 2 yo 2 101.抛物线 y = 2 px 上的动点可设为 P ( , y o ) 或 P (2 pt 2 ,2 pt )或 P ( xo , yo ) ,其中 2p 2 yo = 2 pxo .
(1)双曲线

b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: (1)顶 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 点坐标为 ( ? , ); (2)焦点的坐标为 ( ? , ); (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y= . 4a
102.二次函数 y = ax + bx + c = a( x +
2

103.抛物线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px ( p > 0) . (2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . (2) 过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) . (3)抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数).

x2 y2 + 2 = 1 , 其 中 k < max{a 2 , b 2 } . 当 2 a ?k b ?k 2 2 2 k > min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 ,? > 0 , α 为直线 F( x , y) = 0 ?

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2
2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , x0 x 代 x , y0 y 代 y 2 , 用 用 用

x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B ? 0 + Cy0 y + D ? 0 + E? 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到.


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