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几道国际竞赛题的简证


20

中 等 数 学

赛题新解

几道国际竞赛题的简证
邹守文
( 安徽省南陵县工山二中 ,241319)

   设 ai > 0 , bi > 0 , i = 1 , 2 , …, n. 则
n n

i =1



a2 i ≥ bi

(

i =1 n

∑a ) 2
i

. bi



i =1



式① 是权方和不等式 : 设 ai > 0 , bi > 0 , i = 1 , 2 , …, n , m > 0 或 m
< - 1 ,有
n n

3 题2  正实数 a 、 b、 c 满足 a + b + c = 1 . 求

( a + b + c) 2 ( a + b + c) 2 + ( ab + bc + ca) ( a + b + c) 2 3 ≥ = . 1 4 2 2 ( a + b + c) + ( a + b + c)

=

证:
1+ a 1+ b 1+ c≤ b c a + + 2 + + . 1- a 1- b 1- c a b c

i =1



m +1 ai bm i

(



i =1 n

∑a )
i i
i =1

m +1

不需证明等号成立的情况 . ②
( 2004 , 日本数学奥林匹克)

(

∑b )

m

证明 :所证不等式等价于
2 a + b + c 2b + c + a 2c + a + b + + b+ c c+ a a+ b
b c a + + a b c Ζ3 + 2 a + b + c b+ c c+ a a+ b b c a  ≤ 2 + + a b c b b Ζ3 ≤ a - a + 2 c b+ c a c+ a c c b a+ b

的特例 . 式 ② 的证明见文 [ 1 ]. 本文利用式 ① 给出几道不等式赛题的统一 证明 . 题1  证明 :不等式
a b + + ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) c ≥3 ( c + a ) ( c + b) 4
2 2 2

 ≤ 2

+

对所有正实数 a 、 b、 c 成立 .
( 2004 , 克罗地亚数学竞赛)

证明 :由式 ① 知
a2 b2 + + ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) c ( c + a ) ( c + b) ( a + b + c) 2 ( a + b) ( a + c) + ( b + c) ( b + a) + ( c + a) ( c + b) ( a + b + c) 2 = 2 2 2 a + b + c + 3 ( ab + bc + ca)
2

bc ca Ζ 3 ≤ ab + + . 2 c ( b + c) a ( a + c) b ( a + b) 由式 ① 知 ab bc ca + + c ( b + c) a ( a + c) b ( a + b) ( ab) 2 ( bc) 2 ( ca) 2 + + abc ( b + c) abc ( a + c) abc ( a + b) 2 ≥ ( ab + bc + ca) 2 abc ( a + b + c) a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2 abc ( a + b + c) = 2 abc ( a + b + c) ( ≥abc a + b + c) + 2 abc ( a + b + c) 2 abc ( a + b + c)



=

   收稿日期 :2005 - 07 - 20

2006 年第 4 期

21

=

3 . 2

=

n n- 1

-

题3  若 0 < x1 , x 2 , …, x n ≤ 1, n ≥ 1 , 证明 :
x1 x2 + + …+ 1 + ( n - 1) x 1 1 + ( n - 1) x 2 xn ≤ 1. 1 + ( n - 1) x n ( 2004 , 新加坡数学奥林匹克)

1 1 ≤ ? 1 n - 1 i = 1 1 + ( n - 1) x i

n



Ζ Ζ

n

i =1 n

∑1 + ( n - 1) x ∑

1

i

≥ 1

i =1

12 ≥ 1. 1 + ( n - 1) x i
n

由式 ① 知
n

这里 , 把题 3 加强为 : 若 x 1 , x 2 , …, x n > 0 , 且 x 1 + x2 + … + x n ≤
n. 证明 : x1 x2 + + …+ 1 + ( n - 1) x 1 1 + ( n - 1) x 2 xn

i =1

∑1 + ( n - 1) x
n2
n

1

2

(


i

i =1 n

1) 2 ∑
i

i =1

[ 1 + ( n - 1) x ] ∑ n2 n + n ( n - 1)

= = 1.


i

n + ( n - 1)

i =1

∑x

1 + ( n - 1) x n

≤ 1.



故式 ③ 成立 .
参考文献 :
[1 ]   周沛耕 , 王博程编著 . 高中数学奥林匹克竞赛标准教材

xi 证明 :因为 1 + ( n - 1) x i ( n - 1) x i + 1 - 1 1 = ? n - 1 1 + ( n - 1) x i

[M] . 北京 : 北京教育出版社 、 文津出版社 . 2004 ,8. [2 ]   2003 — 2004 国内外数学竞赛套题及精解 [J ] . 中等数学 2005 ( 增刊) .

1 1 1 = ? , n - 1 n - 1 1 + ( n - 1) x i

于是 , 式 ③ Ζ
n i =1

∑1 + ( n - 1) x

xi

i

( 上接第 15 页)

求证 : x = u + v + w .

图 13

图 14

( 第三届美国数学奥林匹克)

证明 : 首先 , 如图 14 ( a ) , 以 △ABC 的各边 为对角线 , 各作一个平行四边形 , 这三个平行四 边形以 D 作为公共的顶点 . 其次 , 用剪刀剪开 AD 、 BD 、 CD , 把这三个 平行四边形分开 , 这三个平行四边形的顶角是 60° 及 120° .

   按图 14 ( b) 进行拼接 : 让它们的 60° 的顶角 的顶点重合在一起 , 不同的平行四边形的边夹 成 60° 角. 把这三个平行四边形的另外三个 60° 顶角 的顶点分别记作 P′ , Q′ , R′ . 显然 , △PQR 与 △P′ Q′ R′ 相同 , 特别地 , 它们的边对应相等 , 于 是 , 便得到 x = u + v + w.


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