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2014届上海交大附中高一第二学期数学期中考试试卷-ti及答案


上海交通大学附属中学 2011-2012 学年度第 二 学期

高 一 数学期中考试试卷
(满分 100 分, 90 分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上) 命题:陈海兵 审核:杨逸峰

一、填空题 (每小题 3 分,共 42 分)
1. 2. 已知角 ? 是第三象限角,则 180 ? ? 是第 已知角 ? 的终边过点 P?? 5,?12? ,则 cos ? =________。 设 ? 角属于第二象限,且 cos 象限角。

3.

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于__________象限. 2

4.

已知 sin ? ? cos ? ?
若 sin(? ? ? ) ?

1 , 则 tan ? ? cot ?的值为 _________. 2

5.

1 1 tan? , sin( a ? ? ) ? ,则 ? _______________. 2 3 tan ?

6.



1 ? tan A π =4+ 5 ,则 cot( +A)=__________. 4 1 ? tan A

7.

若函数 y ? cos? ?x ?

? ?

??

? ? (其中 ? ? 0 )的最小正周期是 ,则 ? =________。 5 6?

8.

已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 c ? 2 3b ,

sin 2 A ? sin 2 B ? 3sin B sin C ,则 A ?
9. 若? ? ? ?

. .

3? 1 ,且 sin ? ? ? ,则用反三角形式表示 ? 是_________ 2 4

10. 已知 f (tan x) ? cot 3x ,则 f ? cot

? ?

5? ? ? =__________。 12 ?


2 2 11. 在 ?ABC 中,若 AB ? 2 , AC ? BC ? 12 ,则 ?ABC 面积的最大值为

12. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是_________. , ?4 2? ?
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13. 在△ABC 中,3sinA + 4cosB = 6,3cosA+4sinB = 1,则角 C 的大小是__________。
2011-2012 学年度第二学期高一数学期中考试试卷

14. 若 f ( x) ? a sin( x ?

?

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是偶函数,则有序实数对( a , b )可以是 4 4

?

______________.(写出你认为正确的一组数即可).

二.选择题 (每题 3 分,共 12 分)
15. 函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ( )

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示, 则函数表达式为

A. y ? ?4sin( C. y ? ?4sin(

? ?

x? ) 8 4

?

B. y ? 4sin( D. y ? 4sin(

? ?

x? ) 8 4

?

x? ) 8 4 x? ) 8 4

?

?

16. 若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 沿 y 轴向下平移 1 个单位,然 4


后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标保持不变 ), 得到函数

y ? sin x 的图象,则 y ? f ? x ? 的解析式为(
A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 4?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 2?

C. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 4? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 2? ?2


17. 如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形

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18. 下列命题中正确的是( ) A.若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ; B. “a ? ”是“函数 y ? cos 2 2ax ? sin 2 2ax的最小正周期为 ? ”的充要条件 ; C. 函数 y ? sin x cot x的单调递增区间是( 2k? ?

1 2

?
2

,2k? ?

?
2

), k ? Z ;

D.函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )?? ? 0?对任意实数 x,都有 f ( x ?

?
4

)? f(

?
4

? x) ,则

f ( ) ? ?3 ; 4

?

三.解答题 (共 4 题,本大题要有必要的解答过程)
19. (本题满分 8 分) 已知 ? , ? 都是锐角,满足 sin ? ?

4 5 , cos(? ? ? ) ? ,求 sin ? 的值 5 13

20. (本题满分 12 分) 已知 y ? 4a cos2 x ? 2 3a sin 2x ? 2 ? a , (1)求 y 最小正周期 (a ? 0时) ; (2) 当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 5.求 a 的值及函数 y ? f ( x)(x ? R) 的单调递增区间.

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21. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 sin A ? 3 cos A ? 2 . (1)求 A 的大小; (2)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ? 3b 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面 积.(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案计分)

22. (本题满分 14 分) 晚自修结束后,几位同学在一起讨论问题,小李看到小杨把三角等式

cos?? ? ? ? = cos? cos ? ? sin ? sin ? 错写成了 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 。
爱思考的他给大家提出了以下几个问题: (1)等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 一定成立吗?请说明理由。 (2)等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 一定不成立吗?请说明理由。 (3)等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 何时成立?请说明理由。 经过一番热烈的讨论后,熄灯前几位同学得出了一致的结论,结束了讨论。 现在,请你也来试一试吧!

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上海交通大学附属中学 2011-2012 学年度第 二 学期

高 一 数学期中考试试卷
(满分 100 分, 90 分钟完成,允许使用计算器,答案一律写在答题纸上) 命题:陈海兵 审核:杨逸峰

一、填空题 (每小题 3 分,共 42 分)
1. 2. 已知角 ? 是第三象限角,则 180 ? ? 是第 象限角。四

已知角 ? 的终边过点 P?? 5,?12? ,则 cos ? =________。 ? 设 ? 角属于第二象限,且 cos 第三象限

5 13

3.

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于__________象限. 2

4.

已知 sin ? ? cos ? ?
若 sin(? ? ? ) ?

8 1 , 则 tan ? ? cot ?的值为 _________. ? 3 2

5.

1 1 tan? , sin( a ? ? ) ? ,则 ? _______________.5 2 3 tan ?

1 ? tan A π =4+ 5 ,则 cot( +A)=__________. 4 1 ? tan A 分析:本题可由条件式求出 tanA, 然后代入所求式即可求值.但若注意到条件式的左边 的结构特点,则问题很容易解决.
6. 若

π 1 ? tan A tan 4 ? tan A π 解析:∵ = =tan( -A) , π 4 1 ? tan A 1 ? tan tan A 4

π -A)=4+ 5 . 4 π π π π 故 cot( +A)=cot[ -( -A) ]=tan( -A)=4+ 5 . 4 2 4 4
∴tan( 7. 若函数 y ? cos? ?x ?

? ?

??

? ??? ? 0? 的最小正周期是 ,则 ? =________。10 5 6?

8.

已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 c ? 2 3b ,

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sin 2 A ? sin 2 B ? 3sin B sin C ,则 A ?
9. 若? ? ? ?

.

3? 1 1 ,且 sin ? ? ? ,则用反三角形式表示 ? 是_________ ? ? arcsin 2 4 4

? 6

10. 已知 f (tan x) ? cot 3x ,则 f ? cot

? ?

5? ? ? =__________。1 12 ?
. 5

2 2 11. 在 ?ABC 中, 若 AB ? 2 , AC ? BC ? 12 , 则 ?ABC 面积的最大值为

12. 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ?

3 ?? ? ? , ? 上的最大值是_________. 2 ?4 2?

13. 在△ABC 中,3sinA + 4cosB = 6,4sinB + 3cosA = 1,则角 C 的大小是__________。

? 6
14. 若 f ( x) ? a sin( x ?

?

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是偶函数,则有序实数对( a , b )可以是 4 4

?

______________.(写出你认为正确的一组数即可). 要 a+b=0 即可,可以取 a=1,b=-1

二.选择题 (每题 3 分,共 12 分)
15. 函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ( )A

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示, 则函数表达式为

A. y ? ?4sin( C. y ? ?4sin(

? ?

x? ) 8 4

?

B. y ? 4sin( D. y ? 4sin(

?

x? ) 8 4

?

?

x? ) 8 4

?

16. 若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 沿 y 轴向下平移 1 个单位,然 4
)B

x? ) 8 4

?

后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标保持不变 ), 得到函数

y ? sin x 的图象,则 y ? f ? x ? 的解析式为(

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A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 4?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 2?

C. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 4? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 2? ?2

17. 如果 ?A 则 ( D ) 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值, A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 18. 下列命题中正确的是( ) D A.若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ; B. “a ? ”是“函数 y ? cos 2 2ax ? sin 2 2ax的最小正周期为 ? ”的充要条件 ; C. 函数 y ? sin x cot x的单调递增区间是( 2k? ?

1 2

?
2

,2k? ?

?
2

), k ? Z ;

D.函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )?? ? 0?对任意实数 x,都有 f ( x ?

?
4

)? f(

?
4

? x) ,则

f ( ) ? ?3 ; 4

?

三.解答题 (共 4 题,本大题要有必要的解答过程)
19. (本题满分 8 分)

4 5 , cos(? ? ? ) ? ,求 sin ? 的值 5 13 ? ? 4 5 解: 0 ? ? ? , 0 ? ? ? , sin ? ? , cos(? ? ? ) ? 2 2 5 13
已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ? ∴0 ?? ? ? ??

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ?

16 3 ? 25 5 25 12 ? 169 13
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sin(? ? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 1 ?

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∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?

?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

20. (本题满分 12 分) 已知 y ? 4a cos2 x ? 2 3a sin 2x ? 2 ? a , (1)求 y 最小正周期 (a ? 0时) ; (2)当 x ? [0, ? ] 时, f ( x) 的最大值为 5.求 a 的值及函数 y ? f ( x)(x ? R) 的单调递增区间. 2 (1) y ? 4a cos2 x ? 2 3a sin 2x ? 2 ? a

? 2 3a sin 2x ? 2a cos2x ? 2 ? a
? 4a sin( 2 x ?

?
6

)?2?a

周期 T ? ?

(2) f ( x) ? 4a sin( 2 x ? 当 a = 0,不合题意 若 a ? 0, 当2 x ?

?
6

) ? 2 ? a,

2x ?

?

? 7? ?[ , ] 6 6 6
3 , 5

?

6 2 12 ? 13 ? ? sin( 2 x ? ) ? ,单调递增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z 此时 f ( x) ? 5 6 5 3 6 ? 7? 时, f ( x) 的最大值为 2 ? a ? 5, ? a ? ?3 若 a ? 0, 当2 x ? ? 6 6 ? ? 2? ], k ? Z 此时 f ( x) ? ?12 sin( 2 x ? ) ? 1 ,单调增区间为 [k? ? , k? ? 6 6 3

?

?

时f ( x) 最大值为 2 ? 5a ? 5, ? a ?

21. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 sin A ? 3 cos A ? 2 . (1)求 A 的大小; (2)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ? 3b 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面 积.(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案计分) 解:(1)依题意得 2 sin ? A ?

? ?

??

?? ? ? ? 2 ,即 sin ? A ? ? =1 3? 3? ?
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∵0 ? A ?? ,



?
3

? A?

?
3

?

4? , 3

∴ A?

?
3

?

?
2

,

∴A?

?
6

(2)方案一:选择①② 由正弦定理

a b a ? sin B ? 2 2 , ,得 b ? sin A sin B sin A

A ? B ? C ? ? ,? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
?S ? 1 1 2? 6 ab sin C ? ? 2 ? 2 2 ? ? 3 ? 1. 2 2 4

2? 6 4

方案二:选择①③
2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b ? c ? 2bc cos A ? a ,有 b ? 3b ? 3b ? 4 ,则 b ? 2 , c ? 2 3 ,

所以 S ?

1 1 1 bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 2 2 2

说明 :若选择②③,由 c ? 3b 得, sin C ? 在. 22. (本题满分 14 分)

3 sin B ?

6 ? 1不成立,这样的三角形不存 2

晚自修结束后,几位同学在一起讨论问题,小李看到小杨把三角等式

cos?? ? ? ? = cos? cos ? ? sin ? sin ? 错写成了 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 。
爱思考的他给大家提出了以下几个问题: (1)等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 一定成立吗?请说明理由。 (2)等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 一定不成立吗?请说明理由。 (3)等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 何时成立?请说明理由。 经过一番热烈的讨论后,熄灯前几位同学得出了一致的结论,结束了讨论。 现在,请你也来试一试吧! 解: (1)取 ? ? 0 , ? ?

?
4

,得 cos?? ? ? ? = cos

?
4

?

2 。 2 2 。 2

cos? ? sin ? = cos0 ? sin
此时 cos?? ? ? ? ≠ cos? ? sin ? 。
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?
4

? 1?

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所以等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 不一定成立。 (2)取 ? ? ? ?

?
4

,得 cos?? ? ? ? = cos

?
2

=0。

cos? ? sin ? = cos

?
4

? sin

?
4

=0。

所以等式 cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 不一定不成立。 (3) cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? ∴ cos? cos ? ? sin ? sin ? = cos? ? sin ? ∴ cos? ?cos ? ? 1? ? sin ? ?1 ? sin ? ? ? 0

? ?? ?? ? ?? ? ?? ? 2 ? ? sin 2 ?? ? 2 sin 2 ? + 2 sin cos ? sin ? cos ? ? 0 ? cos 2 2 ?? 2? 2 2? 2 2? ?
2 sin

2

??
?? ??

? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? sin ? cos ??? sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? cos ?? ? 0 2? 2 2 ??? 2 2? 2 2? 2 2 ??
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? sin ? cos ?? sin sin ? cos sin ? cos sin ? cos cos ? ? 0 2? 2 2 ?? 2 2 2 2 2 2 2 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? sin ? cos ?? sin sin ? cos cos ? sin cos ? cos sin ? ? 0 2? 2 2 ?? 2 2 2 2 2 2 2 2?
? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? cos ? sin ? cos ?? sin ??0 2? 2 2 ?? 2 2 ?
?
2 ? 0 或 sin

2 sin

2 sin

2 sin
∴ sin ∴

??

?
2

? cos

?
2


=0 或 sin

? ??
2

? cos

? ??
2

=0

?
2

? k? 或

?
2

? k? ?

?
4

? ??
2

= k? ?

?
4

(k ?Z )

∴ ? ? 2k? 或 ? ? 2k? ?

?
2

或 ? ? ? = 2 k? ?

?
2

(k ?Z )

所以当 ? ? 2k? 或 ? ? 2k? ?

?
2

或 ? ? ? = 2 k? ?

?
2

( k ? Z )时,

cos?? ? ? ? = cos? ? sin ? 成立。

2011-2012 学年度第二学期高一数学期中考试试卷

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