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最新2019-《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.3.3-PP_图文

1.3.3

1.3.3 函数的最大(小)值与导数

【学习要求】

1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.

本 课

2.会用导数求某定义域上函数的最值.

时 栏

【学法指导】

目 开

弄清极值与最值的区别是学好本节的关键.



函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对

函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数

在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.3.3

1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值

函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲



课 线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小

时 栏

值,函数的最值必在_端__点___处或__极__值__点__处取得.



开 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:



(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_极__值___;

(2)将函数y=f(x)的各极值与_端__点__处___的函数值f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最__大__值__,最小的一个是

最__小__值__.

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1.3.3

探究点一 求函数的最值

问题1 如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能

本 课

找出它的极大值、极小值吗?











答 f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值; f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.

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1.3.3

问题2 观察问题1的函数y=f(x),你能找出函数f(x)在区间

[a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)

本 在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论?



时 答 函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值



目 开

是f(x3).

关 若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值.

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1.3.3

结论 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一

本 课

条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,且最值

时 栏

必在端点处或极值点处取得.







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1.3.3

问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数 值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出

课 的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;

栏 极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;

开 有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;

极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是 极值.

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1.3.3

问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值?

本 课

答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值,进行

时 栏

比较即可.







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1.3.3

例1 求下列函数的最值:

(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3];

(2)f(x)=12x+sin x,x∈[0,2π].

解 (1)f(x)=2x3-12x,



课 时

∴f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2),

栏 目

令f′(x)=0,解得x=- 2或x= 2.

开 关

当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,- 2) - 2 (- 2, 2) 2 ( 2,+∞)

f′(x)



0



0



f(x)

极大值

极小值

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1.3.3

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞).

因为f(-2)=8,f(3)=18,f( 2)=-8 2,

f(- 2)=8 2;



课 时

所以当x= 2时,f(x)取得最小值-8 2;



目 开

当x=3时,f(x)取得最大值18.

关 (2)f′(x)=12+cos x,令f′(x)=0,又x∈[0,2π],

解得x=23π或x=43π.

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1.3.3

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x 0 ???0,23π??? 23π ???32π,43π??? 43π ???34π,2π??? 2π

f′(x)



0



0







极大值

极小值

时 栏

f(x) 0



π3+

3 2

23π-

3 2

π

开 关

∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;

当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.

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1.3.3

小结 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅

仅是求最值,可用下面简化的方法求得.

本 ①求出导数为零的点.

课 时

②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大

栏 目

值和最小值.

开 关

(2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在端

点处取得.

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跟踪训练1 求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x∈[-3,1]; (2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].

本 解 (1)∵f(x)=x3+2x2-4x+5,

课 时

∴f′(x)=3x2+4x-4.

栏 目 开

令f′(x)=0,得x1=-2,x2=23.

关 ∵f(-2)=13,f???23???=9257,f(-3)=8,f(1)=4,

∴函数f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为9257.

1.3.3

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(2)∵f(x)=3ex-exx2,

∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)

本 =-ex(x+3)(x-1),

课 时

∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,



目 开

即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,

关 ∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;

x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.

1.3.3

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探究点二 含参数的函数的最值问题

1.3.3

例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).

(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的

切线方程.

本 (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.

课 时

解 (1)f′(x)=3x2-2ax.

栏 目

因为f′(1)=3-2a=3,

开 关

所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

3x-y-2=0. (2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=23a. 当23a≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,

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从而f(x)max=f(2)=8-4a.

当23a≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,

从而f(x)max=f(0)=0.

本 课 时

当0<23a<2,即0<a<3时,

栏 目 开

f(x)在???0,23a???上单调递减,在???23a,2???上单调递增,



从而f(x)max=?????80-4?2a<a<3??0<a≤2? ,

综上所述,f(x)max=?????08-?4aa>2? ?a≤2? .

1.3.3

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1.3.3

小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调

本 课

性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要

时 栏

分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.







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1.3.3

跟踪训练2 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最

大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 解 f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),

令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).

本 课

(1)当a>0时,列表如下:

时 栏

x

-1 (-1,0) 0 (0,2)

2

目 开

f′(x)

+ 0-



f(x) -7a+b

b

-16a+b

由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2] 上的最大值, ∴f(0)=3,即b=3.

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1.3.3

又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.

(2)当a<0时,同理可得,



课 时

当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小

栏 值,∴f(0)=-29,即b=-29.



开 又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),



∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.

综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

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1.3.3

探究点三 函数最值的应用

问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系?

本 课

答 解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值

时 栏

问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x)的最小值大于0即可.对

目 开

含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先分离参

关 数.

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1.3.3

例3 已知函数f(x)=(x+1)ln x-x+1.

若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立,求a的取值范围. 解 f′(x)=x+x 1+ln x-1=ln x+1x,xf′(x)=xln x+1,



而xf′(x)≤x2+ax+1(x>0)等价于ln x-x≤a.



时 栏 目

令g(x)=ln x-x,则g′(x)=1x-1.

开 关

当0<x<1时,g′(x)>0;

当x≥1时,g′(x)≤0,

x=1是g(x)的最大值点,∴g(x)≤g(1)=-1.

综上可知,a的取值范围是???-1,+∞???.

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1.3.3

小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,

对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即

本 课

可.

时 栏

一般地,可采用分离参数法.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max;

目 开

λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.



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1.3.3

跟踪训练3 设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的

x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围. 解 ∵f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).

∴当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;

本 课

当x∈(2,3)时,f′(x)>0.



栏 ∴当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c.



开 又f(3)=9+8c>f(1),



∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.

∵对任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立, ∴9+8c<c2,即c<-1或c>9. ∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3.3

1.函数y=f(x)在[a,b]上



A.极大值一定比极小值大

课 时

B.极大值一定是最大值

栏 C.最大值一定是极大值


开 D.最大值一定大于极小值


解析 由函数的最值与极值的概念可知,

y=f(x)在[a,b]上的最大值一定大于极小值.

( D)

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1.3.3

2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)

(D)

A.有最大值,但无最小值

B.有最大值,也有最小值



C.无最大值,但有最小值

课 时

D.既无最大值,也无最小值

栏 目

解析 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

开 关

当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,

所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小

值,故选D.

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1.3.3

3.函数y=x-sin x,x∈???π2,π???的最大值是

A.π-1

B.π2-1

C.π

D.π+1

(C )

本 解析 因为y′=1-cos x,

课 时 栏

当x∈ ???2π,π??? 时,y′>0,则函数在区间 ???π2,π??? 上为增函

目 开

数,



所以y的最大值为ymax=π-sin π=π,故选C.

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1.3.3

4.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为

10,则其最小值为__-__7_1___.

解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).

本 课

由f′(x)=0得x=3或x=-1.





又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,



开 关

f(-1)=k+5,f(4)=k-20.

由f(x)max=k+5=10,得k=5,

∴f(x)min=k-76=-71.

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1.3.3

1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函

数值即可;函数在一个开区间内只有一个极值,这个极

本 课

值就是最值.

时 栏

2.求含参数的函数最值,可分类讨论求解.

目 开

3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.




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