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2013-2014学年高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程知能演练 理(含解析)新人教A版选修2-1


2013-2014 学年高中数学 2.4.1 抛物线及其标准方程知能演练 理 (含解析)新人教 A 版选修 2-1

1.准线方程为 y=4 的抛物线标准方程为( ) 2 2 A.y =16x B.y =-16x 2 2 C.x =16y D.x =-16y 解析:选 D.由题意知,抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上,开口向下,且 =4,所以其 2 2 标准方程为 x =-16y,故选 D. 2.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) 2 2 A.y =8x B.x =y 2 2 C.y =8x 或 x =y D.无法确定 2 2 解析:选 C.由题设知抛物线开口向右或开口向上,设其方程为 y =2px(p>0)或 x = 1 2 2 2py(p>0), 将点(2,4)代入可得 p=4 或 p= , 所以所求抛物线标准方程为 y =8x 或 x =y, 2 故选 C. 2 3.抛物线 y=ax 的准线方程是 y=1,则 a 的值为( ) 1 1 A. B.- 4 4 C.4 D.-4 1 2 解析:选 B.抛物线方程为 x = y,

p

a

1 其准线方程为 y=- , 4a 1 1 ∴- =1,∴a=- . 4a 4 2 4. 若抛物线 y =x 上一点 P 到其准线的距离等于它到顶点的距离, 则点 P 的坐标为( 2? 2? ?1 ?1 A.? ,± ? B.? ,± ? 4? 4 ? ?4 ?8

)

2? 2? ?1 ?1 C.? , ? D.? , ? ?4 4 ? ?8 4 ? 解析:选 B.由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,即 P 点的 0+ 2 1 横坐标为 = . 2 8 2? ?1 故 P 点的坐标为? ,± ?. 4? ?8 2 5. 一动圆圆心在抛物线 x =4y 上, 过点(0,1)且与定直线 l 相切, l 的方程为( 则 1 A.x=1 B.x= 16 1 C.y=-1 D.y=- 16

p

)

1

解析:选 C.因为动圆过点(0,1)且与定直线 l 相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与 2 它到定直线 l 的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线 x =4y 上,且(0,1)为抛物线的焦点, 所以 l 为抛物线的准线,所以 l:y=-1. 6.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是__________. 16 9 解析:由双曲线 - =1, 16 9 得抛物线的焦点坐标为(4,0), 2 故可设抛物线方程为 y =2px(p>0), 所以 =4,即 p=8,抛物线方程为 y =16x. 2 2 答案:y =16x 7.动点 P 到直线 x+4=0 的距离比它到点 M(2,0)的距离大 2,则点 P 的轨迹方程是 ________. 解析:动点 P 到直线 x+2=0 的距离与它到点 M(2,0)的距离相等,利用定义求出抛物 线方程. 2 答案:y =8x 8.

x2

y2

x2

y2

p

2

(2012·高考陕西卷)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽________米. 2 解析:设抛物线的方程为 x =-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1,所以 x2=-2y.当 y=-3 时,x2=6,所以水面宽为 2 6米. 答案:2 6 9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. 2 2 (1)抛物线的焦点是双曲线 16x -9y =144 的左顶点; (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5. 解:(1)双曲线方程化为 - =1,左顶点为(-3,0), 9 16 -p 2 由题意设抛物线方程为 y =-2px(p>0)且 =-3, 2 ∴p=6, 2 ∴抛物线的方程为 y =-12x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2=2px(p≠0),A(m,-3), 由抛物线定义得 5=|AF|=?m+ ?. ? 2? 2 又(-3) =2pm, ∴p=±1 或 p=±9, 2 2 故所求抛物线方程为 y =±2x 或 y =±18x. 2 10.若抛物线 y =-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求 抛物线方程和 M 点的坐标. 解:由抛物线定义,设焦点 F?- ,0?, ? 2 ? 则准线为 x= ,过 M 作准线的垂线,垂足为 N, 2 则|MN|=|MF|=10,
2

x2

y2

?

p?

? p

?

p

即 -(-9)=10,∴p=2. 2 2 故抛物线方程为 y =-4x. 将 M(-9,y),代入抛物线方程得 y=±6. ∴M(-9,6)或 M(-9,-6).

p

1.已知点 P 在抛物线 y =4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取最小值时,点 P 的坐标为( ) 1 1 ? ? ? ? A.? ,-1? B.? ,1? ?4 ? ?4 ? C.(1,2) D.(1,-2) 解析:

2

选 A.点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+ ?1 ? |PQ|, 故最小值在 S,, 三点共线时取得, P Q 此时 P, 的纵坐标都是-1, P 坐标为? ,-1?. Q 点 ?4 ? 2.对标准形式的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 2 其中满足抛物线方程为 y =10x 的是________.(要求填写适合条件的序号) 2 2 解析:抛物线 y =10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足;设 M(1,y0)是 y =10x 上 p 5 7 ?5 ? 2 一点,则|MF|=1+ =1+ = ≠6,所以③不满足;由于抛物线 y =10x 的焦点为? ,0?, 2 2 2 ?2 ? 5? ? 过该焦点的直线方程为 y=k?x- ?, 若由原点向该直线作垂线, 垂足为(2,1)时, k=-2, 则 ? 2? 此时存在,所以④满足. 答案:②④ 3.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1 的一个焦点,且与双曲线实轴垂

x2 y2 a b

?3 ? 直,已知抛物线与双曲线的交点为? , 6?. ?2 ? (1)求抛物线的焦点坐标; (2)求双曲线的方程. 2 解:(1)由题意知,抛物线的焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线的方程为 y = 2px(p>0), ?3 ? 将交点? , 6?代入得 p=2, ?2 ? 2 故抛物线的方程为 y =4x,焦点坐标为(1,0). (2)根据题意知双曲线的一个焦点为(1,0),则 c=1. ?3 ? 又点? , 6?也在双曲线上, ?2 ? 9 6 因此有 2- 2=1. 4a b
3

1 3 2 2 2 2 又 a +b =1,因此可以解得 a = ,b = , 4 4 2 4y 2 因此,双曲线的方程为 4x - =1. 3 4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离 为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. 解:法一:设所求抛物线方程为 x =-2py(p>0),则焦点为 F?0,- ?. 2? ? ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,
2

?

p?

?m =6p,? ? ∴? p?2 ? 2 ? m +?-3+2? =5, ? ? ?
2

2

解得?

?p=4, ?m=±2 6.

∴抛物线方程为 x =-8y,m=±2 6,准线方程为 y=2. 法二:

如图,设抛物线方程为 x =-2py(p>0),则焦点 F?0,- ?,准线 l:y= ,作 MN⊥l, 2? 2 ?
2

?

p?

p

垂足为 N,则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+ , 2 ∴3+ =5,∴p=4. 2 2 ∴抛物线方程为 x =-8y,准线方程为 y=2. 2 由 m =-8×(-3)=24,得 m=±2 6.

p

p

4


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