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福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习 01讲 分类讨论思想课件


专题一

数学思想方法

第1讲 分类讨论思想

1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”,它是把所
要研究的数学对象划分为若干不同的情形,然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位,相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,难

度有易,有中,也有难.题型可涉及任何一种题
型,知识领域方面,可以“无孔不入”地渗透到 每个数学知识领域.

2.分类讨论的原则

(1)分类标准统一,对象确定,层次分明.
(2)所分各类没有重复部分,也没有遗漏部分. (3)分层讨论,不能越级讨论,有时要对分类结 果作以整合概述. 3.分类讨论的步骤

(1)确定讨论对象的主体;
(2)选取恰当科学的分类标准; (3)逐类讨论,获得阶段性成果;

(4)归纳整合,得出结论.

【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn=32n-n2,求其
通项公式an.

分析


依Sn的意义知:an=Sn-Sn-1,化简即可,但
①当n=1时,a1=S1=31.

要注意单独求a1=S1. ②当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=32n-n2-32(n1)+(n-1)2=33-2n.

考察a1=33-2×1=31,a1也适合an=33-2n.
综上,an=33-2n (n∈N*).

探究拓展

当一般性的结论在个别个体上无法使

用,或个体属性特别时,往往要单独解决,这是
产生分类讨论的基础.就本例而言,an=Sn-Sn-1, 在n=1时,没有意义(a1无前项),只有单独求 a1=S1,而在求得a1与an (n≥2,n∈N*)之后,还应 考察a1是否适合an(n≥2,n∈N*)时的规律,若

适合则合并写出an,否则,分段表述an.
变式训练1 (2009·徐州、淮安调研)已知集合 1
? A={3,m2},B={-1,3,2m-1},若A?B,则实数

m的值为
解析

.

? ? A?B?m2∈B?m2=-1或m2=2m-1?m=1. ? ?

【例2】若不等式mx2+mx+2>0对一切实数x恒成立,
试确定实数m的取值范围. 解 (1)当m≠0时,mx2+mx+2>0对于一切实数x
? m ? 0, 解得 0 ? m ? 8 . ? 2 ?? ? m ? 8m ? 0

恒成立的充要条件是

(2)当m=0时,原不等式为2>0,显然对一切实数x
恒成立. 综合(1)、(2)可得,当0≤m<8时,对一切实

数x不等式恒成立.

探究拓展

某些学生一见到有“二次”出现,往

往认识为“二次函数”或“二次方程”,这是由
定式思维引起的,备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识,否则,分析问题有失偏颇.如本例

中,未表明不等式的次数,且高次项系数含可变
参数,我们称之为“准二次不等式”,解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零.

变式训练2
分析

已知m∈R,求函数f(x)=(4-3m)x2-

2x+m在区间[0,1]上的最大值. 当4-3m=0时f(x)是一次函数,4-3m≠0时 f(x)是二次函数,由于二次函数开口向上和向下求 最大值的方法不同,所以对m可先分成两种情况去 讨论.



(1)当4-3m=0,即m ? 时 , 函数 y ? ? 2 x ? ,
3 3
max

4

4

它在[0,1]上是减函数,所以 y
4 3 4 3

? f (0) ?

4 3

.

(2)当4-3m≠0,即 m ? 时 , y是二次函数.

①若4-3m>0,即 m ? 时 , 二次函数y的图象开口向
上,对称轴 x ?
1 4 ? 3m ? 0,

它在[0,1]上的最大

值只能在区间端点达到(由于此处不涉及最小
值,故不需讨论区间与对称轴的关系).

f(0)=m,f(1)=2-2m.
当m≥2-2m,又 m ? , 即
3 4 2 3 ? m ? 4 3 时 , y max ? m ;

当m<2-2m, m ? 4 , 即 m ? 2 时 , y
3 4 3 3

max

? 2 ? 2m.

②若4-3m<0,即 m ? 时 ,时,二次函数y的图象开
口向下,又它的对称轴方程 x ? 数y在[0,1]上是减函数. 于是ymax=f(0)=m. 由(1)、(2)可知,这个函数的最大值为
2 ? 2 ? 2m, m ? , ? 3 ? ? 2 ?m , m ? . ? 3
1 4 ? 3m ? 0,

所以函

y max

【例3】(2009·连云港调研)已知不等式 a ?
? 3x ? 4 ? b

3 4

x

2

的解集为[a,b](a,b是常数,且
3 4 x ? 3 x ? 4 的对称轴为x=2,区间
2

0<a<b),求a、b的值. 分析 解
? 3 4

由于 f ( x ) ? 设
3 4

含参数可按a、b、2的大小关系进行分类.
f (x) ?
2

x ? 3x ? 4
2

( x ? 2) ? 1.

图1 (1)当a≤2≤b时,如图1所示,函数f(x)的最小值

显然,其对称轴为x=2.

为1,∴a=1.
又a≤x≤b,

此时,函数f(x)在[a,b]上的最大值为f(1)或

f(b).
? f (1) ? 7 4 ? 2 ? b 时 ,∴f(b)为最大值.

又由于f(x)在[1,b]上的值域为[1,b], ∴f(b)=b.
从而由 f ( b ) ? 得 b ? 4 (b ? 4 3 3 4 舍去 ). 于是 a ? 1, b ? 4 . b ? 3b ? 4 ? b ,
2

(2)当2<a<b时,如图2所示,

函数f(x)在[a,b]上递增,
∴f(a)=a,f(b)=b.

图2

?3 2 a ? 3a ? 4 ? a , ?4 即? ? 3 b 2 ? 3b ? 4 ? b . ?4

解之,得a=b=4,这与已知0<a<b矛盾,应舍去. (3)当0<a<b<2时,如图3所示,函数f(x)在[a,b] 上递减,

∴f(a)=b,f(b)=a,
?3 2 a ? 3a ? 4 ? b, ?4 即? ? 3 b 2 ? 3b ? 4 ? a . ?4

图3

解之,得 a ? b ? 探究拓展

4 3

,

这与0<a<b矛盾,应舍去.

综上可知,a=1,b=4.
对称轴与目标区间的相对位置关系影 响函数最值的获取,本例是典型的“定轴,动区 间”类问题,要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨 论.另一类与之相对应的问题是“定区间动轴”问

题,见本例变式训练,备考者要细细体会这“一
例一变”的相似与相异之处. 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时,为

叙述方便,使问题表述有层次、有条理,需作讨
论分别叙述.

变式训练3 分析

设A点的坐标为(a,0),a∈R,求曲

线y2=2x上的点到点A距离的最小值d.
本题是求两点间距离的最小值问题,代入 距离公式、转化为求二次函数的最值问题.注意抛 物线上的点(x,y)应满足x≥0. 解 设M(x,y)为曲线y2=2x上一点.
(x ? a) ? y ?
2 2 2

则 MA ? ? ?
2

(x ? a) ? 2x
2

x ? 2 ( a ? 1) x ? a
2

? x ? ( a ? 1) ? ? 2 a ? 1 . 由于x≥0,二次函数f(x)=[x-(a-1)]2+2a-1的顶
点的横坐标为x=a-1,由此作如下讨论: (1)当a≥1时,当x=a-1时,|MA|min= 2 a ? 1;

(2)当a<1时,二次函数f(x)在区间[0,+∞)上

单调递增,
∴当x=0时取最小值,
? MA
min

?

( a ? 1) ? 2 a ? 1 ? a .
2

综合可知 ,d

? 2a ? 1 ? ? ?a

( a ? 1), ( a ? 1).

【例4】某城铁路线上依次有A,B,C三站,AB=5
km,BC=3 km.在列车运行时刻表上,规定列车8时 整从A站发车,8时07分到达B站并停车1分钟,8时

12分到达C站,在实际运行时,假设列车从A站正
点发车,在B站停留1分钟,并在行驶时以同一速 度v km/h匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与

时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站

的运行误差.
(1)分别写出列车在B,C两站的运行误差; (2)若要求列车在B,C两站的运行误差之和不超 过2分钟,求v的取值范围. 解 (1)由题意知,列车在B、C两站的运行误差

(单位:分钟)分别是
300 v ?7和 480 v ? 11 .

(2)由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2
分钟,

所以

300 v

?7 ? 300 7 480 v

480 v

? 11 ? 2 .



当0 ? v ? 300 v 当 300 7 7? 300 v 当v ? 解得 480 11 480 11 ? ?7?

时 , ① 式变形为 ? 11 ? 2 , 解得 39 ? v ? 时 , ① 式变形为 300 7 300 v ?v? 480 11 ? 11 ? 480 v ? 2, ; 300 7 ;

?v?

480 11

480 v

? 11 ? 2 , 解得

时 , ① 式变形为 7 ? ?v? 195 4 .

综上所述 , v 的取值范围是

195 ? 39 , ? 4 ?

? . ? ?

探究拓展

解应用类的问题首先是构建数学模

型,其次是对所建立数学模型进行处理.本例中构 造了含两个绝对值的不等式,其解决办法是依据 绝对值的含义利用零点分段法将其化简,分类讨 论后还要将各种情况合并起来作为一个整体来作

答.对于实际应用类问题,还要将建立起来的数学
模型的答案回归到实际问题上去,保证不失去实 际意义.

变式训练4

有三个新兴城镇,分别位

于A,B,C三点处,且AB=AC=13, BC=10.今计划合建一个中心医院, 为同时方便三镇,准备建在BC的垂直 平分线上的P点处(建立坐标系如图所示). (1)若希望点P到三镇距离的平方和最小,点P应 位于何处? (2)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应 位于何处? 解 (1)设P的坐标为(0,y), 由图可知A(0,12),B(-5,0),C(5,0). 则P至三镇距离的平方和为 f(y)=2(25+y2)+(12-y)2=3(y-4)2+146,

∴当y=4时,f(y)min=146.

即点P应位于(0,4).
∴当点P为(0,4)时到三镇距离的平方和最小. (2)P至三镇的最远距离为
? 25 ? y g ( y) ? ? ? 12 ? y
2 2

(当 (当

25 ? y ? 12 ? y ),
2

25 ? y ? 12 ? y ).
2

由 25 ? y ? 12 ? y , 得 y ? ? 2 25 ? y ? 于是 g ( y ) ? ? ? 12 ? y ?

119 24

, ), ).

(y ? (y ?

119 24 119 24

因为

25 ? y 在
2

? 119 , ?? ? 24 ? 119 24

? 上是增函数 ? ?



而 12 ? y 在 ( ?? , 故当 y ? 119 24

) 上是减函数



时 , 函数 g ( y ) 有最小值 . 119 24 ). 最小 .

此时点 P 应位于 ( 0 , ? 当点 P 为 ( 0 , 119 24

)时到三镇的最远距离为

规律方法总结

1.分类讨论是“化整为零”——“各个击破”——
“积零为整”的数学方法,其原则是: (1)分类标准统一、对象确定. (2)所分各类没有重复部分,也没有遗漏部分. (3)分层讨论,不能越级讨论.有时,还要对讨论

的结果综合起来概述.
2.需要分类讨论的知识点大致有: 绝对值的概念;根式的性质;一元二次方程的判

别式符号与根的情况;二次函数二次项系数的正
负与抛物线开口方向;反比例函数 y ?
k x

(k≠0)的

比例系数k,正比例函数y=kx的比例系数k,一次函

数y=kx+b (k≠0)的斜率k与图象位置及函数的单调

性的关系;幂函数y=xn的幂指数n的正、负与定义
域、单调性、奇偶性的关系;指数函数y=ax (a>0 且a≠1)、对数函数y=logax (a>0,a≠1)中底数a的 范围对单调性的影响;等比数列前n项和公式中公 比q的范围对求和公式的影响;复数概念的分类;

不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号
方向的影响;排列组合中的分类计数原理;圆锥 曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系;运用

点斜式,斜截式直线方程时斜率k是否存在;角的
终边所在象限与三角函数符号的对应关系,等等.

3.分类讨论产生的时机:

(1)涉及的数学概念是分类定义的.
(2)运算公式、法则、性质是分类给出的. (3)参数的不同取值会导致不同的结果. (4)几何图形的形状、位置的变化会引起不同的 结果.

(5)所给题设中限制条件与研究对象不同的性质
引发不同的结论. (6)复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便

于解决.
(7)实际问题的实际意义决定要分类讨论.

一、填空题

1.过点P(2,3)且在坐标轴上的截距相等的直线方
程是
y? 3 2 x或y ? 5 ? x

.

解析

从几何图形特征上看,分截距等于零、不
y ? 3 2 x或 y ? 5 ? x.

等于零两种情况,所求直线方程为

2.直线l过点P(-2,1),点A(-1,-2)到直线l的 距离等于1,则直线l的方程为 4x+3y+5=0或x=-2 .

解析

直线l的斜率不存在时,满足条件的方程为

x=-2,当斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x+2),由

点到直线的距离公式,可得 k ? ? , 所以直线l的方
3

4

程为4x+3y+5=0或x=-2.

3.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩

形,则它的体积为
解析

4 3 9



8 3 9

.

正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长、宽

分别为2和4、或4和2两种情况进行讨论.
4.已知正三角形的边长为3,到这三个顶点A、B、C

的距离都等于1的平面的个数是
解析

8

.

过AB、AC中点与BC平行的平面有2个,此

类平面有3×2=6个,还有与平面ABC平行且距离为 1的2个平面.故应有8个平面满足题意.

5.(2009·江苏押题)等比数列{an}中,a3=7,前3

项之和S3=21,则公比为
解析

1或 ?

1 2

.

当q=1时,a3=3,S3=21合题意;
3

a 1 (1 ? q ) ? 1 ?S3 ? 1? q 当 q ? 1时 ,? ? 21 , 解得 q ? ? . 2 ?a ? a q 2 ? 7 ? 3 1

6.(2009·通州调研)将一颗骰子连续掷三次,它 落地时向上点数依次成等差数列的概率为 (结果用最简分数表示). 解析 基本事件总数为6×6×6,按公差为0、1、 2、-1、-2共分五类,能依次成等差的基本事件数18.
1 12

二、解答题

7.不等式(k2-1)x2+2(k+1)x+1>0对于x∈R恒成立,求
实数k的取值范围. 解 (1)若k2-1=0即k=±1时,分别将k=±1代入原不 等式验证得k=-1时不等式恒成立; k2-1>0, (2)若k2-1≠0时,则 4(k+1)2-4(k2-1)<0. 解得k<-1. 由(1)(2)得k≤-1.所以k的取值范围是(-∞,-1].

8.已知函数f(x)=2asin2x- 2 3 asin xcos x+a+b

(a≠0)的定义域为 ? 0 , ? ? , 值域为[-5,1],求常
? ? 2? ?

数a,b的值. 解 f(x)=a(1-cos 2x)-3asin 2x+a+b
?
6 ) ? 2 a ? b.

? ? 2 a sin( 2 x ?

? 7 ? ?? ? ? x ? 0, ,? ? 2 x ? ? ? , ? 2? 6 6 6 ? ?
?? 1 2 ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1,

由于f(x)的值域为[-5,1],可得:

?a ? 0 ? 1 ? ?? 2a ? (? ) ? 2a ? b ? 1 2 ? ?? 2a ? 1 ? 2a ? b ? ?5 ? ? ?a ? 0 ? 或 ?? 2a ? 1 ? 2a ? b ? 1 ? 1 ?? 2a ? (? ) ? 2a ? b ? ?5 ? 2 ?a ? 2 ?a ? ?2 解得 ? 或? . ?b ? ? 5 ?b ? 1

9.已知方程mx2+2y2=m+1 (m∈R)对于不同范围的m

值,分别指出方程代表的图形.
解 当m=0或m=-1时,系数出现零,因此要对m=0和
x
2

m=-1的情况进行讨论; 当m≠0且m≠-1时,方程变形为 由
m ?1 2 ? m ?1 m

m ?1 m

?

y

2

m ?1 2

? 1,

得 m ? 2 ,这样-1,0,2,把数轴分成四个

区间,所以要分多种情况讨论. (1)当m=0时,方程为2y2=1,即
y ? ? 2 2 ,

图形为两
2 2 x , 图形

条平行直线;
(2)当m=-1时,方程为-x2+2y2=0,即 y ? ? 为两条相交直线;

( 3 )当 m ? 0 且 m ? ? 1时 , 方程化为

x

2

m ?1 m

?

y

2

m ?1 2

? 1.

m ?1 m ?1 ① 当 m ? ? 1时 , ? 0, ? 0 , 图形为焦点在 m 2 的双曲线 ;

x 轴上

m ?1 m ?1 ② 当 ? 1 ? m ? 0时 , ? 0, ? 0 , 图形为焦点在 m 2 上的双曲线

y轴


m ?1 2
2

③ 当 0 ? m ? 2时 , ? 0

?

m ?1 m
2

, 图形为焦点在 3 2

x 轴上的椭圆



④ 当 m ? 2时 , 方程化为 x ? y ? 径为 6 2 的圆 ;

, 图形为圆心在原点

, 半

⑤ 当 m ? 2时 , ? 0 随圆 .

m ?1 m

?

m ?1 2

, 图形为焦点在

y 轴上的

综上,当 m<-1时,图形为焦点在x轴上的双曲线;

当m=-1时,图形为两条相交直线;
当-1<m<0时,图形为焦点在y轴上的双曲线; 当m=0时,图形为两条平行直线; 当0<m<2时,图形为焦点在x轴上的椭圆; 当m=2时,图形为圆心在原点,半径为 当m>2时,图形为焦点在y轴上的椭圆.
6 2

的圆;

10.设函数f(x)=xekx (k≠0).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间; (3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k 的取值范围. 解 (1)f′(x)=(1+kx)ekx,

f′(0)=1,f(0)=0,曲线y=f(x)在点(0,f(0))
处的切线方程为y=x. (2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,
得x ? ? 1 k ( k ? 0 ).

若 k ? 0 , 则当 x ? ( ?? , ?

1 k

)时 , f ? ( x ) ? 0 ,

函数f(x)单调递减;
当 x ? (? 1 k , ?? )时 , f ? ( x ) ? 0 ,

函数f(x)单调递增. 若k<0, 则当
x ? ( ?? , ? 1 k )时 , f ? ( x ) ? 0 ,

函数f(x)单调递增;
当 x ? (? 1 k

,? ? )时 , f ? ( x ) ? 0 ,

函数f(x)单调递减.

(3)由(2)知,若k>0,则当且仅当 ? 即k≤1,函数f(x)在(-1,1)内单调递增; 若k<0,则当且仅当 ?
1 k ? 1,

1 k

? ? 1,

即k≥-1时,

函数f(x)在(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时, k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].

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