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江苏省西亭高级中学高三数学综合测试卷(三)
一.选择题:(每题 4 分,共 48 分) 1. 数列 18,15,12,…,21-3n…是 (A)公差为 3 的等差数列 (B)公比为 3 的等比数列 (C)公差为-3 的等差数列 (D)公比为-3 的等比数列 2 2. 已知 A={x|x+1≥0},B={x|x -2≥0} ,则 A∩CRB 为 (A){x|x≥-1} (C){x|-1≤x≤ 2 } 3. 已知 sin(? ? ? ) ? ? (A) sin(? ? ? ) ? (C) tan ? ? (B){x|x≥ 2 } (D){x|-1≤x< 2 } ( )

(

)

(

)

3 ,则 5 4 5 5 (D) sec ? ? ? 4
(B) co s ? ?

3 5

3 4

1 4. 函数 y= sin22x 的最小正周期为 2 (A)4? (B)2? (C)? (D)

(

)

?
2

5. 给出四个函数,①y=0.5x ② y ? ? 的个数是 (A) 1 (B)2 6. 下列计算中,结果正确的是 (A) ? 2 3 ? ?

2 ③y=x2+1 ④y=x0.5,其中在(0,+∞)上为增函数 x
( (C)3
3 ? 2

) )
2 1

(D)4 (

? ?

2

? ?

1 3

2

1

2

29

(B) 2 3 ? 2 3 ? 2

(C) ? 33 ?

? ?

2

? ?

?3

(D) 2 3 ? 2 3 ? 2 ( ) y

7. 下列各图象表示的函数中,反函数不存在的是 y x O O y x O y x

x O

(A) 8. cos[arcsin(-

(B)

(C)

(D) ( )

1 )]的值是 2

(A)

3 2

(B)-

3 2

(C)

1 2

(D)-

1 2

9. 复数 i+i2+i3+i4 的值等于 ( ) (A)i (B)-i (C)0 (D)-1 10. 集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9},它的含有 2 个偶数、3 个奇数的子集个数为( )
5 (A) C9 2 3 (B) C4 ? C5 3 2 (C) C5 C4 3 2 (D) A5 A4

11. 一个电路上并联着甲、乙两个电子元件,在某种异常状态下,甲发生故障的概率为 0.85,乙 发生故障的概率为 0.74. 假设这两个元件发生故障是相互独立的, 则至少有一个元件发生故 障的概率为 ( ) (A)0.961 (B)0.189 (C)1.59 (D)以上都不对 2 2 12. 圆 x +y -4x+6y-3=0 上到 x 轴距离等于 1 的点有 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 二.填空题:(每题 4 分,共 24 分) 13. 已知函数 f(x)=x2+bx+c 的函数值小于 0 的充要条件是 x?(0,3),则 b?c=____; U(v) 14. 如图是某一交流电路中电压 U(v)随时间 t(s)变化的函数图 30 象,则此函数的表达式为_________________ t(s) 15. ? 3 x ?

? ?

a? ? 展开式中常数项为-220,则 a=______; x?

12

-0.18 O

0.17

16. 从含有 8 件正品和 2 件次品的 10 件产品中,任取 2 件, -30 则取出的 2 件中至少有一件次品的概率是 . 2 17. 设初中毕业生中男生的身高服从正态分布 N(?,σ )=N(167,25) (单位:cm) .今年某市共 有初中毕业生约 12000 人(男女生比例约为 1:1),如果他们将全部升入高一级学校学习,那 么校服制作厂家要为他们制作约_______________套适合身高在 162cm~172cm 范围内男生 穿的新校服. [ 附 : 若 随 机 变 量 x~N(a,σ2), 则 P(x?(a - σ,a+σ))=0.683 , P(x?(a - 2σ,a+2σ))=0.956,P(x?(a-3σ,a+3σ))=0.997. ] 18. 底面边长和侧棱长均为 10 的正四棱锥的体积为______________________. 三.解答题:(共 78 分) x-3 19. (本题满分 8 分)已知 A={x|x2+px+q≤0},B={x| ≥0},且 A?B=R,A?B={x|3≤x≤4}. x+1 (1) (4 分)写出数集 A 的区间表示; (2) (4 分)求 p、q 的值.

20. (本题满分 10 分)如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出,每天可销售 100 件,现

采取提高售价,减少进货量的办法增加每天的利润。已知这种商品每件涨价 1 元,其销售数 量就减少 10 件。 (1) (5 分)试写出当天的利润 y 元关于单价 x 元/件的函数关系式 y=f(x); (2) (5 分)将售价定为多少时,赚得的利润最大?

21. (本题满分 14 分)数列{an}各项均为正数,Sn 为其前 n 项的和,对于 n?N+,总有 an,Sn,an2 成等差数列。 (1) (4 分)试写出数列{an}的前三项; (2) (10 分)求数列{an}的通项公式.

22. (本题满分 16 分)(1)如图 1:矩形 ABCD 的一边 AB?平面?,E、F 分别为 C、D 在平面?内 的射影.设矩形 ABCD 的面积为 S,平面 ABCD 与?的交角为?.求证:四边形 ABEF 为

C B ?A D F E ?

M

M' 图(2)

图(1) 矩形且其面积为 S?cos?;(6 分)

(2)一般地,如图 2 所示:如果一个平面图形 M 所在的平面与平面?的交角为?,M 在平面? 内的正射影为 M?,则 M 与 M?的面积之间的关系为 SM'=SM?cos?.这就是面积的射影定理.用 此定理求解下列问题:设 AA1B1B 为圆柱的轴截面,C 为底面圆周上一点,AA1=1,AB=4,∠ BAC=60?,求平面 A1CB1 与圆柱底面 ABC 所成的二面角.(10 分) B1 A1

B

C 图(3)

A

23. (本题满分 14 分)一辆汽车在雨中由东向西行驶, 当车速为 65km/h 时, 侧面车窗上雨滴留下 的痕迹是从前向后的,与铅垂线成 30?角.当该车停下来时(方向不变),雨滴在侧窗玻璃上 留下的痕迹方向是从后向前的,与铅垂线成 45?的角.假设雨滴是由正东方向向正西方向斜 线下落的,那么: (1) (8 分)根据以上信息,请计算雨点下落速度的大小.(精确到 0.001km/h) (2) (6 分)在气象学上把在一定的时刻在单位体积的空间内雨点所占据的空间的比例系数, 称 为降雨强度系数,它是用来度量雨滴密度的量,通常用 p 来表示;把单位时间水平平面 - 上的降下的雨水厚度称为降雨强度,用 I 来表示.设此时 p=1.39?10 6,请你计算出降 雨强度 I.(精确到 1mm/h)

24. (本题满分 16 分)定义: 在二次曲线方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、 B、 C 是常数且 A?B?C?0)
2 2

中,称比值 ?

A B

为此二次曲线的斜心率,记为 K,即 K= ?

A B

(1) (4 分)求椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的斜心率 K; a 2 b2

x2 y 2 (2) (10 分)如图:点 P1、P2、P 均在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,且 P1P2 经过椭圆中心 O,设直线 a b
(3) PP1、PP2 的斜率分别为 k1、k2.求证:k1?k2 即为此椭圆的斜心率 K. P P2 y P1 O x

一.选择题:C D A D

模拟试卷(3)参考解答 C B C A C C A C

二.填空题:13.0 14.U=30sin(10?t+0.3?) 15.-1 16.17/45 17.4188 18. 三.解答题: 19. 解 (1)易解得:B=(-?,-1)?[3,+?). 又? A?B=R,A?B={x|3≤x≤4} ?A=[-1,4] (2)?A={x|x2+px+q≤0}=[-1,4] ?方程 x2+px+q=0 的两个实根为 x1=-1,x2=4. ?p=-(x1+x2)=-3, q=x1?x2=-4. 20. 解 (1)y=(x-8)[100-10(x-10)] (10≤x≤20) 整理得 y=-10x2+280x-1600 (2)当 x ?

2 3 a 6

280 ? 14 (元/件)时赚得的利润最大,为 2 ? 10

ymax ?

4 ? (?10) ? (?1600) ? 2802 ? 360 (元). 4 ? (?10)

答:将售价定为每件 14 元时,赚得的利润最大,为 360 元. 21. 解 (1)? an,Sn,an2 成等差数列?2Sn=an+an2 当 n=1 时,S1=a1 ?2a1=a1+a12,?a1=0 或 a1=1 ?由题意,an>0 ?a1=0 舍去. 当 n=2 时,2S2=a2+a22, ?S2=a1+a2=1+a2 ?2+2a2=a2+a22 ? an>0 ?a2=2 同理可得,a3=3. (2)? Sn ? ? an ?

an ?1 ? an ?12 an ? an 2 S ? , n ?1 ,而 Sn ? Sn?1 ? an 2 2

1 (an ? an 2 ? an ?1 ? an ?12 ) 2
即 (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 0

? an ? an?1 ? an 2 ? an?12 ? 0

? (an ? an?1 )[1 ? (an ? an?1 )] ? 0 ?an>0 ?an+an-1>0 ?an-an-1=1,即数列{an}为等差数列,公差为 1,首项为 1. ?an=n

22. (1)证明 ∵AB?平面?, CD∥AB, CD 不在平面? 内 ?CD∥平面?,又∵EF 为 CD 的射影,即 EF=平面 CDFE?平面? ?CD∥EF,又 CD∥AB?AB∥EF ∵CE∥DF?四边形 CDFE 为平行四边形,CD=EF, 而 CD=AB,所以 AB=EF,即四边形 ABEF 为平行 四边形. ?AF 为 AD 在平面? 内的射影,AB?AD ?AB?AF ?四边形 ABEF 为矩形. 显然,由以上证明可知∠DAF 即为?,AF=ADcos? ?SABEF=AB?AF=AB?AD?cos?=SABCD?cos?. (2)?点 C 为底面圆周上一点,?∠ACB=90? 又∠BAC=60?,AB=4 ?AC=2,BC= 2 3

C B ?A B1 A1 D F E

B (1) C A

?SΔABC= 2 3

在 RtΔA1AC、RtΔB1BC 中,易解得:A1C= 5 ,B1C= 13 ?在 ΔA1B1C 中,cos∠B1CA1=

A1C 2 ? B1C 2 ? A1 B12 1 = 2 ? A1C ? B1C 65
? 1 A1C ? B1C ? sin ?A1CB1 =4 2
(2)

?sin∠B1CA1=

8 65

,即 S

A1B1C

设平面 A1CB1 与圆柱底面 ABC 所成的二面角为?,则由面积的射影定理得: cos?=

S ABC 3 = ,即 ?=30?. 2 S A1B1C

23. 解(1)如图所示:在车子行驶时,雨滴在侧窗上留下的痕迹方向,实际上是雨滴静止时相对 车子的速度(大小与车速相等,方向相反) v 车与雨滴相对于大地的下落速度 v 雨的向量之和: v 合. 在 ΔOAB 中,AB=65,∠AOB=75?,∠OBA=60? 车子行驶的方向 y

AB OA ? sin ?AOB sin ?OBA sin 60? ? 65 ? OA ? ?58.277 sin 75?
由正弦定理: 即|v 雨|?58.277km/h. (2)由题意:可以设想单位时间(1 小时)内落在水平 平面 S 上的雨水,在落到 S 上之前时,分散在一个 以 S 为底面的斜棱柱 V 内.棱柱的侧棱与水平面 S 的夹角为 45?,设侧棱长为 L,高为 h,体积为 V, 底面积为 S(如图所示). A

O v雨

v车 v合 B

x (东)

V S

L 45?

h

则 L=|v 雨|?1?58.277(km) h=L?sin45?,V=S?h 又由题意:在 V 内的雨滴的分散度,即在单位体积的空间内雨点所占据的空间的比例系数(即降 - 雨强度系数)p=1.39?10 6. - ?I=V?p/S=S?h?p/S=h?p?58.277?sin45??1.39?10 6 - ?57?10 6(km/h)=57(mm/h) 答:雨滴下落速度的大小为 58.277km/h,此时的降雨强度 I 为 57mm/h.

x2 y 2 24. (1)解 椭圆方程 2 ? 2 ? 1 可化为: b2 x2 ? a2 y 2 ? a2 b2 a b
?根据题设定义,此椭圆的斜心率为 ?

b2 . a2

(2)证明:设点 P(x0,y0)为椭圆上任上点,设点 P1(x1,y1),因为 P1P2 经过椭圆中心 O,?点 P2(-x1,-y1)

x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ?1 a b

(1)

P P2

y P1 O

x y ? ?1 a b

2 1 2

2 1 2

(2)

x

y02 ? y12 b2 (1)-(2),整理得: 2 ? ? x0 ? x12 a2
又? k1 ?

(3)

y0 ? y1 y ? y1 , k2 ? 0 x0 ? x1 x0 ? x1

? k1 ? k2 ?

y02 ? y12 b2 ? ? ?K x02 ? x12 a2
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