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高一下期半期考试数学(含答案)

大邑县安仁中学高一下期半期考试 数 学 试 题
一、选择题: 1.若 2、n、10 成等差数列,则 n=( A.5 B.6
5 π 2. 设 tan ? = ,则 tan? α+ ?=( 4? ? 3
A.-2 C.-4 ) B.2 D.4

) C.7 D.8

3.若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 n ? r ,则 r ? A、 2 B.、 1 C、 0 D、





?1
( ) D、 a50 ? 50 ( ) D. 3 )

4.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a99 ? 0 ,则 A、 a1 ? a99 ? 0 B、 a1 ? a99 ? 0

C、 a1 ? a99 ? 0

5. 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3, A ? 60 ,则 ?ABC 的面积为 A. 3
2

B. 2

C. 1

6.已知在 ?ABC 中, cos2 A.正三角形 C.等腰直角三角形

A b?c ,则 ?ABC 的形状是( ? 2 2c

B.直角三角形 D. 等腰直角三角形或直角三角形

a ? ? 2n,当an为偶数时, 7. 已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 若 a6=1,则 m 所 ?3an+1,当an为奇数时. ? 有可能的取值为( ) A.{4,5} C.{4,5,32} B.{4,32} D.{5,32}

8.若等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,且 q ? 1 ,又 a1 ? 0 ,那么( A. a2+a6 ? a3+a5 B. a2+a6 ? a3+a5

)

C. a2+a6=a3+a5 D. a2+a6 与 a3+a5 的大小不能确定 9. ?ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则 sin A ? sin C 的最大值为 ( ) 1 3 A. 2 B. 3 C. D. 2 2

-1-

10.设等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn 且满足 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,则

S1 S2 , , a1 a2

,

S15 中最大 a15

二、填空题: 11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则 ?an ? 的通项 an = 12.若 tan ? ? ;

sin 2? 1 ,则 = cos 2 ? 17

; ;

13.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 n ,则 an ? 14.在 ?ABC 中,A= 60 o ,b=1, 面积为 3 ,则

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

15.下列说法中: ①在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 cos A ? cos B ; ②已知数列 ?an ? 为等差数列, 若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) , 则有 am ? an ? a p ? aq ; ③已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则数列 ?an ? bn ?、 ?an ? bn ? 也为等比数列;
3 的最大值为 1 ? 2 3 ; 2 2sin 2 x 其中正确的是________________(填正确说法的序号)

④若 0 ? x ?

?

,则函数 f ( x ) ? cos2 x ?

三、解答题: 16.⑴ 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 . 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列 {a n} 为等差数列, a15 ? 10 , a45 ? 90 , 求 a60 ;

-2-

17.已知 A、B、C 是 ?ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a , b, c ,且
2cos2 A ? cos A ? 0 . 2

⑴求 A 的值;

⑵若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18. 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 64 ,公比 q ? 1 , a2 , a3 , a4 又分别是某等差数列的第
7 项,第 3 项,第 1 项.(1)求 ?an ? 的通项公式;

(2)设 bn ? log2 an , Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,问:从第几项起 Sn ? 0 ?

19.如图,A,B 是海面上位于东西方向相聚 5(3+ 3 )海里的两个观测点,现位 于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点 南偏西 600 且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船达到 D 点需要多长时间?

-3-

20、(本小题满分 13 分)
已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=a(Sn-an+1)(a 为常数),且 a1=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=anlog2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

1 bn 21、 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 、?bn ? 满足:a1 ? , an ? bn ? 1, bn?1 ? . 4 1 ? an 2

(1)求 a2 , a3 ;

?1? (2) 证明数列 ? ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ? an ?
(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,求实数 ? 为何值时 4?Sn ? bn 恒成立。

-4-

大邑县安仁中学高一下期半期考试
数学答案
一、选择题:1—5:BCDCA 二、填空题: 11.2n 三、解答题: 12. 6—10:BCABC

2 17

13.2n-1

14.

2 39 3

15. ①④

16.解:(1)

a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 ?3a1 ? 3d ? 12,即d ? 2

? an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n.
(2)法一:令数列 {a n} 的首项为 a 1 ,公差为 d,则
82 ? a1 ? ? ? ?a45 ? a1 ? 44d ?90 ? a1 ? 44d ? 3 即 ? 解之有: ? , ? 8 ?10 ? a1 ? 14d ?a15 ? a1 ? 14d ?d ? ? 3 ?
∴ a60 ? a1 ? 59d ? 130 . 法二:∵, a45 ? a15 ? (45 ? 15)d , ∴ a60 ? a15 ? (60 ? 15)d ? 130 . 法三:∵ {a n } 为等差数列, a15 ? 10 , a45 ? 90 , ∴ d ? 0 , an ? An ? B (n∈N). ∴ 90=10+30d ∴ d ?

8 , 3

?10 ? 15A ? B ∴ ? ?90 ? 45A ? B
∴ a60 ? 60 A ? B ? 130 .

8 ? ?A ? 解之有 ? 3 , ? ? B ? ?30

法四:∵ {a n } 为等差数列, ∴ a 15 、 a 30 、 a45 、 a60 ,…为等差数列, ∴ a30 ?

a ? a60 a15 ? a 45 10 ? 90 ? ? 50, 又 a 45 ? 30 , 2 2 2

∴ a60 ? 2a45 ? a 30 ? 130 .

-5-

17.解:⑴由题意有 1 ? cos A ? cos A ? 0 ? cos A ? ? ,又 A ? (0, ? ) ,? A ?

2? …5 分 3 ⑵由题意及⑴知,由三角形的余弦定理得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 1 则 a 2 ? (b ? c)2 ? bc ,则 bc ? 4 ,再由 S?ABC ? ? sin A ? bc ,得 S ?ABC = 3 2 1 2

18.

19.

20、解:(1) an=2n. (2)把 an=2n 代入 bn=anlog2an,得 bn=2nlog22n=n· 2n, ∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n· 2n,① ∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n· 2n 1,②


①-②得 2?1-2n? + + + + -Tn=2+22+23+…+2n-n· 2n 1= -n· 2n 1=2n 1-2-n· 2n 1, 1-2 ∴Tn=-2n 1+2+n· 2n 1=(n-1)· 2n 1+2.
+ + +

-6-



1 ? 4 ? ( n ? 1) ? 3 ? n an
1 n?3 an ?
∴ bn ? 1 ?

an ?
(3)

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

1 n?3

∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an?1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? ? 4 ?5 5?6 ( n ? 3)( n ? 4) 4 n ? 4 4( n ? 4)
……………10 分

∴ 4? Sn ? bn ?

?n
n?4

?

n ? 2 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? n?3 ( n ? 3)( n ? 4)

由条件可知 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件 设

f (n) ? (? ? 1)n2 ? 3(? ? 2)n ? 8

当 ? ? 1 时, f ( n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立,

-7-


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