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19届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量及其运算 理_图文

第七章 立体几何

第六节 空间向量及其运算
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升

☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆

考纲要求

真题举例

命题角度

1.了解空间直角坐标系,会

以解答题为

用空间直角坐标表示点的位置;

2016,全国卷Ⅰ, 主,主要考查空间

会推导空间两点间的距离公式;

18,12 分(面面垂直、 直角坐标系的建

2.了解空间向量的概念,了解空

二面角)

立及空间向量坐

间向量的基本定理及其意义,掌

2015,全国卷Ⅰ, 标的运算能力及

握空间向量的正交分解及其坐

18(Ⅱ),6 分(求二面 应用能力,有时也

标表示;

角)

以探索论证题的

3.掌握空间向量的线性运算及

形式出现。

其坐标表示;

考纲要求

真题举例

命题角度

4.掌握空间向量的数量积及其

坐标表示,能运用向量的数量积

以解答题为

判断向量的共线与垂直;

2015,全国卷Ⅱ, 主,主要考查空间

5.理解直线的方向向量与平面 19(Ⅱ),6 分(求线面 直角坐标系的建

的法向量;

角)

立及空间向量坐

6.能用向量语言表述直线与直 2014,全国卷Ⅱ, 标的运算能力及

线、直线与平面、平面与平面的 18,12 分(平行、二面 应用能力,有时也

垂直、平行关系;

角问题)

以探索论证题的

7.能用向量方法证明有关直线

形式出现。

和平面关系的一些定理。

微知识 小题练

教材回扣 基础自测

自|主|排|查 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 ①空间向量:在空间中,具有__大__小__和__方__向__的量叫做空间向量。 ②相等向量:方向__相__同__且模_相__等___的向量。 ③共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相_平__行__或__重__合__ 的向量。 ④共面向量:__平_行__于__同__一__个__平__面___的向量。

(2)空间向量中的有关定理 ①共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在唯一 一个 λ∈R,使 a=__λb__。 ②共面向量定理:若两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共 面?存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=_x_a_+__y_b__。 ③空间向量基本定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任 一向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得 p=__x_a_+__y_b_+__zc__。

2.两个向量的数量积 (1)非零向量 a,b 的数量积 a·b=|a||b|cos〈a,b〉。 (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。

3.空间向量的坐标表示及其应用

设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 向量表示

坐标表示

数量积 共线
垂直

a·b a=λb(b≠0)
a·b=0 (a≠0,b≠0)

a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0



|a|

夹角

〈a,b〉(a≠0,b≠0)

a12+a22+a23
cos〈a,b〉=
a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23· b21+b22+b32

4.向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线 的方向向量有_无__数___个。 ②平面的法向量 直线 l⊥平面 α,取直线 l 的方向向量,则这个向量叫做平面 α 的法向 量。显然一个平面的法向量有_无__数___个,它们是共线向量。

(2)空间位置关系的向量表示

位置关系

直线 l1,l2 的方向向量分 别为 n1,n2
直线 l 的方向向量为 n,

l1∥l2 l1⊥l2 l∥α

平面 α 的法向量为 m

l⊥α

平面 α、β 的法向量分别

α∥β

为 n、m

α⊥β

向量表示 n1∥n2?n1=λn2 n1⊥n2?n1·n2=0 n⊥m?m·n=0 n∥m?n=λm n∥m?n=λm n⊥m?n·m=0

微点提醒 1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理。 如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平 行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线 a∥b,只需证明向量 a =λb(λ∈R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平 行,仍需强调直线在平面外。 2.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中 点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。

小|题|快|练 一 、走进教材 1.(选修 2-1P97A 组 T2 改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AC 与 BD 的交点为点 M,设A→B=a,A→D=b,A→A1=c,则下列向量中与C→1M 相等的向量是( ) A.-12a+21b+c B.12a+21b+c C.-12a-12b-c D.-12a-21b+c

【解析】 C→1M=C→1C+C→M =-A→A1-12A→C=-A→A1-21(A→B+A→D) =-12A→B-21A→D-A→A1=-12a-12b-c。故选 C。 【答案】 C

2.(选修 2-1P111 练习 T3 改编)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点, 则直线 ON,AM 的位置关系是________。

【解析】 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建 立空间直角坐标系,设 DA=2,则 A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以 A→M=(-2,0,1),O→N=(1,0,2),A→M·O→N=-2+0+2=0,所以 AM⊥ON。
【答案】 垂直

二、双基查验

1.(2016·沈阳模拟)O 为空间任意一点,若O→P=34O→A+18O→B+81O→C,则

A,B,C,P 四点( )

A.一定不共面

B.一定共面

C.不一定共面

D.无法判断

【解析】 由43+81+81=1 知,A,B,C,P 四点共面。故选 B。 【答案】 B

2.(2017·赤峰模拟)已知 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且 a·b=2,则

x 的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【解析】 因为 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1), 所以 a·b=-3+2x-5=2, 解得 x=5。故选 C。 【答案】 C

3.(2016·重庆模拟)若 A????0,2,189????,B????1,-1,58????,C????-2,1,58????是平 面 α 内的三点,设平面 α 的一个法向量 a=(x,y,z),则 x∶y∶z=( )

A.2∶3∶(-4)

B.1∶1∶1

C.-12∶1∶1

D.3∶2∶4

【解析】 A→B=????1,-3,-47????,B→C=(-3,2,0), 因为平面 α 的一个法向量为 a=(x,y,z),
所以???a·A→B=x-3y-74z=0, ??a·B→C=-3x+2y=0,
取 y=3,则 x=2,z=-4。 所以 x∶y∶z=2∶3∶(-4)。故选 A。 【答案】 A

4.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 n=(-2,0, -4),则直线 l 与平面 α 的位置关系为________。
【解析】 ∵a=-12n,∴l⊥α。 【答案】 l⊥α

5.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果A→B=(2,

-1,-4),A→D=(4,2,0),A→P=(-1,2,-1)。对于结论:①AP⊥AB;②

AP ⊥ AD ; ③ A→P 是 平 面

ABCD



法向



;④

→ AP



→ BD



其中

正确





________。

【解析】 ∵A→B·A→P=0,A→D·A→P=0, ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确。 又A→B与A→D不平行, ∴A→P是平面 ABCD 的法向量,则③正确。 ∵B→D=A→D-A→B=(2,3,4),A→P=(-1,2,-1), ∴B→D与A→P不平行,故④错误。 【答案】 ①②③

微考点 大课堂

考点例析 对点微练

考一点 空间向量的线性运算 【典例 1】 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设A→A1=
a,A→B=b,A→D=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b, c 表示以下各向量:
(1)A→P;(2)A→1N;(3)M→P+N→C1。

【解析】 (1)∵P 是 C1D1 的中点, ∴A→P=A→A1+A→1D1+D→1P=a+A→D+12D→1C1 =a+c+12A→B=a+c+12b。 (2)∵N 是 BC 的中点, ∴A→1N=A→1A+A→B+B→N=-a+b+12B→C =-a+b+12A→D=-a+b+12c。

(3)∵M 是 AA1 的中点, ∴M→P=M→A+A→P=12A→1A+A→P =-12a+????a+c+12b????=12a+12b+c。 又N→C1=N→C+C→C1=21B→C+A→A1 =12A→D+A→A1=12c+a, ∴M→P+N→C1=????21a+12b+c????+????a+12c???? =32a+21b+32c。 【答案】 (1)a+c+12b (2)-a+b+12c (3)32a+12b+23c

反思归纳 确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点,若是, 利用平行四边形法则即可。若不是,利用封闭图形,寻找到所要表示的向 量所对应的线段为其一边的一个封闭图形,利用这一图形中欲求向量与已 知向量所在线段的联系,进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。 一般地,可以找到的封闭图形不是唯一的,但无论哪一种途径结果应是唯 一的。

【变式训练】 在三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点, G 是△ABC 的重心,用基向量O→A,O→B,O→C表示M→G,O→G。

【解析】 M→G=M→A+A→G =12O→A+32A→N =12O→A+32(O→N-O→A) =12O→A+32[12(O→B+O→C)-O→A] =-16O→A+13O→B+13O→C O→G=O→M+M→G=21O→A-16O→A+13O→B+13O→C =13O→A+31O→B+31O→C。 【答案】 M→G=-61O→A+31O→B+13O→C, O→G=13O→A+13O→B+13O→C

考二点【典例共2】线如、图共所示面,已定知斜理三的棱柱应AB用C-A1B1C1,点 M,N 分别
在 AC1 和 BC 上,且满足A→M=kA→C1,B→N=kB→C(0≤k≤1)。 (1)向量M→N是否与向量A→B,A→A1共面? (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行?

【解析】 (1)∵A→M=kA→C1,B→N=kB→C, ∴M→N=M→A+A→B+B→N =kC→1A+A→B+kB→C =k(C→1A+B→C)+A→B =k(C→1A+B→1C1)+A→B =kB→1A+A→B=A→B-kA→B1 =A→B-k(A→A1+A→B) =(1-k)A→B-kA→A1, ∴由共面向量定理知向量M→N与向量A→B,A→A1共面。

(2)当 k=0 时,点 M、A 重合,点 N、B 重合, MN 在平面 ABB1A1 内,当 0<k≤1 时, MN 不在平面 ABB1A1 内, 又由(1)知M→N与A→B、A→A1共面, 所以 MN∥平面 ABB1A1。 【答案】 (1)共面 (2)平行

反思归纳

三点(P,A,B)共线

空间四点(M,P,A,B)共面

P→A=λP→B

M→P=xM→A+yM→B

对空间任一点 O,O→P=O→A+tA→B

对空间任一点 O,O→P=O→M+xM→A+ →
yMB

对空间任一点 O,O→P=xO→A+(1- 对空间任一点 O,O→P=xO→M+yO→A+

→ x)OB

(1-x-y)O→B

【变式训练】 (2017·抚州模拟)如图在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是平行四边形,E,F,G 分别是 A1D1,D1D,D1C1 的中点。
(1)试用向量A→B,A→D,A→A1表示A→G; (2)用向量方法证明平面 EFG∥平面 AB1C。

【解析】 设A→B=a,A→D=b,A→A1=c, (1)由图得A→G=A→A1+A→1D1+D→1G =c+b+12D→C=21a+b+c=12A→B+A→D+A→A1。 (2)证明:由题图得:A→C=A→B+B→C=a+b, E→G=E→D1+D→1G=12b+12a=21A→C, ∵E→G与A→C无公共点。 ∴EG∥AC,∴EG∥平面 AB1C。 又∵A→B1=A→B+B→B1=a+c,

F→G=F→D1+D→1G=12c+12a=12A→B1, ∵F→G与A→B1无公共点, ∴FG∥AB1,∴FG∥平面 AB1C, 又∵FG∩EG=G, ∴平面 EFG∥平面 AB1C。 【答案】 (1)A→G=12A→B+A→D+A→A1 (2)见解析

考三点【典例空3】间如向图量所示数,在量平行积四的边形应AB用CD 中,AB=AC=CD=1,
∠ACD=90°,把△ADC 沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求 BD 的长。

【解析】 ∵AB 与 CD 成 60°角,

∴〈B→A,C→D〉=60°或 120°。

又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,

∴|B→D|=

→ BD2



?B→A+A→C+C→D?2 =

B→A2+A→C2+C→D2+2B→A·A→C+2A→C·C→D+2B→A·C→D

= 1+1+1+0+0+2×1×1×cos〈B→A,C→D〉

= 3+2cos〈B→A,C→D〉 ,

∴|B→D|=2 或 2。

∴BD 的长为 2 或 2。

【答案】 2 或 2

反思归纳 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用 垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置。
2.利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角。 3.可以通过|a|= a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求 解。

【变式训练】 已知空间四边形 OABC 各边及对角线长 AC,OB 都相 等,E,F 分别为 AB,OC 的中点,求异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值。
【解析】 如图所示,设O→A=a,O→B=b,O→C=c,
且设各棱长及对角线长均为 1, 故|a|=|b|=|c|=1,

a·b=a·c=b·c=12,且|O→E|=|B→F|= 23。

∴O→E·B→F=12(O→A+O→B)·(O→F-O→B)

=????12a+12b????·????21c-b???? =14a·c+14b·c-12a·b-21|b|2=-21,

∴cos〈O→E,B→F〉=|OO→→EE|·|BB→→FF|=-32。

∵异面直线所成角的范围为????0,π2????, ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为23。

【答案】

2 3

考四点【典例利4】用空(201间6·昆向明模量拟)解如图决,在平长方行体与ABC垂D-直A1B问1C1D题1 中,
AA1=AD=1,E 为 CD 的中点。
(1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由。

【解析】 以 A 为原点,A→B,A→D,A→A1的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正 方向建立如图所示的空间直角坐标系。
设 AB=a。

(1)证明:A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E????2a,1,0????,B1(a,0,1), 故A→D1=(0,1,1), B→1E=????-a2,1,-1????, 因为B→1E·A→D1=-a2×0+1×1+(-1)×1=0, 所以 B1E⊥AD1。

(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), 使得 DP∥平面 B1AE,此时D→P=(0,-1,z0), 再设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z), A→B1=(a,0,1),A→E=????a2,1,0????。 因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥A→B1,n⊥A→E,
得?????aa2xx+ +zy==00,,

取 x=1,则 y=-a2,z=-a,得平面 B1AE 的一个法向量 n=????1,-a2,-a????。 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥D→P, 有a2-az0=0, 解得 z0=12。 又 DP?平面 B1AE,所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP=21。 【答案】 (1)见解析 (2)存在点 P,AP=21

反思归纳 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程 1.根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关 点、相关向量用坐标表示。 2.假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面 满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该 限定的范围,则存在,否则不存在。

【变式训练】 (2016·怀化模拟)如图是某直三棱柱被削去上底后的直 观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中,点 M 是 BD 的中点,AE =12CD,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所 示。

(1)求证:EM∥平面 ABC; (2)求出该几何体的体积; (3)试问在棱 CD 上是否存在一点 N,使 MN⊥平面 BDE?若存在,确 定点 N 的位置;若不存在,请说明理由。
【解析】 (1)证明:因为 M 为 DB 的中点,取 BC 中点 G,连接 MG,AG, 所以 MG∥DC,且 MG=12DC。 所以 MG∥AE 且 MG=AE,所以四边形 AGME 为平行四边形,所以 EM∥ AG。又 AG?平面 ABC,ME?平面 ABC,所以 ME∥平面 ABC。

(2)由题意知,EA⊥平面 ABC,DC⊥平面 ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4, AB⊥AC,且 AB=AC=2,因为 EA⊥平面 ABC,所以 EA⊥AB。又 AB⊥AC, EA∩AC=A,所以 AB⊥平面 ACDE,所以四棱锥 B-ACDE 的高 h=AB=2, 梯形 ACDE 的面积 S=6,所以 VB-ACDE=31·Sh=4,即所求几何体的体积为 4。

(3)以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,2,0), C(-2,0,0),D(-2,0,4),E(0,0,2),M(-1,1,2),D→B=(2,2,-4),D→E=(2,0,- 2),D→C=(0,0,-4),D→M=(1,1,-2)。假设在 DC 上存在一点 N 满足题意, 设D→N=λD→C=(0,0,-4λ),λ∈[0,1],则N→M=D→M-D→N=(1,1,-2)-(0,0,-4λ)
=(1,1,-2+4λ),所以?????NN→ →MM··DD→→BE==00,, 即???22+ +24+ -88-λ=106,λ=0,

解得 λ=43∈[0,1]。所以棱 DC 上存在一点 N, 满足 DN=34DC 时,NM⊥平面 BDE。 【答案】 (1)见解析 (2)4 (3)存在一点 N,DN=34DC

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考题选萃 随堂自测

1.在空间四边形 ABCD 中,A→B=a,B→C=b,A→D=c,则C→D等于( )

A.a+b-c

B.c-a-b

C.a-b-c

D.b-a+c

解析 如图所示,C→D=C→B+B→D=C→B+(A→D-A→B)=-b+c-a=c-a-b。

故选 B。

答案 B

2.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是边 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且使 MG=2GN,则用向量O→A,O→B, O→C表示向量O→G正确的是( )
A.O→G=O→A+23O→B+23O→C B.O→G=12O→A+23O→B+23O→C C.O→G=16O→A+13O→B+13O→C D.O→G=16O→A+13O→B+23O→C

解析 O→G=O→M+M→G=21O→A+23M→N=12O→A+ 32(O→N-O→M)=12O→A+23????O→B+2 O→C-O→2A????=61O→A+31O→B+13O→C。 故选 C。 答案 C

3.在空间四边形 ABCD 中,A→B·C→D+A→C·D→B+A→D·B→C=( )

A.-1

B.0

C.1

D.不确定

解析 如图所示,令A→B=a,A→C=b,A→D=c,

则A→B·C→D+A→C·D→B+A→D·B→C=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a -b·c+c·b-c·a=0。故选 B。
答案 B

4.已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若A→P=2P→B,则|P→D|的值是 ________。

解析 设 P(x,y,z),∴A→P=(x-1,y-2,z-1)。

P→B=(-1-x,3-y,4-z),由A→P=2P→B得点 P 坐标为????-13,83,3????,又 D(1,1,1),

∴|P→D|= 377。

答案

77 3

5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC, DD1 上的点,如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和为________。

解析 以 D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系,设 CE=x,DF=y,则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),所以B→1E=(x-1,0,1),又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以F→B=(1,1,y),由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面 ABF, 只需F→B·B→1E=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y=1。
答案 1