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2019年人教A版必修五高中数学3.4 基本不等式(二) 导学案及答案

§3.4 基本不等式: ab≤ a+ b (二 ) 2 课时目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用; 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.设 x,y 为正实数 (1)若 x+y=s(和 s 为定值),则当 x=y 时,积 xy 有最大值, 且这个值为 . 4 (2)若 xy=p(积 p 为定值),则当 x=y 时,和 x+y 有最小值, 且这个值为 2 p. 2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需满足: (1)x,y 必须是正数; (2)求积 xy 的最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 的 最小值时,应看积 xy 是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 利用基本不等式求最值时,一定要注意三个前提条件,这三个前 提条件概括为“一正、二定、三相等”. s2 一、选择题 1.函数 y=log2?x+ ? ? ? 1 +5? (x>1)的最小值为( x-1 ? ) A.-3B.3C.4D.-4 答案 B 2.已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则 2x +4y 的最小值为( ) A.2 2B.4 2C.16D.不存在 答案 解析 B ∵点 P(x,y)在直线 AB 上,∴x+2y=3. 3 3 ∴2x+4y≥2 2x·4y=2 2x+2y=4 2(x= ,y= 时取等号). 2 4 5 x2-4x+5 3.已知 x≥ ,则 f(x)= 有( 2 2x-4 ) 5 5 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1D.最小值 1 2 4 答案 D x2-4x+5 ?x-2?2+1 解析 f(x)= = 2x-4 2?x-2? 1 ? 1? ?≥1. = ??x-2?+ x-2? 2? 当且仅当 x-2= 1 ,即 x=3 时等号成立. x-2 ) x2+5 4.函数 y= 2 的最小值为( x +4 5 A.2B. C.1D.不存在 2 答案 B x2+5 1 解析 y= 2 = x2+4+ 2 x +4 x +4 ∵ x2+4≥2,而 1 1 ≤ ,所以不能用基本不等式求最小值, 2 x +4 2 1 用函数的单调性求最值,函数 y=x+ 在(1,+∞)上是增函数,∴ x 在[2,+∞)上也是增函数. 5 ∴当 x2+4=2 即 x=0 时,ymin= . 2 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( 9 11 A.3B.4C. D. 2 2 答案 解析 B ∵8-(x+2y)=2xy=x·(2y)≤( ) x+2y 2 )2. ∴原式可化为(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0. ∵x>0,y>0,∴x+2y≥4. 当 x=2,y=1 时取等号. ? 1? ? 1? 6.若 xy 是正数,则?x+ ?2+?y+ ?2 的最小值是( 2y? ? 2x? ? ) 7 9 A.3B. C.4D. 2 2 答案 解析 C ? 1? ? 1? ?x+ ?2+?y+ ?2 2y? ? 2x? ? 1? 1 1 ? x y =x2+y2+ ? 2+ 2?+ + 4? x y ? y x ? 2 1 ? ? 2 1 ? ?x y? =?x + 2?+?y + 2?+? + ?≥1+1+2=4. 4x ? ? 4y ? ?y x? ? 当且仅当 x=y= 2 2 或 x=y=- 时取等号. 2 2 二、填空题 7. 设 x>-1, 则函数 y= 答案 解析 9 ∵x>-1,∴x+1>0, ?x+5??x+2? 的最小值是________. x+1 设 x+1=t>0,则 x=t-1, ?t+4??t+1? t2+5t+4 4 于是有 y= = =t+ +5≥ t t t 2 t· +5=9, t t 4 4 当且仅当 t= ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. ∴当 x=1 时, 函数 y= ?x+5??x+2? 取得最小值为 9. x+1 8.已知正数 a,b 满足 a+b-ab+3=0,则 ab 的最小值是 ________. 答案 解析 9 ∵a+b-ab+3=0, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3. 令 ab=t,则 t2≥2t+3. 解得 t≥3(t≤-1 舍).即 ab≥3. ∴ab≥9.当且仅当 a=b=3 时,取等号. 9.建造一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底 和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造 价为________元. 答案 1760 解析 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 xm,由于底 4 面积为 4m2,所以另一边长为 m.那么 x y=120·4+2·80·?2x+2· ?=480+320?x+ ? x? x? ? ? ≥480+320·2 ? 4? ? 4? x· =1760(元). x 4 当 x=2, 即底为边长为 2m 的正方形时, 水池的造价最低, 为 1760 元. 10.函数 y=loga(x+3)-1 (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________. m n 答案 解析 8 ∵A(-2,-1)在直线 mx+ny+1=0 上, 1 2 ∴-2m-n+1=0, 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. 1 2 2m+n 4m+2n n 4m ∴ + = + =2+ + +2≥4+2· m n m n m n n 4m · =8. m n n 4m 1 1 当且仅当 = ,即 m= ,n= 时等号成立. m n 4 2 1 2 故 + 的最小值为 8. m n 三、解答题 1 9 11.已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y 解 方法一 1 9 ∵ + =1,

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