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【高考状元】数学错题本:第1章《集合》易错题(Word版,含解析)

我的高考数学错题本 第 1 章 集合易错题 易错点 1 遗忘空集致误 由于空集是任何非空集合的真子集,在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B ? ? 这种情况,导致解题结果错误. 【例 1】 设 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | ax ? 1 ? 0} , B ? A ,求的值. 【错解】 A ? {3, ?1} , B ? { } ,从而 a ? 【错因】忽略了集合 B ? ? 的情形 【正解 】当 B ? ? 时,得 a ? 1 a 1 或 ?1 . 3 1 1 或 ?1 ; B ? ? 时,得 a ? 0 .所以 a ? 或 a ? ?1 或 a ? 0 . 3 3 【纠错训练】已知 A ? {x | 2a ? x ? a ? 3} , B ? {x | x ? ?1或x ? 5} ,若 A ? B =? ,求 a 的取值 范围. 【解析】由 A ? B =? , (1)若 A ? ? ,有 2a ? a ? 3 ,所以 a ? 3 . ? 2 a ? ?1 1 ? (2)若 A ? ? ,则有 ? a ? 3 ? 5 ,解得 ? ? a ? 2 . 2 ? 2a ? a ? 3 ? 综上所述,的取值范围是 {x | ? 易错点 2 1 ? a ? 2或a ? 3} . 2 忽视集合元素的三要素致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三性中互异性对解题的影响最 大,特别是带有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求. 2 【例 2】已知集合 A ? {1, 4, a} , B ? {1, a , b} ,若 A ? B ,求实数,的值. ?4 ? a 2 ?a ? 2 ?a ? ?2 【错解】由题意得, ? ,解得 ? 或? . ?a ? b ?b ? 2 ?b ? ?2 【错因】本题误认为两个集合相等则对应项相同,这显然违背了集合的无序性. 【正解】∵ A ? B ,由集合元素的无序性,∴有以下两种情形: (1) ? ?4 ? a 2 ?a ? b ,解得 ? ?a ? 2 ?a ? ?2 或? ; ?b ? 2 ?b ? ?2 ?a 2 ? a ? a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 1 (2) ? ,解得 ? 或? ,经检验 ? 与元素互异性矛盾,舍去. ?b ? 4 ?b ? 4 ?b ? ?2 ?b ? ?2 ∴? ?a ? 2 ?a ? ?2 ?a ? 0 或? 或? . ?b ? 2 ?b ? ?2 ?b ? 4 已知集合 A ? {1, 4, a} ,集合 B ? {1, a 2 } ,若 B ? A ,求的值. 【例 3】 【错解】 a 2 ? 4 或 a 2 ? a ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 或 a ? 1 . 【错因】没有将计算结果代回到集合中检验,忽略了集合中元素的互异性,导致出现了增解. 【正解】 a 2 ? 4 或 a 2 ? a ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 或 a ? 1 ,经检验当 a ? 1 时, A ? {1, 4,1} , 与集合中元素的互异性相矛盾,舍去,所以 a ? ?2 或 a ? 0 . 【纠错训练】已知集合 A ? {1, 2}, B ? {x | ax ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数的值是( A. 0, ,3 ) 3 3 B. 0, 3 C. ,3 D. 2 2 【解析】若 B ? A ,则集合 B 是集合 A 的子集,当 B ? ? ,显然 a ? 0 ;当 B ? ? 时,解得 3 3 3 3 ?3? B ? ? ? ,则有 ? 1 或 ? 2 ,解得 a ? 3 或 a ? ,即的值为 0, ,3 ,选 A. 2 a 2 a ?a ? 易错点 3 弄错集合的代表元 【例 4】 已知 A ? ? y | y ? x ? 1 ? ,B ? ?( x , y) | x2 ? y 2 ? 1? , 则集合 A ? B 中元素的个数为________. 【错解】 1 个或无穷多个 【错因】没有弄清集合 B 的代表元的含义 【正解】 集合 A 是一个数集,集合 B 是一个点集, 二者的交集为空集, 所包含的元素个数为 0. 【 例 5 】 已 知 函 数 y ? f ( x) , x ? [ a, b] , 那 ) 么 集 合 {( x, y) | y ? f ( x), x ?[a, b]} ? {( x, y) | x ? 2} 中元素的个数为( A.1 A.0 C.0 或 1 【错解】不知题意,无从下手,蒙出答案 D D.1 或 2 【错因】没有弄清两个集合打代表元,事实上, {x | y ? f ( x)} 、 { y | y ? f ( x)} 、 {( x, y) | y ? f ( x)} 分别表示函数 y ? f ( x) 的定义域、值域、函数图象上的点的坐标组成的集 合. 【正解】本题中集合的含义是两个图象交点的个数,从函数值的唯一性可知,两个集合的交 中之多有一个交点,故选 C. 【 纠 错 训 练 】 1 . 已 知 集 合 A ?{ y | y ? 2 x ?1, } B ? {x | y ? x ? 2} , 则 A ? B ? _______________. 【解析】 A ? { y | y ? 1} , B ? {x | x ? 0} ,所以 A ? B ? {x | x ? 1} . 【纠错训练】2.设集合 A ? {( x, y) | x ? 2 y ? 5} , B ? {( x, y) | x ? 2 y ? ?3} ,则 A ? B ? ______. 【解析】由 ? ?x ? 1 ?x ? 2 y ? 5 ,解得 ? ,从而 A ? B ? {(1, 2)} . ?y ? 2 ? x ? 2 y ? ?3 易错点 4

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