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江苏省海门中学2012年中考数学自主招生考试试卷_人教新课标版

年江苏省海门中学中考自主招生考试数学试题 2012 年江苏省海门中学中考自主招生考试数学试题
注意事项
1. 本试卷共 9 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和 答题卡一并交回。 2. 答题前,考生务必将本人的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色水笔填写在试卷及答题 卡指定的位置。 3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上, 在试卷或草稿纸上答题一律无效 在试卷或草稿纸上答题一律无效。 一、选择题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 1、下列计算正确的是( ) A、 (? a ) + ( ? a ) = 2( ? a )
2 3 5

B、 (? a ) ? ( ? a ) = ( ?a )
2 3 6 3

6

C、 (? a ) = ? a
3 2

6

D、 ( ?a ) ÷ ( ? a ) = ( ?a )

3

答案:D 2、小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表: 输入 … 1 2 3 4 5 输出 …

… …

1 2
B、

2 5

3 10
C、

4 17
)

5 26
D、

那么,当输入数据是 8 时,输出的数据是( A、

8 61

8 63

8 65

8 67

答案:C 3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题: (1)若 x = a ,则 x = a
2 2

(2)方程 2 x ( x ? 1) = x ? 1 的解为 x = 0 . (3)若直角三角形有两边长分别为 3 和 4,则第三边的长为 5. 其中答案完全正确的题目个数为( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 答案:A 4、如图,已知直线 l 的解析式是 y =

D.3 个

4 x ? 4 ,并且与 x 轴、 y 3

轴分别交于 A、B 两点。一个半径为 1.5 的⊙C,圆心 C 从点(0, 1.5) 开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动,当⊙C 与 直线 l 相切时,则该圆运动的时间为( A.3 秒或 6 秒 B.6 秒 C.3 秒 答案: D 5、已知 ) D.6 秒或 16 秒

1 1 ? x = 1 ,则 + x 的值为( x x
B. 5

). C. ± 3 D. 5 或 1

A. ± 5

答案:B 6、如图, ?ABC 是⊙O 的内接正三角形,弦 EF 经过 BC 边的
用心 爱心 专心

1

中点 D ,且 EF // AB ,若⊙O 的半径为

4 3 ,则 DE 的长为( 3
D.

)

A.

3 ?1

B.

5 +1 2

C. 5 ? 1

3 +1 2

答案:C 7、已知函数 y = x 2 ? 2 x + c ( c 为常数)的图象上有两点 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 。若

x1 < 1 < x 2 且 x1 + x 2 > 2 ,则 y1 与 y 2 的大小关系是(
A. y1 > y 2 B. y1 < y 2 C. y1 = y 2

)

D. y1 与 y 2 的大小不确定

答案:B 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 8、计算:

2+ 2 2? 2

?

1 2 ?1



答案: 2 +

2
?5 ? 2 x ≥ ?1 无解,则 a 的取值范围是 ? x?a >0
____ 。

9、已知关于 x 的不等式组 ? 答案: a ≥ 3

10、一个密码箱的密码,每个数位上的数字都是从 0 到 9 的自然数,若要使不知道密码的人 一次就拨对密码的概率小于 答案:4 11、定义: 答案:4 12、在平面直角坐标系中,直线 y = ?

1 ,则密码的位数至少需要___________位. 2012

a b = ad ? bc 。现有 c d

x ?1 2

1 = 0 ,则 x = __________ x

4 x + 8 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点,把直线 3

4 y = ? x + 8 沿过点 A 的直线翻折,使 B 与 x 轴上的点 C 重合,折痕与 y 轴交于点 D ,则 3 直线 CD 的解析式为_______________________ 3 3 答案: y = x + 3 , y = x ? 12 4 4
13、已知方程 x ? 6 x ? 10 = 0 有一根 x 0 满足 k < x 0 < k + 1 , k 为正整数,则 k = _______.
3

答案:3

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2

14、 如图 AB = BC = CA = AD =

3 ,AH ⊥ CD 于

H , CP ⊥ BC 交 AH 于 点 P , AP = 2 , 则 BD = ____________________
答案:

3 2 2

三、解答题(本大题共 8 题,共 80 分) 15、(本题满分 10 分) (1)在 Rt?ABC 中, ∠C = 90 , ∠A 的正弦、余弦之间有什么关系?请给出证明过程。
0

(2)已知锐角 α 满足: sin α = 1 ? x , cos α = 1 ? 2 x ,求 tan α 的值。 解:(1) sin A + cos A = 1
2 2

…………………………………………5 分

(2)由 sin α + cos α = 1 ,得 (1 ? x ) 2 + (1 ? 2 x ) 2 = 1 所以可解得 x =
2 2

1 或 x = 1 (舍), 5

易得 tan α =

3 …………………………………………………………5 分 4

16、(本题满分 10 分) (1)图(1)是正方体木块,把它切去一块,可能得到形如图(2)、(3)、(4)、(5)的木块。

我们知道,图(1)的正方体木块有 8 个顶点,12 条棱,6 个面,请你将图(2),(3),(4),(5) 中木块的顶点数,棱数,面数填入下表: 图 (1) (2) (3) (4) (5) (2)观察上表,请你归纳上述各种木块的顶点数,棱数,面数之间的数量关系,这种数量关 系是:_______________. 解:(1) 图 顶点数 棱 数 面 数 顶点数 8 棱数 12 面数 6

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3

(2) (3) (4) (5) (2)顶点数+面数=棱数+2.

6 8 8 1O

9 12 13 15

5 6 7 7

17、(本题满分 10 分) 阳光公司生产某种产品,每件成本 3 元,售价 4 元,年销售量为 20 万件,为获得更好的效 益,公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验,每年投入的广告费是 x (万元)时,产品 的销量是原销量的 y 倍,且 y 与 x 之间满足:

? 3 (0 < x ≤ 1) ? 10 x + 1 ? 1 7 7 ? y = ?? x 2 + x + (1 < x ≤ 3) 10 10 ? 10 19 ? ( x > 3) ? 10 ?
如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。 (1) 试求出年利润 S (万元)与广告费 x (万元)的函数关系式,并注明 x 的取值范围; (2) 若

1 ≤ x ≤ 5 ,要使利润 S 随广告费 x 的增大而增大,求 x 的取值范围。 2

5 x + 20 (0 < x ≤ 1) ? ? 2 解:(1) S = ?? 2 x + 13 x + 14 (1 < x ≤ 3) ? 38 ? x ( x > 3) ?
(2)在 S = 5 x + 20 (0 < x ≤ 1) 中, S 随 x 的增大而增大。

Q S = ?2 x 2 + 13 x + 14 = ?2( x ?

∴ 当1 < x ≤ 3 时, S 随 x 的增大而增大。 1 1 ∴ 若 ≤ x ≤ 5 ,要使利润 S 随广告费 x 的增大而增大,则 x 的取值范围为 ≤ x ≤ 3 。 2 2

13 2 281 ) + (1 < x ≤ 3) 4 8

18、(本题满分 10 分) 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦,且 AB = a < 1 ,以 AB 为一边在圆 O 内作正三角 形 ABC , 点 D 为 圆 O 上 不 同 于 点 A 的 一 点 , 且 DB = AB = a ,DC 的延长线交圆 O 于点 E , AE 的长。 求 解:如图,连接 OE,OA,OB。设∠CDB = x°,则∵CD = AB = DB, ∴∠BCD = x°。 ∵∠ACB = 60°,∴∠ECA = 120°- x°。
用心 爱心 专心

4

∵∠ABO = ∠ABD / 2 =(∠ABC +∠CBD)/2 = (60°+180°- 2x)/2=120° - x°, ∴△ACE ≌ △ABO ,AE= OA = 1.
2 2 19、已知 n 为正整数,二次方程 x + ( 2n + 1) x + n = 0 的两根为 α n , β n ,求下式的值:

1 1 1 + +L+ (α 3 + 1)( β 3 + 1) (α 4 + 1)( β 4 + 1) (α 20 + 1)( β 20 + 1)
解:由韦达定理,有 α n + β n = ?( 2n + 1) , α n β n = n 。于是,对正整数 n ≥ 3 ,有
2

1 1 1 = = 2 (α n + 1)( β n + 1) α n β n + α n + β n + 1 n ? (2n + 1) + 1 =
原式=

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n ? 2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) 2 3 2 2 4 2 18 20 1 1 1 1 531 = (1 + ? ? ) = 2 2 19 20 760

20、(本题满分 8 分) 解方程: 2[ x] = x + 2{x} ( x ≥ 0) (注: [x ] 表示实数 x 的整数部分, {x} 表示 x 的小数部分,如 [ 2.13] = 2, {2.13} = 0.13 ) 解:原方程可变为 2[ x] = [ x ] + {x} + 2{x} 即 3{x} = [ x ] 因 0 ≤ {x} < 1 ,故 0 ≤ [ x ] < 3 ,于是 [x ] 只可能为 0,1,2,且 x = [ x ] + {x} = 当 [ x ] = 0 时, x = 0 ;当 [ x ] = 1 时, x =

4 [ x] 3

4 8 ;当 [ x ] = 2 时, x = 。 3 3

a+b 1 + ab (1) 证明:结合律 (a ? b) ? c = a ? (b ? c ) 成立. (2) 证明:如果 a 与 b 在 S 中,那么 a ? b 也在 S 中. 2 (说明:可能用到的知识: | a |< 1 即 a < 1 )
使得 a ? b =

21、(本题满分 10 分) 设绝对值小于 1 的全体实数的集合为 S,在 S 中定义一种运算“ ? ”,

用心

爱心

专心

5

a+b +c a+b 1 + ab (1) a * b)*c= ( *c= = a + b + c + abc 因为此式关于 a,b,c 对称,所以即 a+b 1 + ab 1+ ? c 1 + bc + ca + ab 1 + ab
得(a*b)*c=a*(b*c)成立,这样就利用对称性减少了一半计算 (2)当-1<a<1,-1<b<1 时,有-1< 即可证得

a+b a+b 2 <1 成立,也即证 ( ) <1 成立,从而用比较法 1 + ab 1 + ab

22、(本题满分 12 分) 如图,对称轴为 x = 3 的抛物线 y = ax 2 + 2 x 与 x 轴相交于点 B 、 O . (1)求抛物线的解析式,并求出顶点 A 的 坐标; (2)连结 AB,把 AB 所在的直线平移,使它 经过原点 O,得到直线 l .点 P 是 l 上一动点.设 以点 A、B、O、P 为顶点的四边形面积为 S,点 P 当 求 的横坐标为 t , 0<S≤18 时, t 的取值范围; (3)在(2)的条件下,当 t 取最大值时,抛 物线上是否存在点 Q ,使△OP Q 为直角三角形且 OP 为直角边. 直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 若存在,

23.解:(1)∵点 B 与 O(0,0)关于 x=3 对称, ∴点 B 坐标为(6,0). 将点 B 坐标代入 y = ax 2 = 2 x 得: 36 a +12=0, ∴a=?

1 . 3 1 2 x + 2 x .…………………………2 分 3

∴抛物线解析式为 y = ?

当 x =3 时, y = ? × 3 + 2 × 3 = 3 ,
2

1 3

用心

爱心

专心

6

∴顶点 A 坐标为(3,3). …………………………3 分 (说明:可用对称轴为 x = ? (2)设直线 AB 解析式为 y=kx+b. ∵A(3,3),B(6,0), ∴?

b ,求 a 值,用顶点式求顶点 A 坐标.) 2a

? 6k + b = 0 ? 3k + b = 3

解得 ?

? k = ?1 , ?b=6

∴ y = ?x + 6 .

∵直线 l ∥AB 且过点 O, ∴直线 l 解析式为 y = ? x . ∵点 p 是 l 上一动点且横坐标为 t , ∴点 p 坐标为( t , ?t ).…………………………4 分 当 p 在第四象限时(t>0),

S=S

AOB

+S

OBP

=12×6×3+ =9+3 t .

1 ×6× ?t 2

∵0<S≤18, ∴0<9+3 t ≤18, ∴-3< t ≤3. 又 t >0, ∴0< t ≤3.5 分 当 p 在第二象限时( t <0), 作 PM⊥ x 轴于 M,设对称轴与 x 轴交点为 N. 则

S = S梯形ANMP +S =

ANB

-S

PMO

1 1 1 [3+(-t)] (3 ? t ) + × 3 × 3 ? (?t )(?t ) 2 2 2 1 9 1 2 = (t ? 3) 2 + ? t 2 2 2
=-3 t +9. ∵0<S≤18, ∴0<-3 t +9≤18,
用心 爱心 专心 7

∴-3≤ t <3. 又 t <0, ∴-3≤ t <0.6 分 ∴t 的取值范围是-3≤ t <0 或 0< t ≤3. (3)存在,点 Q 坐标为(3,3)或(6,0)或(-3,-9).9 分 (说明:点 Q 坐标答对一个给 1 分)

用心

爱心

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8


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