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高中数学最新教材特级教师资料-对数函数


一、复习: 1、对数的概念: 如果a b = N ,那么数b叫做以a为底N 的对数,记作 log a N=b(a>0,a≠1) 2、指数函数的定义: 函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数 的定义域是 R. 回忆学习指数函数时用的实例 细胞分裂问题:细胞的个数y是分裂次数 x的函数:y = 2 x; 由对数的定义,这个函数可以写成对数 的形式: x =log 2 y, 即细胞分裂的次数 x 也是细胞个数 y 的函 数,如果用 x 表示自变量, y表示函数,这个 函数就是: y=log 2 x 由反函数的概念可知,y=log 2 x与y = 2 x互 为反函数 一般地 函数 y = logax (a>0,且a≠1)是指 数函数 y = ax的反函数 对数函数的定义: 函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 ) 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数 的定义域是( 0 , +∞) 对数函数和指数函数互为反函数 用 描 点 法 画 对 数 函 数 y=log2x 和 y=log0.5x 的图象 (点击进入几何画板) y 0 1 ㈠ y = log2x x ㈡ y=log 0.5 x 图象特征 图像都在 y 轴右侧 图像都经过 (1,0) 点 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0) 点左边的纵坐标都小于 0; 图像㈡则正好相反 函数性质 定义域是( 0,∞) 1 的对数是 0 当底数a>1时; x>1 , 则logax>0 0<x<1 ,则 logax<0 当底数0<a<1时; x>1 , 则logax<0。 0<x<1 ,则logax>0 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a>1时,y=logax在(0,+∞) 是增函数 当0<a<1时,y=logax在 (0,+∞)是减函数 根据互为反函数的图象关于 直线 y=x 对称,作出对数函 数y=logax 的图象 (点击进入几何画板) 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) a>1 图 象 o y (1, 0) x y o 0<a<1 (1, 0) x (1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 质 x>1时, y>0 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 例1 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的 底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是 增函数,于是log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的 底数0.3, 即0<0.3<1,所以它在(0,+∞) 上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解:当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 增函数,于是log a5.1<log a

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