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高中数学最新教材特级教师资料-对数函数_图文

一、复习: 1、对数的概念: 如果a b = N ,那么数b叫做以a为底N 的对数,记作 log a N=b(a>0,a≠1) 2、指数函数的定义: 函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数 的定义域是 R. 回忆学习指数函数时用的实例 细胞分裂问题:细胞的个数y是分裂次数 x的函数:y = 2 x; 由对数的定义,这个函数可以写成对数 的形式: x =log 2 y, 即细胞分裂的次数 x 也是细胞个数 y 的函 数,如果用 x 表示自变量, y表示函数,这个 函数就是: y=log 2 x 由反函数的概念可知,y=log 2 x与y = 2 x互 为反函数 一般地 函数 y = logax (a>0,且a≠1)是指 数函数 y = ax的反函数 对数函数的定义: 函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 ) 叫做对数函数.其中 x是自变量,函数 的定义域是( 0 , +∞) 对数函数和指数函数互为反函数 用 描 点 法 画 对 数 函 数 y=log2x 和 y=log0.5x 的图象 (点击进入几何画板) y 0 1 ㈠ y = log2x x ㈡ y=log 0.5 x 图象特征 图像都在 y 轴右侧 图像都经过 (1,0) 点 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0) 点左边的纵坐标都小于 0; 图像㈡则正好相反 函数性质 定义域是( 0,∞) 1 的对数是 0 当底数a>1时; x>1 , 则logax>0 0<x<1 ,则 logax<0 当底数0<a<1时; x>1 , 则logax<0。 0<x<1 ,则logax>0 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a>1时,y=logax在(0,+∞) 是增函数 当0<a<1时,y=logax在 (0,+∞)是减函数 根据互为反函数的图象关于 直线 y=x 对称,作出对数函 数y=logax 的图象 (点击进入几何画板) 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) a>1 图 象 o y (1, 0) x y o 0<a<1 (1, 0) x (1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 质 x>1时, y>0 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 例1 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的 底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是 增函数,于是log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的 底数0.3, 即0<0.3<1,所以它在(0,+∞) 上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解:当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 增函数,于是log a5.1<log a5.9 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1>log a5.9 注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个 对数的大 小的, 对底数与1的大小关系未明 确指出时, 要 分情况对底数进行讨论来比 较两个对数的大小. 练习1: 比较下列各题中两个值的大小: < log108 ⑴ log106 < log0.54 ⑵ log0.56 > log0.10.6 ⑶ log0.10.5 ⑷ log1.51.6 > log1.51.4 练习2: 已知下列不等式,比较正数m,n 的大小: (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1) 答案: (1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n 例2 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . (2) log a1=0 ⑵ ∵ log3π>log31=0 log20.8<log21=0 ∴ log3π>log20.8 分析 : (1) log aa=1 解: ⑴ ∵ log67>log66=1 log76<log77=1 ∴ log67>log76 注: 例2是利用对数函数的单调性比较两个对数的大 小. 当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间 插入一 个已知数 ( 如1或0等 ) , 间接比较上述两 个对数的大小 练习3: 将0.32,log20.5,log0.51.5由小到大 排列,顺序是: log20.5< log0.51.5<0.32 课 堂 小 结 1、对数函数的定义 2、对数函数的图象和 性质 3、比较两个对数值的 大小 图 象 指数函数y=ax (a>0,a≠1) y y=ax y=ax (0<a<1) (a>1) 1 x o (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y y=logax (a>1) 1 x o y=logax (0<a<1) (1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y

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