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2005年高等数学(乙)2


中国科学院研究生院 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题

科目名称:高等数学(乙)
考生须知:
1.本试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸或草稿纸上一律无效;试题纸随答 题纸一起交回。 一、 (本题满分 50 分,每小题 5 分)
1. 求极限: lim ? 2. 求不定积分:
x

1 2 n ? ? + 2 +L+ 2 ?. 2 n →∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n? ?

∫ (1 ? x)
a

ln x

2

dx .
b

?a? ?b? ? x? 3. 设 y = ? ? ? ? ? ? ? ? ?b? ? x? ?a?

( a > 0, b > 0) ,求 y ′ .

4. 求 过 点 M 0 (2, 2,1) , 既 与 直 线 L0 :

x ?1 y +1 z ?1 平行、又与平面 = = 4 8 5

π 0 : x + y + z + 1 = 0 垂直的平面方程。
5. 求方程 y ′ =


y y + tan 的通解。 x x

6. 判断级数

a nn! ∑ n n (a > 0) 的敛散性。 n =1

7. 已知函数 f(x)和 g(x)在点 x=0 的某邻域内连续,且当 x→0 时,f(x)与 g(x)是两个等价的无

∫ 穷小,求极限 lim
x →0

x

0

f (t ) sin t dt
x 0





t g (t ) dt

8. 求 u = f (x2 + y2 + z2)的二阶偏导数 9. 计算二重积分

? 2u ? 2u 和 。 ?x 2 ?y?z

∫∫ (| x | + y )dxdy ,其中 D: |x| + |y| ≤1.
D

10. 将 f(x) = ln(1+ x + x2 + x3 + x4)展开为幂级数。

科目名称:高等数学(乙)

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二、 (本题满分 10 分)设

2 f ( kx ) ln( x 2 + 1) 是 f(x)的一个原函数, k ≠ 0, 求∫ dx 。 1 x k

三、 (本题满分 10 分)计算 I =


c

ydx ? xdy ,其中 c 为: x2 + y2

(1) ( x ? 1) + ( y ? 1) = 1 的逆时针方向;
2 2

(2) 正方形边界 x + y = 1 的逆时针方向。

ax + b ? ,x ≠1 ? 在 x=1 处连续,确定 a, b . 四、 (本题满分 10 分)设 f ( x ) = ? 8 x + 1 ? x + 8 ? 6, x =1 ?
五、 (本题满分 12 分)计算定积分




3

?2

| x 2 ? 2 x ? 3 | dx 。

六、 (本题满分 12 分)求幂级数

∑ ln(1 +
n =1

1 n ) x 的收敛域。 n

七、本题满分 8 分) f(x)在[0,1]上连续, ( 设 (0,1)内可导,f (1) = 2 使得 f ′(ξ ) = 0 。



1 2

0

f ( x )dx , 求证: ξ ∈ 0, ? ( 1)

八、 (本题满分 12 分)求初值问题 y ′′ + 2 y ′ + y = xe , y |x =0 = 0, y ′ |x =0 = 0 的解。
x

? x = 3t 2 + 2t + 3 dy 确定的函数,求 。 九、 (本题满分 10 分)设 y = y(x) 是由方程组 ? y dx t =0 ? e sin t ? y + 1 = 0
十、 (本题满分 10 分)某专卖店销售两种同类产品。甲产品成本价为每件 50 元,乙产品成 本价为每件 60 元。根据经验,当甲产品售价为每件 x 元,乙产品售价为每件 y 元时, 每天可卖出甲产品 100 ? 6 x + 5 y 件,乙产品 110 + 5 x ? 5 y 件。问专卖店应如何确定售 价 x 和 y,才能使其每天获利最大? 十一、 (本题满分 6 分)一个体积为 V1、表面积为 S 的雪堆,溶化速度为 中 a 是一个常数。假定在溶化期间雪堆的形状保持为 z = h ? h(t)。问一个高度为 h0 的雪堆全部溶化需多长时间?

dV = ?aS ,其 dt

x2 + y2 , z > 0 ,其中 h = h

科目名称:高等数学(乙)

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