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10-11-1概率统计考题A(理工完整版)


华中科技大学文华学院
2010~2011 学年度第二学期《概率统计》期末考试试卷
课程性质: (必修) 使用范围: (本科) 考试方式: (闭卷)

考试时间:2010 年 11 月 26 日

学号

专业

班级

学生姓名

成绩

一、填空题: (每小题 3 分,共 18 分)
1. 设 A,B,C 为随机事件,则事件“A,B,C 不都发生”可表示为 ABC . 2. 设 A,B 相互独立,且 P ( AB ) ?

1 1 2 2 , P ? AB ? ? , 则 P ( A) ? , P ( A ? B) ? . 3 6 3 3

3. 设随机事件 A、 相互独立, B 已知只有 A 发生的概率和只有 B 发生的概率都等于 1/4, 则 P(A)= 1/2 , P(B)= 1/2 。 4.设二维随机变量(X,Y)的分布律为 X -1 0 1 Y 0 1/12 2/12 2/12 1 则 P{ X ? Y ? 1} ?
2 2

3/12 7/12 .

2/12

2/12

5. 若 X ? N ? 2, 3? ,Y ? N ? 4,1? , 且 X 与 Y 相互独立,则 P ( X ? Y ? 2) ? 1/2. 6.设随机变量 X,Y 相不相关,且 X ~ B ? 4,0.5? ,Y ? E ? 2? , 则

E ? X ? 2Y ? 1? ? 2

, D ? X ? 2Y ? 1? ?

3

, P? X ?Y ? ?

0



二、 选择题: (每小题 3 分,共 18 分)
1.设 A, B 为随机事件,且 P ? B ? ? 0, (A) P ? A ? B? ? P ? A? (C) P ? A ? B? ? P ? A?

P ? A B ? ? 1 ,则必有

( D )

(B) P ? A ? B? ? P ? B? (D) P ? A ? B? ? P ? B?

2. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x), 且 f ? ? x ? ? f ? x ? ,F(x)是 X 的分布函数, 则对任 意实数 a,有( B )

( A) F ( ?a) ? 1 ? ? f ( x)dx ,
0

a

( B ) F ( ?a ) ?

a 1 ? ? f ( x )dx , 2 0

1

(C ) F ( ?a ) ? F (a ) ,

( D) F ( ?a ) ? 2F (a) ? 1.

3. 设二维随机变量 ? X , Y ? 的分布律为 X Y 0 1 0 0.4 1

a
0.1 ( C ) (B) a ? 0, b ? 0.5 (D) a ? 0.25, b ? 0.25

b

若随机变量 X 与 Y 相互独立,则有 (A) a ? 0.2, b ? 0.3 (C) a ? 0.1, b ? 0.4

2 2 4. 设随机变量 X 服从正态分布 N ?1 , ? 1 ,随机变量 Y 服从正态分布 N ? 2 , ? 2 ,且

?

?

?

?

P ? X ? ?1 ? 1? ? P ? X ? ?2 ? 1? ,则必有
(A) ? 1 ? ? 2 (B) ? 1 ? ? 2

( A )

(C) ?1 ? ?2 (D) ?1 ? ?2 (B) ?? 是一个随机变量; (D)当 n 越大, ?? 的值可任意靠近 ? 。
2

5. 设 ? 为总体 X 的未知参数, ? 的估计量是 ?? ,则下面结论正确的是( B ) (A) ?? 是一个数,近似等于 ? ;

? (C) ?? 是一个统计量,且 E?=? ;

6. 设 X1 , X 2 ,?, X n ? n ? 2 ? 为来自总体 N ? 0,1? 的简单随机样本,S 为样本方差, 则下 面结论正确的是( A ) (A) (n ? 1)S ?
2

? 2 ? n ? 1?

(B) (n ? 1)S ?
2

? 2 ?n?

(C) nS ?

2

? 2 ? n ? 1?

(D) nS ?

2

? 2 ? n?

三·计算题: (共 64 分)
1.两台车床加工同样的零件,第一台的废品率为 0.04,第二台的废品率为 0.07,加工出 来的零件混放,并设第一台加工的零件数是第二台的 2 倍。现任取一零件,求 (1)取到合格品的概率是多少?(2)如果取到废品,它是第一台车床加工的概率是多少? 解:记 Ai={取到第 i 台车床加工的零件},i=1,2, B={取到废品},

2 1 P( B ) ? P( A1 ) P( B / A1 ) ? P( A2 ) P( B / A2 ) ? ? 0.04 ? ? 0.07 ? 0.05 3 3 P( B) ? 1 ? 0.05 ? 0.95 3 P( A1B ) P( A1 ) P( B / A1 ) 2 ? 0.04 8 (2) P( A1 / B) ? ? ? ? P( B ) P( B ) 0.05 15
(1) 2、设连续型随机变量 X 的分布函数为

2

? A ? Be?2 x , F ( x) ? ? 0, ?  
试求:(1) A, B 的值; (2) P(?1 ? X ? 1) ; 解: (1)? F (?? ) ? lim ( A ? Be
x ? ?? ?2 x

x?0 x?0

(3)概率密度函数 f (x) .

) ?1 ?A ?1

又? lim ( A ? Be ?
x ?0

?2 x

) ? F (0) ? 0 ? B ? ? A ? ?1

(2) P(?1 ? X ? 1) ? F (1) ? F (?1) ? 1 ? e ?2 (3) f ( x) ? F ' ( x) ? ?

? 2e ?2 x , x ? 0 , x?0 ?0

3. 设二维随机变量 ? X , Y ? 的分布律为 X Y 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1

(1)求 X , Y 的边缘分布; (2) 求 F ?0,2? ; (3) 判断 X , Y 是否独立. 解: (1) X,Y 的概率分布分别为: (2) F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7. (3) X,Y 不独立 4、设二维随机变量 ? X , Y ? 的概率密度为

?? x, 0 ? x ? y ? 1 f ? x, y ? ? ? 其他 ? 0,
求(1)

? 的值;
? ?

(2) 计算 P?X ? Y ? 1? .

解:(1) 由

?? ??

? ? f ? x, y ? dxdy ? 1 ,知 ? ? 6 ;
x ? y ?1

(2)

P ? X ? Y ? 1? ?

1 ?? f ? x, y ? dxdy ? ? dx ? 6 xdy ? 4 .
0 x

1 2

1? x

5、设随机变量 X 的概率密度为

?ax2 ? bx ? c, f ( x) ? ? ?0, 其它 已知 EX=0.5, DX ? 0.15,求系数 a, b, c 。

0 ? x ? 1;

3

解 即 又

? ? f ( x)dx ? 1,
??

?

? ? (ax2 ? bx ? c)dx ? 1
0

1

1 1 a ? b?c ?1 3 2
? 1 1 1 1 EX ? ? xf ( x)dx ? ? x(ax 2 ? bx ?)dx , ? a ? b ? c ? 0.5 ?? 0 4 3 2 1 1 1 1 DX ? Ex 2 ? ( EX ) 2 ? ? x 2 (ax 2 ? bx ? c)dx ? 0.5 2 , ? a ? b ? c ? 0.4 0 5 4 3

(1) (2) (3)

解方程组(1),(2),(3)得

a ? 12, b ? ?12, c ? 3

6、一个复杂的系统,由 100 个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间。每个部 件损坏的概率为 0.1,为使整个系统起作用,至少需要 85 个部件工作,求整个系统工作的 概率。 0 解 设 X 表示整个系统中处于工作状态的部件数,由题设 X 服从 B(1 0 ,0 .9) ,由德 莫佛-拉普拉斯定理

P( X ? 85) ? 1 ? P( X ? 84) ? ? 1 ? P? ? ? ? ? 1 ? ?? ? ?
即系统工作的概率为 0.977

X ? 100? 0.9 100? 0.9 ? 0.1

?

84 ? 100? 0.9 ? ? ? 100? 0.9 ? 0.1 ?

84 ? 100? 0.9 ? ? ? ? (2) ? 0.977 ? 100? 0.9 ? 0.1 ?

补充题
三、证明题(每题 5 分,共 10 分) 1、 X 1 , X 2 为来自总体 X 的样本,证明当 a ? b ? 1 时, aX1 ? bX 2 为总体均值 E ( X ) 的 无偏估计。 2、设 X , Y 是相互独立的随机变量,它们分别服从参数为 ?1 , ? 2 的泊松分布,证明

Z ? X ? Y 服从参数为 ?1 ? ?2 的泊松分布。

4


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