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高中三角函数公式总表[1]

三角公式总表 nπR ⒈L 弧长= ? R= 180 ⒉正弦定理:

S 扇=

1 1 n? ? R 2 LR= R2 ? = 2 2 360

b c a = = = 2R(R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C
2 2 2 2 2 2 b =a +c -2ac cos B c =a +b -2ab cos C

2 2 2 ⒊余弦定理: a =b +c -2bc cos A

cos A ?
⒋S⊿=

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

1 1 1 1 abc 2 a ? ha = ab sin C = bc sin A = ac sin B = =2R sin A sin B sin C 2 2 2 2 4R

=

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin B 2 sin C 2 sin A
1 ( a ? b ? c ) , r 为三角形内切圆半径) 2 y sin ? x cos? ? cos? ? csc ? = = sin ? ? sec ? ② ctg? ? ? x cos ? y sin ? y ? cos ? ? tg? r x ? sin ? ? ctg ? r
④ sec ? ? ⑥ csc ? ?

(其中 p ?

⒌同角关系: ⑴商的关系:① tg? =

③ sin ? ? ⑤ cos ? ?

r 1 ? ? tg? ? csc ? x cos ?

r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc ? ? cos? ? sec ? ? tg? ? ctg? ? 1 ⑶平方关系: sin
2

? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tg 2? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1
a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(其中辅助角 ? 与点(a,b)在同一象限,且

⑷ a sin ? ? b cos? ?

tg? ?

b ) a

⒍函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 ) 振幅 A,周期 T=

2? 1 , 频率 f= , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ? ? T
1

⒎五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 ⒏诱导公试 sin -? - sin ? + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? cos + cos? - cos? - cos? + cos? + cos? tg

?
2

,? ,

3? ,2? 求出 x 与 y, 2
ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ?

依点 ? x, y ? 作图

- tg? - tg? + tg? - tg? + tg?

三角函数值等于 ? 的同名 三角函数 值,前面加上一个把 ? 看作锐角时, 原三角函数值的符号;即:函数名不 变,符号看象限

? -?
? +?
2? -? 2k ? + ?

sin

?

?

2

??

+ cos? + cos? - cos? - cos?

con + sin ? - sin ? - sin ? + sin ?

tg + ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ?

ctg + tg? - tg? + tg? - tg?

三角函数值等于 ? 的异名 三角函数 值,前面加上一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号 ; 即:函数名改 变,符号看象限

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

⒐和差角公式 ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③ tg (? ? ? ) ? ② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

④ tg? ? tg? ? tg (? ? ? )(1 ? tg? ? tg? )

⑤ tg (? ? ? ? ? ) ?

tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 其中当 A+B+C=π 时,有: 1 ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg?
ii). tg

i). tgA ? tgB ? tgC ? tgA ? tgB ? tgC ⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ? 2 sin ? cos? ?

A B A C B C tg ? tg tg ? tg tg ? 1 2 2 2 2 2 2

2tg? 1 ? tg 2?
2

② cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ?

1 ? tg 2? 1 ? tg 2?
⑤ cos ? ?
2

③ tg 2? ?

2tg? 1 ? tg 2?

④ sin 2 ? ?

tg 2? 1 ? cos 2? ? 2 1 ? tg ? 2

1 ? cos 2? 2

⒒三倍角公式: ① sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) ② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? ) ③ tg 3? ?

3tg? ? tg 3? ? tg? ? tg (60 ? ? ) ? tg (60 ? ? ) 1 ? 3tg 2?

⒓半角公式: (符号的选择由

? 所在的象限确定) 2
2

① sin ④ cos

?
2
2

??
?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin

?
2

?

1 ? cos ? 2
2

③ cos

?
2

??

1 ? cos? 2
2

?
2

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos

?
2

⑦ 1 ? sin ? ?

(cos ? sin ) 2 ? cos ? sin 2 2 2 2

?

?

?

?

⑧ tg

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:

sin ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2

⒕和差化积公式: ① sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

2 2 2 2 ??? ??? ??? ??? cos sin ③ cos ? ? cos ? ? 2 cos ④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin 2 2 2 2
⒖反三角函数:

cos

???

② sin ? ? sin ? ? 2 cos

???

sin

???

3

名称 反正弦函数

函数式

定义域

值域

性质

y ? arcsin x
y ? arccos x

?? 1,1? 增
?? 1,1? 减
R 增

? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

arcsin(-x)? -arcsinx 奇

反余弦函数 反正切函数

?0, ? ?
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

arccos(? x) ? ? ? arccosx arctg(-x)? - arctgx 奇

y ? arctgx

反余切函数

y ? arcctgx

R



?0, ? ?

arcctg(? x) ? ? ? arcctgx

⒗最简单的三角方程 方程 方程的解集

sin x ? a

a ?1 a ?1

?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

?x | x ? k? ? ?? 1? arcsin a, k ? Z ?
k

cosx ? a

a ?1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ? ?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ? ?x | x ? k? ? arctga, k ? Z ?
?x | x ? k? ? arcctga, k ? Z ?

a ?1
tgx ? a
ctgx ? a

4


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