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3.1回归分析的基本思想及其初步应用


第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 ? 假设某地区从2003年到 2012年的人均GDP(单位: 美元)数据如表: ? 能否根据提供的数据建立 一个合适的模型,预报 2014年(或2015年)的人 均GDP是多少? 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 人均GDP 1200 1510 1870 2210 2570 3000 3670 4500 5430 6100 1.通过对实际问题的分析,了解回归分析的必要性 与回归分析的一般步骤;了解线性回归模型与函 数模型的区别.(重点) 2.尝试作散点图,求回归直线方程. (重点) 3.能用所学的知识对实际问题进行回归分析,体会 回归分析的实际价值与基本思想;了解判断回归 模型拟合好坏的方法——相关指数和残差分析. (重点、难点) 探究点1 回归分析的基本思想 我们知道 , 函数关系是一种确定 性关系,而相关关系 是一种非确定性关系.回归分析(regression analysis) 是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法.在之前的学习中,我们对两个具有线性相关关系的 变量利用回归分析的方法进行了研究 ,其步骤为画散 点 图 ,求回归直线方程 ,并用回归直线方程进行预报. 对于一组具有线性相关关系的数据 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? , ???, ? x n , y n ? , 我们知道其回归直线y = bx + a的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 ?? b ? ?x i ?1 n n i ? x ?? yi ? y ? i ? ?x i ?1 ? x? , ?1? ? ? ? y ? bx, a ? 2? 2 1 n 1 n 其中x ? ? x i , y ? ? yi . ? x, y ? 称为样本点的 n i ?1 n i ?1 中心.你能推导出这两个计算公式吗 ? 例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体 重数据如表 3-1所示. 表 3-1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身 高 / cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体 重 / kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根 据女 大学生 的身高 预报 体重的 回归方 程 , 并预 报一 名身高 为 172 cm 的 女大学 生的 体重 . 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身 高为自变量 x , 体重为因变量 y .作散点图 (图3.1 - 1) : 从图 3.1 -1中可以看出 , 体重/kg 样本点呈条状分布 ,身高和体 重有比 较好的线性相关关系 , 因此可以用回归直线y = bx + a 身高/cm 来近似刻画它们之间的关系 . 图3.1 - 1 根据探究中的公式(1)和(2),可以得到 ? ? 0.849,a ? ? ?85.712. b ? ? 0.849x ? 85.712. 于是得到回归方程y ? = 0.849 是回归直线的斜率的估计值 ,说明身高 x b 每增加 1 个单位 ,体重 y 就增加 0.849 个单位 ,这表明 体重与身高具有正的线性相关关系 . 所以 ,对身高为 172 cm 的女大学生 , 由回归方程可以 预报其体重为 ? = 0.849 ? 172 - 85.712 = 60.316 ( kg ) . y 思考:身高为172 c

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