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2含绝对值不等式的解法


第二讲 含绝对值不等式与一元二次不等式
一、知识点回顾 1、绝对值的意义: (其几何意义是数轴的点 A(a)离开原点的距离 OA = a )

? a, (a > 0) ? a = ? 0, (a = 0) ?? a, (a < 0) ?
2、含有绝对值不等式的解法: (解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号) (1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式; (3)平方法:通常适用于两端均为非负实数时(比如 f ( x ) < g ( x ) ) ; (4)图象法或数形结合法; (5)不等式同解变形原理:即

x < a(a > 0) ? ?a < x < a ax + b < c(c > 0) ? ?c < ax + b < c f (x ) < g (x ) ? ? g (x ) < f (x ) < g (x )

x > a(a > 0) ? x > a或x < ?a ax + b > c(c > 0) ? ax + b > c或ax + b < ?c f ( x ) > g ( x ) ? f ( x ) > g ( x )或f ( x ) < g ( x )

a < f ( x ) < b(b > a > 0 ) ? a < f ( x ) < b或 ? b < f ( x ) < ? a
3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用不等式的形式。 4、 二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。 (见 P8) 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化,以及含字 母的有关问题的讨论,渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤: (1)将不等式化为标准形式 ax 2 + bx + c > 0(≥ 0 ) 或 ax 2 + bx + c < 0(≤ 0 ) (2)解方程 ax + bx + c = 0
2

(3)据二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象写出二次不等式的解集。

二、范例讲解: 范例讲解:
例 1、解下列不等式 (1) 2 ? 3 x > 2 ? 3 x (2) x 2 ? 9 ≤ x + 3 (3)|x-3|-|x+1|<1 )
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(1)解:原不等式等价于 2 ? 3 x < 0 ,所以不等式解集为 ? x x >

? ?

2? ? 3?

? x2 ? 9 ≥ 0 ? x2 ? 9 < 0 (2)解: (1)法一:原不等式 ? ? 2 ①或 ? ② 2 ?x ? 9 ≤ x + 3 ?9 ? x ≤ x + 3
由①解得 x = ?3或3 ≤ x ≤ 4 ,由②解得 2 ≤ x < 3 ∴原不等式的解集是 x 2 ≤ x ≤ 4或x = ?3

{

}

法二:原等式等价于 ? ( x + 3) ≤ x ? 9 ≤ x + 3 ? ?
2

? x ≤ ?3或x ≥ 2 ? ?3≤ x ≤ 4

? x = ?3或2 ≤ x ≤ 4

∴原不等式的解集是 x 2 ≤ x ≤ 4或x = ?3
2

{

}
2

3 法三:设 y1 = x ? 9 , y 2 = x + (x ≥ ?3) ,由 x ? 9 = x + 3 解得非曲直 x1 = 4, x 2 = ?3, x3 = 2 ,
在同一坐标系下作出它们的图象,由图得使 y1 ≤ y 2 的 x 的范围是 x = ?3或3 ≤ x ≤ 4 , y ∴原不等式的解集是 x 2 ≤ x ≤ 4或x = ?3

{

}

9 3

评析:数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。 (3)分析:关键是去掉绝对值 方法 1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义) ①当 x < ?1 时, x ? 3 < 0, x + 1 < 0 ∴ ? ( x ? 3) + ( x + 1) < 1 ②当 ? 1 ≤ x < 3 时 ∴ ? ( x ? 3) ? ( x + 1) < 1 ? x > ③当 x ≥ 3 时 ∴ 4<1

-3

o 3

x

? x ∈φ

1 1 ,∴ {x | < x < 3} 2 2
∴ {x | x ≥ 3}
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

( x ? 3) ? ( x + 1) < 1 ? -4<1 ? x ∈ R
综上,原不等式的解集为 {x | x > } 也可以这样写: 解:原不等式等价于 ①?

1 2

? x < ?1 ?? 1 ≤ x < 3 或② ? ?? ( x ? 3) + ( x + 1) < 1 ?? ( x ? 3) ? ( x + 1) < 1 ?x ≥ 3 , ?( x ? 3) ? ( x + 1) < 1

或 ③?

解①的解集为φ,②的解集为{x| ∴原不等式的解集为{x|x> 方法 2:数形结合

1 <x<3},③的解集为{x|x ≥ 3}, 2

1 } 2

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从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到 3 和-1 两点的距离之差小于 1 的点

新疆 王新敞
奎屯

1

O

1

2

3

x

∴原不等式的解集为{x|x>

1 } 2

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变式: (1)若 x + 2 + x + 1 > a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解:由几何意义可知, x + 2 + x + 1 的最小值为 1,所以实数 a 的取值范围为 (? ∞,1) 。 (2)数轴上有三个点 A、B、C,坐标分别为-1,2,5,在数轴上找一点 M,使它到 A、B、C 三点的距 离之和最小。 解:设 M(x,0) 则它到 A、B、C 三点的距离之和 f ( x ) = x + 1 + x ? 2 + x ? 5

? 3 x ? 6, x ≥ 5 ? x + 4, 2 ≤ x < 5 ? 即 f (x ) = ? ?? x + 8, ? 1 ≤ x < 2 ? ? 3 x + 6, x < ?1 ?
由图象可得:当 x = 2时f ( x )min = 6
2 2 2 例 2、解关于 x 的不等式 a x + b (1 ? x) ≥ [ ax + b(1 ? x)] , ( a ≠ b) 、

解:原不等式化为

(a 2 ? b 2 ) x + b 2 ≥ (a ? b) 2 x 2 + 2(a ? b)bx + b 2 ? ( a ? b) 2 ( x 2 ? x ) ≤ 0 ∵ a ≠ b ∴ ( a ? b) 2 > 0 ∴ x 2 ? x ≤ 0则0 ≤ x ≤ 1

故原不等式的解集为{x 0 ≤ x ≤ 1}
2

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变式: 变式:已知不等式 a x + b x + 1 ≥ 0的 解 集 为 { x ? 5 ≤ x ≤ 1}

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

求a、b的值
解:由题意可知 a < 0 且-5 和 1 是方程 ax + bx + 1 = 0 的两根
2

1 ? b ? ? = (?5) + 1 = ?4 ?a = ? ? ? a ? 5 ∴? ?? ? 1 = ?5 ?b = ? 4 ?a ? 5 ? ?
故 a, b 的值分别为 ?

1 4 ,? 5 5

新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

例 3、解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解:原不等式变形为 ax2+(a-2)x-2≥0. ①a=0 时,x≤-1; ②a≠0 时,不等式即为(ax-2) (x+1)≥0,

当 a>0 时,x≥ 由于

2 或 x≤-1; a

2 a+2 -(-1)= ,于是 a a 2 ≤x≤-1; a 2 . a 2 2 或 x≤-1;当-2<a<0 时, ≤x≤-1; a a 2 . a

当-2<a<0 时,

当 a=-2 时,x=-1; 当 a<-2 时,-1≤x≤

综上,当 a=0 时,x≤-1;当 a>0 时,x≥

当 a=-2 时,x=-1;当 a<-2 时,-1≤x≤

变式:解关于 x 的不等式 ( x ? 2)(ax ? 2) > 0 。 《走向高考》P11 考例 4。
2 例 4、已知抛物线 y = ( m ? 1) x + ( m ? 2) x ? 1( m ∈ R )

为何值时, 轴有两个交点? (1) 当 m 为何值时,抛物线与 x 轴有两个交点? (2) 若关于 x 的方程 ( m ? 1) x 2 + ( m ? 2) x ? 1 = 0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2, m 求 的取值范围。 (3) 如果抛物线与 x 轴相交于 A、 两点, y 轴交于 C 点, ? ABC 的面积等于 2, B 两点, 与 且 试确定 m 的 值。 解: 1) m ≠ 1且? > 0 ,得 m ≠ 0 且 m ≠ 1 ( (2)

1 x1
4 3 2

+

1 x2
2

= (m ? 2) 2 + 2(m ? 1) ≤ 2 ,得 0 < m < 1 或 1 < m ≤ 2
4 。 5

(3 ) m =

或m =

变式: 04 江苏高考)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: (
x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_______________________. {x x < ?2 或 x > 3} 例 5、已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5 的 x 的最大值为 3,求实数 a 的值,并解该不等式. 解:∵x≤3,∴|x-3|=3-x. 若 x2-4x+a<0,则原不等式化为 x2-3x+a+2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集,∴x2-4x+a<0 不成立. 于是,x2-4x+a≥0,则原不等式化为 x2-5x+a-2≤0.∵x≤3, 令 x2-5x+a-2=(x-3) x-m)=x2-(m+3)x+3m,比较系数,得 m=2,∴a=8. ( 此时,原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.
? x 2 ? x ? 2 > 0, ? 备 : 6、 例 关于 x 的不等式 ? 的整数解的集合为{-2}, 求实数 k 的取值范围. ?2 x 2 + 2k + 5)x + 5k < 0 ( ? 解:由 x2-x-2>0 可得 x<-1 或 x>2.

? 2 ? x ? x ? 2 > 0, ∵? 的整数解为 x=-2, ?2 x 2 + 2k + 5)x + 5k < 0 ( ? 又∵方程 2x2+(2k+5)x+5k=0 的两根为-k 和- ①若-k<- ②若-
5 . 2

5 ,则不等式组的整数解集合就不可能为{-2}; 2

5 <-k,则应有-2<-k≤3. 2

∴-3≤k<2. 综上,所求 k 的取值范围为-3≤k<2. 三、小结: 1、解关于绝对值的不等式,关键是理解绝对值的意义,掌握其基本类型。 2、解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义,结合数轴解决。 3、解一元二次不等式时,应当考虑相应的二次方程,根据二次项系数的符号确定不等式解集的形式, 当然还要考虑相应的二次方程根的大小。 4、解不等式几乎是每年高考的必考题,重点仍是含参数的有关不等式,对字母参数的逻辑划分要具体 问题具体分析,必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 四、作业《走向高考》P12


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