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710876 .com:高中数学 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案 新人教A版必修4

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课题 教 学 目 标 重点 难点 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 知识与技能 过程与方法 情感态度价值观 理解两个向量数量积坐标表示的推导过程, 能根据向量的坐标计算向量的模, 并推导平面内两点间的距离公式 能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直 能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 教学内容 1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a·b= . 即两个向量的数量积等于 . 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a⊥b? . 3.平面向量的模 (1)向量模公式: 设 a=(x1, y1), 则|a|=__________. (2)两点间距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2), → 则|AB|=_________________________. 4.向量的夹角公式 设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ , 则 cos θ =_______=________________. 探究点一 平面向量数量积的坐标表示 问题 已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎 样用 a 与 b 的坐标表示 a·b? 教学环节与活动设计 教 学 设 计 探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公 式 问题 1 若 a=(x,y),试用 x,y 表示|a|. 教学内容 教学环节与活动设计 探究点三 平面向量夹角的坐标表示 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2), θ 是 a 与 b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐 标表示可得: a·b cos θ = = . |a||b| 特别地,若 a⊥b,则有 ; 反之,若 ,则 a⊥b. 例如,(1)若 a=(3,0),b=(-5,5),则 a 与 b 的夹 角为_____. (2)已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 的 形状是_____三角形. 【典型例题】 例 1 已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求 a 的坐标;(2)若 c=(2,-1),求 a(b·c)及 (a·b)c. 解 (1)设 a=λ b=(λ ,2λ ) (λ >0),则有 a·b=λ +4λ =10, ∴λ =2,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2-2×1=0, a·b=1×2+2×4=10, ∴a(b·c)=0a=0, (a·b)c=10(2,-1)=(20,-10). 例 2 已知 a=(1,2),b=(1,λ ),分别确定实数 λ 的取值范围,使得:(1)a 与 b 的夹角为直角;(2)a 与 b 的夹角为钝角;(3)a 与 b 的夹角为锐角. 解 设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 a·b=(1,2)·(1,λ ) =1+2λ . (1)因为 a 与 b 的夹角为直角,所以 cos θ =0, 1 所以 a·b=0,所以 1+2λ =0,所以 λ =- . 2 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 cos θ <0 且 cos θ ≠ -1, 所以 a·b<0 且 a 与 b 不反向. 1 由 a·b<0 得 1+2λ <0,故 λ <- , 2 由 a 与 b 共线得 λ =2,故 a 与 b 不可能反向. 1? ? 所以 λ 的取值范围为?-∞,- ?. 2? ? (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 cos θ >0,且 cos θ ≠1, 所以 a·b>0 且 a,b 不同向. 1 由 a·b>0,得 λ >- ,由 a 与 b 同向得 λ =2. 2 - 教学内容 ? 1 ? 所以 λ 的取值范围为?- ,2?∪(2,+∞). ? 2 ? 例 3 已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,1), → 教学环节与活动设计 AD 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. 解 设 D 点坐标为(x,y), → → → 则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y -2), → → 教 学 设 计 ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ ,使BD=λ BC, 即(x-3,y-2)=λ (-6,-3). ?x-3=-6λ ? ∴? . ? ?y-2=-3λ ∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0. → → 又 ∵AD⊥BC ,∴ AD · BC = 0 ,即 (x - 2 , y + 1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0. 即 2x+y-3=0. ?x=1 ? 由①②可得? , ? ?y=1 → ∴|AD|= - 2 +2 = 5, 2 教 学 小 结 课 后 反 思 向量的坐标表示简化了向量数量积的运算. 为利用向量法解决平面几何问题以及解析几 何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它 普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂; 幸福是“春种一粒粟,秋收千 颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义 相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花 落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐 胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中, 我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我

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