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2017-2018学年上学期期末复习备考之精准复习模拟题高二数学(C卷)(苏教版)

2017--2018 高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷 3
一、填空题
1.命题“若 ? ?

?
4

,则 tan? ? 1 ”的逆否命题是__________.

【答案】若 tan? ? 1 ,则 ? ?

?
4

【解析】? 命题的条件: ? = 答案为若 tan? ? 1 ,则 ? ?
2

?
4

,结论是: tan? ? 1 , ? 则逆否命题是: tan? ? 1 ,则 ? ?

?
4

,故

?
4

.

2.抛物线 y =2mx(m>0)的焦点到双曲线 x ? 1 的一条渐近线的距离为 3,则此抛物线的方程为_________ 【答案】 y 2 ? 20 x

3. 已知 α ,β 表 示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“ α ⊥β ”是“m⊥β ”的______ 条件. (请在“充要、充分不必要、 必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空). 【答案】必要不充分 【解析】当“α ⊥β ”时,m 与 β 的关系可以是相交、平行、垂直,故“m⊥β ”不一定成立;反之,当

m⊥β 时,又 m ? ? ,故有 α ⊥β ,即当“m⊥β ”时,必有“α ⊥β ” 。综上可得“α ⊥β ”是“m⊥β ”
必要不充分条件。 答案:必要不充分 4.下列有关命题的说法中正确的有________(填序号). ①命题“若 ②“ ,则 ”的否命题为“若 ,则 ” ;

”是“

”的必要不充分条件; ”的 否定是“? ∈R,均有 ”的逆否命题为真命题. ” ;

③命题“? ∈R,使得 ④命题“若 【答案】④ 【解析】对于命题①命题“若 ,则

,则

”的否命题为“若

,则

” ,故该命题是错误的;

对于命题② “ ∈R,使得 由于命题“若

”是“

”的充分不必要条件, 则该命题也是错误的;对于命题③命题“? ” ,所以该命题也是错误的;对于命题④

”的否定是“? ∈R,均有 ,则

”是真命题,所以由 原命题与其逆否命题同真假可知该命题的逆否命

题为真命题,故该命题是的真命题,应填答案④. 5.已知函数 f ? x ? ? lnx ? 【答案】 ?3e

m ? m ? R ? 在区间 ?1, e? 取得最小值 4,则 m ? x



考点:导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想. 【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函 数在闭区间 1, e 取得最小值 4 这一条件和信息,先对函数 f ? x ? ? lnx ? 论参数 的参数

? ?

m ? m ? R ? 进行求导,进而分类讨 x

的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件 的值,从而写出符合题设条件的参数 条件 且 是 的值. 的充分不必要条件,则 a 的取值范围可以是______ .

6.已知条件 【答案】 【解析】∵ 条件,则 ,∴

,∴ ,故答案为

或 .

,若



的充分不必要条件,则 是 的充分不必要

7.已知函数 f _____________. 【答案】 a ? 1 【解析】 f ' ? x ? ?

? x? ? l n x?

1 2 a x ?? a?1 ? 2

x?1 在 x ?1 处取得极小值,则实数 a 的取值范围是

ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? ax ? 1?? x ? 1? 1 ,当 a ? 0 时, f ?1? 为极大 ? ax ? ? a ? 1? ? ? x x x

值,矛盾;当 0 ? a ? 1 时 f ?1? 为极大值;当 a ? 1 时,无极值;当 a ? 1 时 f ?1? 为极小值,故取值 范围为 a ? 1 . 8.点 P 是曲线 y ? x2 ? lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 【答案】 ?1,0

?

?

2 【解析】先求与直线 y ? x ? 2 平行的曲线的切线,设切点为 a, a ? lna

?

?

,则由

y? ? 2 x ?

1 1 ? 2a ? ? 1, a ? 0 ? a ? 1 ,所以切点为 ?1,1? ,因此点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为 x a

1 ?1 ? 2 2

? 2.

9.已知定义在 ? 0, ??? 上函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 ,且 f ? 2? ? 0 ,则不等式 xf ? x ? ? 0 的解集 为________. 【答案】 ? 2, ???

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且仅有三个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 则实数 c 的值是______. 【答案】±13;
2 2 (0, 0) 【解析】由圆的方程 x ? y ? 4 ,可得圆心坐标为 ,圆半径 r ? 2 ,∵圆心到直线12 x ? 5 y ? c ? 0

2

2

的距离 d ? 1 ,∴ d ?

c 12 ? ? ?5?
2 2

?

c 13

? 1 ,即 c ? 13 ,

解得 c ? ?13 ,故答案为±13. 点睛:此题考查了直线与圆的位置关系,要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径,灵活运用

点到直线的距离公式解决问题; 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径 r , 利用点到直线的距离公式表示出 圆心到已知直线的距离 d ,根据题意 d ? 1 列出关于 c 的方程,求出方程的解即可得到 c 的值. 11. 函数 【答案】3

,对任意的

,总有

,则实数 的取值为_____________.

12. 已知 A(-1,0),B(2,0),直线 l:x+2y+a=0 上存在点 M,使得 MA +2MB =10,则实数 a 的取值范围为_________ 【答案】 ? ?1 ?

2

2

? ?

2 15 2 15 ? , ?1 ? ? 3 3 ?

2 2 2 2 2 2 【解析】设 M ? x, y ? ,由 MA ? 2MB ? 10 得 ? x ? 1? ? y ? 2 ?? x ? 2 ? ? y ? ? 10

?

?

整理得 3x ? 6 x ? 3 y ? 1 ,由题意可得直线 l:x+2y+a=0 与 3x ? 6 x ? 3 y ? 1有交点,联立得
2 2 2 2

15 x 2 ? ? 24 ? 6a ? x ? 3a 2 ? 4 ? 0 ?? ? ? 24 ? 6a ? ? 60 3a 2 ? 4 ? 0 整理得 3a 2 ? 6a ? 17 ? 0 解得
2

?

?

?1 ?

2 15 2 15 ? a ? ?1 ? 3 3
? ? 2 15 2 15 ? , ?1 ? ? 3 3 ?

故答案为 ? ?1 ?

点睛:本题考查了直接法求 M 轨迹,又点 M 在直线 l 上,所以问题转化为直线与求得的 M 轨迹方程有交 点, 即 ? ? 0 解不等式即得解,计算量大些,要注意准确性.

13. 若不等式 ? 2tx ? t ? 1 x ? 2 ? lnx ? 0 对任意 x ? ? 0, ??? 恒成立,则实数 t 的值______.

?

2

?

2

?

?

【答案】 ?1
2 2 2 2 【解析】当 x ? ? 0,1 时 lnx ? 0 ? 2tx ? t ? 1 x ? 2 ? 0 ,记 g ? x ? ? 2tx ? t ? 1 x ? 2 ?

?

?

?

?

?

g ? 0? ? 0 { g ?1? ? 0 ? t 2 ?1 ? g? ??0 ? 4t ?
g ?1? ? 0

? ?1 ? t ? 3 ;当 x ? ?1, ?? ? 时 lnx ? 0 ? 2tx 2 ? ? t 2 ? 1? x ? 2 ? 0 ?

{ ? t 2 ?1 ? ? t ? ?1 或 t ? 3 ,综上 t ? ?1 . g? ??0 ? 4t ?
14.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 左、右焦点分别为 F1 , F2 若椭圆 C 上存在点 P ,使得 PF1 ? 2e PF2 (e 为椭圆的 a 2 b2

离心率,则椭圆 C 的离心率的取值范围为__ _______. 【答案】 ?

? 17 ? 3 ? ,1? ? ? 4 ?

【解析】由题意得 {

PF1 ? PF2 ? 2a PF1 ? 2e PF2

,解得 PF2 ?

2a , 2e ? 1

∵ a ? c ? PF2 ? a ? c ,即 a ? c ? ∴1 ? e ? 整理得 {

2a ? a?c, 2e ? 1

2 ? 1? e , 2e ? 1

2e2 ? e ? 1 ? 0 2e2 ? 3e ? 1 ? 0

,解得 e ?

17 ? 3 ? 17 ? 3 或e ? (舍去) , 4 4

又 0 ? e ? 1, ∴

? 17 ? 3 ? 17 ? 3 ,1? ? e ? 1 。故椭圆 C 的离心率的取值范围为 ? ?。 4 ? 4 ? ? 17 ? 3 ? ,1? ?。 4 ? ?

答案: ?

点睛:求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求 a, b, c 的值,由 e2 ?

c 2 a 2 ? b2 ?b? ? =1 ? ? ? 直接求.(2)列出含有 a, b, c 的方程(或不等式),借助 2 2 a a ?a?

2

于 b2=a 2-c 2 消去 b,然后转化成关于 e 的方程(或不等式 )求解.

二、解答题
15. 已知:命题 p : 命题 q :函数 f ? x ? ?

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, m ?1 m ? 3
1 3 1 2 x ? mx ? x ? 1在 R 上单调递增. 3 2

(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 取值范围; (2)若命题 p 和命题 q 中有且只有一个为真命题,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1)

1? ;(2) ? ?3, ? 2? ? ?1, 2? . ? ?3,

试题解析: (1)∵命题 p 为真命题 ∴ ? m ?1?? m ? 3? ? 0 ,解得 ?3 ? m ? 1 ∴实数 m 的取值范围为 ? ?3, 1? . (2)当命题 q 为真命题时有 f ? ? x ? ? x ? mx ? 1 ? 0 恒成立
2
2 ∴ ? ? m ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2

若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,则有 { 解得 ?3 ? m ? ?2 ; 若命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,则有 {

?3 ? m ? 1 m ?2或m 2

m ? ?3或m ? 1 ?2 ? m ? 2

解得 1 ? m ? 2 . 故所求实数 m 的取值范围为 ? ?3, ? 2? ? 1, 2 .

?

?

16. 已知 :方程

表示双曲线; :关于 x 的方程

有实根;如果

复合命题“ 或 ”为真, “ 且 ”为假,求 m 的取值范围.

【答案】1<m<3 或-2≤m≤ 【解析】试题分析: 首先确定 p,q 均为真的实数 m 的取值范围,然后结合命题的运算讨论实数 m 的取值范围即 可.

17 . 某 地 方 政 府 要 将 一 块 如 图 所 示 的 直 角 梯 形 ABCD 空 地 改 建 为 健 身 娱 乐 广 场 . 已 知 AD//BC,

AD ? AB, AD ? 2BC ? 2 3 百米, AB ? 3 百米,广场入口 P 在 AB 上,且 AP ? 2 BP ,根据规划,过
点 P 铺设两条相互垂直的笔直小路 PM,PN(小路的宽度不计) ,点 M,N 分别在边 AD,BC 上(包含端点) ,

?PAM 区 域 拟 建 为 跳 舞 健 身 广 场 , ?PBN 区 域 拟 建 为 儿 童 乐 园 , 其 它 区 域 铺 设 绿 化 草 坪 , 设

?APM ? ? .
(1)求绿化草坪面积的最大值; (2)现拟将两条小路 PNM,PN 进行不同风格的美化,PM 小路的美化费用为每百米 1 万元,PN 小路的美化 费用为每百米 2 万元,试确定 M,N 的位置,使得小路 PM,PN 的美化总费用最低,并求出最小费用.

【答案】(1) 绿化草坪面积的最大值为 ? ? 4 万元.

?9 3 ? ? 2? ? 平方百米;(2) AM ? 2, BM ? 1 时总美化费用最低为 2 ? ?

【解析】试题分析: (1)先求得 S?PMA ? 2tan? , S?PMA ?

1 9 3 ? 1 1 ? ?S ? ? ? 2tan? ? ? 2tan? 2 ? 2 tan? ?

2 1 ?? ? ? ? (2)先求得 PM ? , PN ? ? ? ? , ? ,再利用均值不等式求得正解; cos? sin? ?6 3?
总美化费用为 y ?

2 2 ?? ? ? ? ,? ? ? , ? ,再利用导数工具求得正解. cos? sin? ?6 3?
AM ? tan? ,得 AM ? 2tan? , AP

试题解析: (1)在 Rt ?PMA 中, 所以 S ?PMA ?

1 ? 2 ? 2tan? ? 2tan? 2

由 ?APM ? ?MPN ? ?BPN ? ? , ?APM ? ? , ?MPN ?

?
2

BP 1 ? tan? ,得 BN ? , BN tan? 1 1 1 ? 所以 S ?PMA ? ?1? 2 tan? 2tan? 1 所以绿化草坪面积 S ? ? AD ? BC ? ? AB ? S ?PAM ? S ?PBN 2 1 1 1 ? 2 3 ? 3 ? 3 ? 2tan? ? 2 2 tan?
在 Rt ?PNB 中,

?

?

?

9 3 ? 1 1 ? ? ? 2tan? ? ? 2 2 tan? ? ?

?? ? ? ? ?? , ? ?6 3?

又因为 2tan? ?

1 1 1 1 ? ? 2 2tan? ? ?2 2 tan? 2 tan?
1 1 ?? ? ? ,即 tan? ? 。此时 ? ? ? , ? 2tan? 2 ?6 3?

当且当 2tan? ?

所以绿化草坪面积的最大值为 ?

?9 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 平方百米. ? ?
AP 2 ? cos? ,得 PM ? , PM cos?

(2)方法一:在 Rt ?PMA 中,

由 ?APM ? ?MPN ? ?BPN ? ? , ?APM ? ? , ?MPN ? 在 Rt ?PNB 中,

?

2

BP 1 ? sin? ,得 PN ? , PN sin?

所以总美化费用为 y ?

2 2 ?? ? ? ? ,? ? ? , ? cos? sin? ?6 3?

3 3 2sin? 2cos? 2 sin ? ? cos ? y? ? ? ? cos2? sin 2? sin 2? cos 2?

?

? ?

?

2 ? sin? ? cos? ? sin 2? ? sin? cos? ? cos2? sin 2? cos2?

?

令 y? ? 0 得 ? ?

?
4

列表如下

?

? 6

?? ? ? ? , ? ?6 4?
-

? 4
0

?? ? ? ? , ? ?4 3?
-

? 3

y?

y

4?

4 3

单调递减

4

单调递增

4?

4 3

时,即 AM ? 2, BM ? 1 时总美化费用最低为 4 万元。 4 AP 2 ? cos? ,得 PM ? 方法二:在 Rt ?PMA 中, , PM cos? 由 ?APM ? ?MPN ? ?BPN ? ? , ?APM ? ? , ?MPN ?

所以当 ? ?

?

?

2

BP 1 ? sin? ,得 PN ? 在 Rt ?PNB 中, , PN sin?
所以总美化费用为 y ?

2 2 ?? ? ? ? ,? ? ? , ? cos? sin? ?6 3?

y?

2 ? sin? ? cos? ? 2 2 ? ? cos? sin? sin? cos?

令 t ? sin? ? cos? , t ? ?

?1 ? 3 ? t 2 ?1 , 2 ? 得 sin? cos? ? 2 ? 2 ?

所以 y ?

4t 2 ? 4 4t ? , y ? ? ?0 2 t 2 ?1 t 2 ?1

?

?

所以 y ?

?1 ? 3 ? 4t 在t ?? , 2 ? , 上是单调递减 t ?1 ? 2 ?
2

所以当 t ?

2, ? ?

?
4
2

时,即 AM ? 2, BM ? 1 时总美化费用最低为 4 万元。
2 2

2 18.已知圆 M : ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 ,圆 N : x ? ? y ? 8 ? ? 40 ,经过原点的两直线 l1 , l2 满足 l1 ? l2 ,

且 l1 交圆 M 于不同两点交 A, B , l2 圆 M 于不同两点 C , D ,记 l1 的斜率为 k (1)求 k 的取值范围; (2)若四边形 ABCD 为梯形,求 k 的值. 【答案】 (1) 2 ? 3 ? k ?

15 (2) k ? 1 或 ?3 . 3

【解析】试题分析: (1)首先根据条件设出直线 l1 , l2 的方程,然后利用点到直线的距离公式求得 k 的取值 范围, ; (2)首先设出点 A, B, C , D 的坐标,然后分别将 l1 , l2 的方程代入圆的方程,从而利用韦达定理, 结合梯形的性质求得 k 的值. 试题解析: (1)显然 k≠0,所以 l1:y=kx,l2:y=-x. 依题意得 M 到直线 l1 的距离 d1=<, 整理得 k -4k+1<0,解得 2-<k<2+; 同理 N 到直线 l2 的距离 d2=<,解得-<k<, 所以 2-<k<. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 将 l1 代入圆 M 可得(1+k )x -4(1+k)x+6=0, 所以 x1+x2=,x1x2=; ?7 分 将 l2 代入圆 N 可得:(1+k )x + 16kx+24k = 0, 所以 x3+x4=-,x3x4=. 由四边形 ABCD 为梯形可得,所以=, 所以(1+k) =4,解得 k=1 或 k=-3(舍) .
2 2 2 2 2 2 2

考点:1、点到直线的距离公式;2、直线与圆的位置关系. 19.已知函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx
x 2

? k ? R? , g ? x ? ? alnx ? a ? R? .

(1)当 a ? 1 时,求 y ? xg ? x ? 的单调区间; (2)若对 ?x ? 1, e ,都有 g ? x ? ? ?x ? ? a ? 2? x 成立,求 a 的取值范围;
2

? ?

(3)当 k ? ?

?3 ? ,1? 时,求 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值. ?4 ? ?1 ?e ? ?

k 3 【答案】 (1) ? , ?? ? (2) a ? ?1 (3) ? ? f ? x ?? ? max ? ? k ? 1? e ? k

试题解析: ⑴ a ? 1 时, y ? xlnx , y? ? lnx ? 1,令 y? ? 0 ,得 lnx ? ?1 ,解得 x ? 所以函数 y ? xlnx 的单调增区间为 ? , ?? ? .

1 . e

?1 ?e

? ?

x2 ? 2 x ⑵由题意 alnx ? ? x ? ? a ? 2? x 对 1 ? x ? e 恒成立, 因为 1 ? x ? e 时, x ? lnx ? 0 , 所以 a ? x ? lnx
2

对 1 ? x ? e 恒成立.记 h ? x ? ?

? x ? 1? ? x2 ? 2 x ? x ? 2 ?1? lnx ? ? ? ? 0 对 1 ? x ? e 恒成立, ,因为 h? ? x ? ? 2 x ? lnx ? x ? lnx ?

当且仅当 x ? 1 时 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 1, e 上是增函数, 所以 ? ? h ? x ?? ?
min

? ?

? h ?1? ? ?1 ,因此 a ? ?1 .

p? ? x ? ? xe x ? 3 x 2 ? x e x ? 3x ,记 r ? x ? ? e x ? 3x , r? ? x ? ? ex ? 3 ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立,
所以 r ? x ? 在 ?0,1? 上单 调减函数, r ? 0? ? 1 ? 0 , r ?1? ? ?2 ? 0 , 所以 ?x0 ? ? 0,1? , 使 e x0 ? 3x0 ? 0 , 当 0 ? x ? x0 时, p? ? x ? ? 0 , p ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上是单调增函数; 当 x0 ? x ? 1 时, p? ? x ? ? 0 , p ? x ?
在 ? x0 ,1? 上是单调减函数.又 p ? 0? ? p ?1? ? 0 ,所以 p ? x ? ? 0 对 0 ? x ? 1 恒成立,
x 3 k 3 即 ? x ?1? e ? x ? ?1 对 0 ? x ? 1 恒成立,所以 ? ? f ? x ?? ? max ? ? k ? 1? e ? k .

?

?

点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题: (1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题; (2)若 f ? x ? ? 0 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 f ? x ?min ? 0 , 若 f ? x ? ? 0 恒成立,转化为 f ? x ?max ? 0 ; (3)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,可转化为 f ? xmin ? ? g ? x ?max . 20.如图,已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)过定点 B ?1,0 ? 作直线 l 与椭圆 C 交于点 P, Q (异于椭圆 C 的左、右顶点 A 1, A 2 )两点,设直线 PA 1 与直线 QA2 相交于点 M . ①若 M ? 4, 2? ,试求点 P, Q 的坐标; ②求证:点 M 始终在一条直线上.

x2 y 2 4 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 l 的方程为 x ? ,焦距为 2 3 . 2 a b 3

【答案】 (1)点 P 的坐标为 ?

? 10 12 ? ?6 4? , ? , Q 的坐标为 ? , ? ? (2)见解析. ? 13 13 ? ?5 5?

【解析】试题分析: (1)由椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,b,进而得到椭圆方程; (2)①求得直线 MA1 的方程和以 MA2 的方程,代入椭圆方程,求得交点 P,Q 的坐标;②设点 M(x0,y0) , 求得直线 MA1 的方程和以 MA2 的方程,代入椭圆方程,求得交点 P,Q 的坐标,结合 P,Q,B 三点共线,所 以 kPB=kQB,化简整理,可得 x0 ? 4 ? 0 或 上.

x0 2 ? y0 2 ? 1 .分别考虑,即可得到点 M 始终在一条定直线 x=4 4

② 设 点 M ? x0 , y0 ? , 由 题 意 , x0 ? ?2 . 因 为 A ? , A2 ? 2,0? , 所 以 直 线 MA1 的 方 程 为 1 ? ?2, 0

? y ? y0 y? ? x ? 2 ? ,代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ,得 x 2 ? 4 ? 4 ? 0 ? x ? 2 ?? ? 0 , x0 ? 2 ? x0 ? 2 ?

2

即 ? x ? 2 ? ?? x ? 2 ? ?

? ? ?

? x0 ? 2?
2

2 4 y0

x ? 2 ?? ? 0 ,因为 xA 2 ? ? ?

?

1

? ?2 ,

2?
所 以 xP ?

? x0 ? 2 ?
4y

2 8 y0

1?

? x0 ? 2 ?

2 0

?

4 ? x0 ? 2 ?

2 2 0

2

? x0 ? 2 ?

2

? 4y

? 2 , 则 yP ?

4 ? x0 ? 2 ? y0

? x0 ? 2 ?

2

? 4 y0 2

, 故点 P 的坐标 为

? 4 ? x0 ? 2 ?2 4 ? x0 ? 2 ? y0 ? ? ?. ? 2, 2 2 ? ? ? x ? 2 ?2 ? 4 y 2 x ? 2 ? 4 y ? ? 0 0 0 ? ? 0 ? ?4 ? x0 ? 2 ?2 ?4 ? x0 ? 2 ? y0 ? ?. ? 2, 同理可得点 Q 的坐标为 ? 2 2 ? ? ? x ? 2 ?2 ? 4 y 2 x ? 2 ? 4 y ? ? 0 0 0 ? ? 0
因为 P , Q , B 三点共线,所以 kPB ? kQB ,

yQ yP . ? xP ? 1 xQ ? 1

? x0 ? 2 ? ? 4 y02 ? ? x0 ? 2 ? ? 4 y02 ,即 ? x0 ? 2 ? y0 所以 2 2 2 4 ? x0 ? 2 ? ?4 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? ? 12 y0 2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 ? x0 ? 2 ? ? 4 y02 ? x0 ? 2 ? ? 4 y0 2
2 2

4 ? x0 ? 2 ? y0

?4 ? x0 ? 2 ? y0

?

? ? x0 ? 2 ? y0 ?3 ? x0 ? 2 ? ? 4 y0 2
2



由题意, y0 ? 0 ,所以
2

? x0 ? 2?

x0 ? 2
2

? 12 y02

?

3 ? x0 ? 2 ? ? 4 y0 2
2
2

x0 ? 2



2 2 即 3 ? x0 ? 2 ?? x0 ? 2 ? ? 4 ? x0 ? 2 ? y0 ? ? x0 ? 2 ?? x0 ? 2 ? ? 12 ? x0 ? 2 ? y0 .

所以 ? x0 ? 4 ? ?

? x0 2 ? x2 x2 ? y0 2 ? 1? ? 0 ,则 x0 ? 4 ? 0 或 0 ? y0 2 ? 1 .若 0 ? y0 2 ? 1 ,则点 M 在椭圆上, 4 4 ? 4 ?

P , Q , M 为同一点,不合题意.故 x0 ? 4 ,即点 M 始终在定直线 x ? 4 上.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少,或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在 求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定 值显现.


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