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2015年福建(理)


《孩子 别那么累!》

2015 福建(理)
一、选择题 A. ??1?
2 3 4 1.若集合 A ? i,i ,i ,i ( i 是虚数单位), B ? ?1, ?1? ,则 A

?

?

B 等于 ( )

B. ?1? )

C. ?1, ?1?

D. ?

2.下列函数为奇函数的是( A. y ?

x

B. y ? sin x

C. y ? cos x

D. y ? e ? e
x

?x

3.若双曲线 E : 于( A.11 )

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 E 上,且 PF1 ? 3 ,则 PF2 等 9 16
B.9 C.5 D.3

4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一户收入为 15 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归本线方程 y 万元家庭年支出为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元

? x ? 2 y …0 ? 5.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则 z ? 2 x ? y 的最小值等于 ( ) ? x ? 2 y ? 2 …0 ?
A. ?

5 2

B. ?2

C. ?

3 2

D.2

6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( ) A.2 B.1 C.0

D. ?1

7.若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l //? ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个数可适当排序
2

后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

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9. 已知 AB ? AC , AB ? , AC ? t ,若点 P 是 △ ABC 所在平面内一点,且 AP ?

1 t

AB AB

?

4 AC AC

,则

PB PC 的最大值等于( )
A. 13 B. 15 C. 19 D. 21 10.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结论中一定 错误的是( ) A. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

二、填空题 11. ? x ? 2 ?
5

的展开式中, x

2

的系数等于

.(用数字作答) .
2

12.若锐角 △ ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于

13.如图所示,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函数 f ? x ? ? x ,若在矩形 ABCD 内随机取 一点,则此点取自阴影部分的概率等于
y D f(x)=x2 C

.

O

A

B

x

14. 若函数 f ? x ? ? ? 是 .

?? x ? 6, x ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ?? ? ,则实数 a 的取值范围 3 ? log x , x ? 2 a ?
xn ? n ? N* ? ,其中 xk ? k ? 1, 2,

15.一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1 x2

, n? 称为第 k 位码元,二

元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时 会发生码元错误(即码元由 0 变为 1 ,或者由1 变为 0 ). 已知某种二元码 x1 x2 x7 的码元满足如下校验方程组:

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0 ? ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0 , ?x ? x ? x ? x ? 0 3 5 7 ? 1
其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 . 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101 ,那么利用上述校验方 程组可判定 k 等于 .

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三、解答题 16.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时, 发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从 中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

17. 如 图 所 示 , 在 几 何 体 ABCDE 中 , 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , AB ? 平 面 BEC , BE ? EC , AB ? BE ? EC ? 2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (1)求证: GF // 平面 ADE ; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.
A

D

B G E

F

C

18.已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 0, 2 ,且离心率 e ? . 2 a b 2

?

?

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l : x ? my ?1? m ? R ? 交椭圆 E 于 A , B 两点,判断点 G ? ? 的位置关系,并说明理由.
y

? 9 ? ,0 ? 与以线段 AB 为直径的圆 ? 4 ?

A

G B

O

x

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19.已知函数 f ? x ? 的图像是由函数 g ? x ? ? cos x 的图像经如下变换得到:先将 g ? x ? 图像上所有点的纵坐 标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f ? x ? 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (ⅰ )求实数 m 的取值范围; (ⅱ )求证: cos ?? ? ? ? ?

? 个单位长度. 2

(2)已知关于 x 的方程 f ? x ? ? g ? x ? ? m 在 ?0, 2?? 内有两个不同的解 ? , ? .

2m 2 ? 1. 5

20.已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? , g ? x ? ? kx ? k ? R ? . (1)求证:当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ; (2)求证:当 k < 1 时,存在 x0 ? 0 ,使得对任意的 x ? ? 0, x0 ? ,恒有 f ? x ? ? g ? x ? ;
2 (3)确定 k 的所有可能取值,使得存在 t ? 0 ,对任意的 x ? ? 0, t ? 恒有 f ? x ? ? g ? x ? ? x .

21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,请考生任选 2 题作答 (1)选修 4-2:矩阵与变换

? 2 1? ?1 1 ? ?, B ? ? ?. ? 4 3? ? 0 ?1? -1 (1)求 A 的逆矩阵 A ;
已知矩阵 A ? ? (2)求矩阵 C ,使得 AC ? B .

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 3cos t ( t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐 ? y ? ?2 ? 3sin t 标系 x o y 取相同的长度单 位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴非负半轴为极轴) 中,直线 l 的方程为 ?? ? 2 ? sin? ? ? ? ? m ? m ? R ? . 4? ?
在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

(3)选修 4-5:不等式选讲 (1)求 a + b + c 的值; (2)求

已知 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c 的最小值为 4 .

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值. 4 9

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