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人教A版必修1 第三章函数的应用 章末复习课 课件(30张)_图文

第三章 函数的应用

章末复习课 [整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1.正确认识零点存在定理,要抓住两个关键点:(1) 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线.(2)f(a)·f(b)<0,否则极易出错. 2.在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解 时,要注意精确度的要求. 3.在建立函数模型解决实际问题时,先作散点图,根 据散点图来选择模拟函数,可避免盲目性,是较好的方法.

专题一 函数的零点与方程的根 根据函数零点的定义,函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,判断一个函数是否有零点,有几个零 点,就是判断方程 f(x)=0 是否有实数根,有几个相异实 数根.函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴的交点三 者之间有着内在的本质联系,利用它们之间的关系,可 以解决函数、方程与不等式的问题.

[例 1] (1)设函数 y=x3 与 y=???12???x-2的图象的交点为 (x0,y0),则 x0 所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

(2)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)

=ex+x-3,则 f(x)的零点个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:(1)构造 f(x)=x3-???12???x-2,f(x)的零点就是 x0.

又 f(0)=-4,f(1)=-1,f(2)=7,f(3)=523,f(4)=2545,

从而有 f(1)·f(2)<0,所以 x0∈(1,2).

(2)因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0) =0,所以 0 是函数 f(x)的一个零点,当 x>0 时,令 f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3, 分别画出函数 y=ex 和 y=-x+3 的图象,如 图所示:有一个交点,所以 x>0 时,函数 f(x)有一个零点, 又根据对称性可知,当 x<0 时,函数 f(x)也有一个零点.
综上所述,f(x)的零点个数为三个. 答案:(1)B (2)C

归纳升华 函数的零点及判断个数的方法
(1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ?函数 y=f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法:一是利用 图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交 点个数定性判断,二是判断区间(a,b)上是否有零点,可 应用 f(a)·f(b)与 0 的关系判断.

提醒:函数的零点是一个实数而非一个点,函数 F(x) =f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实数根,也就是 函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象交点的横坐标.

[变式训练] (1)设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程

3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得,f(1.5)>0,

f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )

A.(1,1.25)

B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)

D.不确定

(2)函数 f(x)=?????x22x--26,+xln≤x0,,x>0的零点个数是____.

解析:(1)因为 f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以由零点存在性

定理,可得方程 3x+3x-8=0 的根落在区间(1.25,1.5)内.

(2)令 x2-2=0,得 x=± 2,只有 x=- 2符合题意; 令 2x-6+ln x=0,得 6-2x=ln x,在同一坐标系中作 出函数 y=6-2x 和 y=ln x 的图象如图,观察知,图象在 x>0 上有一个交点.所以函数 f(x)有两个零点.
答案:(1)B (2)2

专题二 函数零点的应用 函数零点的应用主要表现在:(1)利用函数零点求参 数的值;(2)利用函数零点求参数的范围. [例 2] 若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是__________. 解析:若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个 零点,可得方程|2x-2|=b 有两个实数根, 从而函数 y=|2x-2|与函数 y=b 的图象有 两个交点,结合图象可得 0<b<2. 答案:0<b<2

归纳升华 已知函数的零点确定参数范围,其关键是利用数形 结合思想与等价转化思想去建立参数不等关系,对于二 次函数的零点问题,要充分利用图象,结合零点的条件 从开口方向、对称轴位置、区间端点值的符号及判别式 这几个方向去考虑.

[变式训练] (1)若函数 f(x)=ax2-x-1 仅有一个零 点,则实数 a 的取值范围是______________.
(2)已知函数 f(x)=2mx+5-3m 在(-1,2)内存在零 点 x0,求实数 m 的取值范围.
(1)解析:当 a=0 时,f(x)=-x-1 是一次函数,有 一个零点;当 a≠0 时,Δ=1+4a=0,得 a=-14.
综上知 a=0 或 a=-14. 答案:???a???a=0或a=-14???

(2)解:当 m=0 时,f(x)=5,不合题意;当 m≠0 时, 函数 f(x)的图象是一条直线,依题意 f(-1)·f(2)<0,
即(5-5m)(m+5)<0,即(m-1)(m+5)>0, 解得 m<-5 或 m>1. 所以实数 m 的取值范围是{m|m<-5,或 m>1}.

专题三 函数模型及其应用 针对一个实际问题,我们应该选择恰当的函数模型来 刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质, 熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函 数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题,原题中 数量间的关系,一般是以文字和符号的形式给出,也有的 以图象的形式给出,此时我们要分析数量变化的特点和规 律,选择较为接近的函数模型进行模拟,从而解决一些实 际问题或预测一些结果.

[例 3] 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)

与第 t 天组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线

段上;该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与 t 天的部分

数据如下表所示:

第t天

4 10 16 22

Q/万股 36 30 24 18

(1)根据提供的图象,写出这种股票每股交易价格 P 与 t 所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与 t 的一次函 数关系式;
(3)用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的 函数关系式,并求在这 30 天中第几天日交易额最大,最 大值是多少?
解:(1)由图可知,P=?????-15t+1102t+,80,<t≤202<0t≤,30(t∈N*).

(2)设 Q=at+b(a,b 为常数),把(4,36),(10,30) 代入得?????41a0+ a+b= b=363, 0. 所以 a=-1,b=40.
所以日交易量 Q(万股)与 t 的一次函数关系式为 Q=-t+40(0<t≤30,t∈N*). (3)由(1)(2)可得 y= ??????15t+2???×(40-t),0<t≤20, ?????-110t+8???×(40-t),20<t≤30.

即 y=?????- 110(15(t-t-601)5)2-2+401,25, 20<0<t≤t≤3020,(t∈N*). 当 0<t≤20 时,y 有最大值 ymax=125,此时 t=15; 当 20<t≤30 时,y 随 t 的增大而减少,ymax=110(20 -60)2-40=120. 综上所述,在 30 天中的第 15 天日交易额最大,最大 值为 125 万元.

归纳升华 函数模型的应用实例主要包含三个方面:(1)利用给 定的函数模型解决实际问题;(2)建立确定性函数模型解 决问题;(3)建立拟合函数模型解决实际问题.

[变式训练] 如图所示,A、B 两城相距 100 km,某天然气公司计划在两地之间建一天然气站 D 给 A、B 两城供气.已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市 安全,天然气站距两城市的距离均不得少于 10 km.已知 建设费用 y(万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和 成正比.当天然气站 D 距 A 城的距离为 40 km 时,建设 费用为 1 300 万元(供气距离指天然气站到城市的距离).
(1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x(km)的函 数,并求定义域;

(2)天然气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气 费用最小,最小费用是多少?
解:(1)由题意知 D 地距 B 地(100-x)km, 则?????1x0≥≤1010,0-x,所以 10≤x≤90. 设比例系数为 k,则 y=k[x2+(100-x)2](10≤x≤90), 又 x=40 时,y=1 300,所以 1 300=k(402+602),即 k=14,所以 y=14[x2+(100-x)2]=12(x2-100x+5 000), 其定义域为[10,90].

(2)由于 y=12(x2-100x+5 000)=12(x-50)2+1 250, 所以当 x=50 时,y 有最小值,为 1 250.
所以当供气站建在距 A 城 50 km 处,能使建设费用 最小,最小费用是 1 250 万元.

专题四 化归与转化思想 化归是将待解决的问题通过某种转化的过程,归结 为一类已解决或比较容易解决的问题;转化是将数学命 题由一种形式转向另一种形式的转换过程.在解决函数 问题时,常进行数与形或数与数的转化,从而达到解决 问题的目的. [例 4] 关于 x 的方程 x2-32x=k 在(-1,1)上有两个 不相等的实数根,求 k 的取值范围.

解:方法一 方程 x2-32x-k=0 在(-1,1)上有两个

???fΔ(>01,)>0,

不相等的实数根,当且仅当??f(-1)>0,

???k>-196,

????-1<-2-×321<1,

即?????kk<<- 52,12,

解得-196<k<-12.

???-1<34<1,

故 k 的取值范围是???k???-196<k<-12???. 方法二 方程 x2-32x=k 在(-1,1)上有两个不相等 的实数根,当且仅当方程组???y=x2-32x,x∈(-1,1)有两
??y=k, 组解,即当且仅当函数 y=x2-32x,x∈(-1,1)的图象与 函数 y=k 的图象有两个交点(交点的横坐标就是原方程的 解),画出它们的大致图象,如图所示:

由图象可以看出,当-196<k<-12时,两个图象有两 个交点,从而原方程在(-1,1)上有两个不相等的实数根.

归纳升华 方法一利用数形结合,考虑到判别式、对称轴、区 间端点的函数值的正负等情况进行求解;方法二将方程 的根的问题转化为两个函数图象的交点问题,两个函数 的引入要本着图象容易作出且交点容易找出,利用数形 结合才能直接简捷的求解.

[变式训练] 当 a 为何值时,函数 y=7x2-(a+13)x +a2-a-2 的一个零点在区间(0,1)上,另一个零点在区 间(1,2)上?
解:由题意知,函数有两个互异实根,所以 Δ>0.已 知函数对应的方程为 7x2-(a+13)x+a2-a-2=0,函数 的大致图象如图所示.

根据方程的根与函数的零点的关系,方程的根一个在

??f(0)>0, (0 , 1) 上 , 另 一 个 在 (1 , 2) 上 , 则 : ?f(1)<0, 即
??f(2)>0,

???aa22--a2-a-28><00,,解得???-a<2-<a1<或4a,>2,

??a2-3a>0,

??a<0或a>3.

所以-2<a<-1 或 3<a<4.经检验,满足 Δ>0.

故 a 的取值范围为{a|-2<a<-1,或 3<a<4}.


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