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圆锥曲线解题技巧总结


圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 的和等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值 等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不 可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则 轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点 线距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ?

x2 上一动点 P(x,y) ,则 y+|PQ|的最小值是_____ (答 2) 4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程) :

x2 y2 y2 x2 (1)椭圆:焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,焦点在 y 轴上时 2 ? 2 = a b a b 2 2 1( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,
C 同号,A≠B) 。 如(1)已知方程

x2 y2 ? ? 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 : 3? k 2?k

1 1 (?3, ? ) ? (? , 2) ) ; 2 2 2 2 (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是
___(答: 5, 2 )

x2 y2 y2 x2 ( 2 ) 双 曲 线 : 焦 点 在 x 轴 上 : 2 ? 2 =1 , 焦 点 在 y 轴 上 : 2 ? 2 = 1 a b a b 2 2 ( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax ? By ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,
B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ?

2 的双曲线 C 过点

P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x2 ? y 2 ? 6 ) 2 2 (3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y ? ?2 px( p ? 0) ,开口 2 2 向上时 x ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x ? ?2 py( p ? 0) 。
如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的
1

最短距离。

5 4
2 2

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x y2 如已知方程 则 m 的取值范围是__ (答: ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m ?1 2 ? m 3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2 2 2 (2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的 位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物 线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c
2 2 2

最大, c ? a ? b 。 4.圆锥曲线的几何性质:
2 2 2

x2 y2 (1)椭圆(以 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; a b ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,
四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?

a2 ; c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。 a 25 x2 y2 10 如(1)若椭圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长

轴的最小值为__(答: 2 2 )

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 为例) : ①范围:x ? ? a 或 x ? a, y ? R ; a 2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) , 两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,
(2) 双曲线 (以 称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? 心率: e ?

a2 ; ⑤离 c

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大, a b 开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a
2

如 (1) 双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 , 则该双曲线的离心率等于______ (答: 或

13 2

13 ) ; 3
(2)双曲线 ax 2 ? by 2 ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = (答:4 或

1 ) ; 4

x2 y2 (3)设双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 a b ? ? (锐角或直角)θ 的取值范围是________(答: [ , ] ) ; 3 2
(4) 已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点为 A1、A2, P 是双曲线上任意 2010 2009


一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定( A.相交 C.相离
2

B.相切 D.以上情况均有可能

(3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点

p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有 2 p c 对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物 2 a 线 ? e ?1。
如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,
2

1 ; )) 16 a

x2 y2 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a b 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 外 ? 2 ? 2 ? 1; (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a b a b 2 x 2 y0 ? ?1 内? 0 a 2 b2
6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双 曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛 物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必 要条件。 2 2 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围
3

是_______(答:(-

15 ,-1)) ; 3
x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 5 m

(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 (答:[1,5)∪(5,+∞) ) ; (3)过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则 1 2

这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直 线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直 线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果 直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 a2 b2

外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: ①P 点在两条渐近线之间且 不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两 条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称 轴的直线。 如 (1) 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点, 这样的直线有______ (答:
2

2) ; (2)过点(0,2)与双曲线 ______(答: ? ?

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 9 16

? ? 4 4 5? ? ,? ; ?) 3 3 ? ? ? ?
y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则 2
2
2

(3)过双曲线 x 2 ?

满足条件的直线 l 有____条(答:3) ; (4)对于抛物线 C: y ? 4 x ,我们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内 部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是 _______(答:相离) ; (5)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ
2

的长分别是 p 、 q ,则

1 1 ; ? ? _______(答:1) p q

4

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右 16 9 支和右准线分别于 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于
(6)设双曲线 或等于) (答:等于) ;

8 13 ) ; 13 (8)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分 别 在 双 曲 线 的 两 支 上 ?② 当 a 为 何 值 时 , 以 AB 为 直 径 的 圆 过 坐 标 原 点? ( 答 : ① ? 3, 3 ;② a ? ?1 ) ;
(7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答:

?

?

7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二 定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 如(1)已知椭圆 距离为____(答:

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的 25 16

35 ) ; 3
2

(2)已知抛物线方程为 y ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于____; ( 3 ) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4 ,则点 M 的坐标为 _____ (答: 7, (2, ?4) ) ;

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 25 9 25 P 的横坐标为_______(答: ) ; 12 2 (5)抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴
(4)点 P 在椭圆 的距离为______(答:2) ;

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) , F 为右焦点,在椭圆上有一点 M ,使 4 3 2 6 ; MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: ( ,?1) ) 3
( 6 ) 椭圆 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

S ? b 2 tan

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线
2 的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作 3

S?

b2 t an

?
2

。 如 (1)短轴长为 5 ,离心率 e ?

直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长为________(答:6) ; ( 2 ) 设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, F1 、 F2 是左右焦点,若
5

(答: x2 ? y 2 ? 4 ) ; PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 x2 y 2 → → (3)椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时, 9 4 3 5 3 5 点 P 的横坐标的取值范围是 (答: (? ; , )) 5 5 6 (4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线 2 与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________ (答: 8 2 ) ; ( 5 ) 已知双曲线的离心率为 2 , F1 、 F2 是左右 焦点, P 为双曲线上一点,且

?F1 PF2 ? 60? , S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 ? ?1) ; 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、 B 的横坐标,则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A 、 B 的纵坐标,则 AB =

1?

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。 2 k

特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ; (2)过抛物线 y ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标 原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ;
2

(3)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰为双曲线 12 x2 ? 4 y 2 ? 3 的右焦点,且倾斜角 为

3 ? 的直线交抛物线于 P , Q 两点,则 | y1 ? y2 | 的值为( 4
A. 2 B. 4 C. 4 2

) D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ;在双曲线 a b a y0
6

b 2 x0 x2 y 2 中 , 以 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= ;在抛物线 ? ? 1 P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0
如(1)如果椭圆

(答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ;

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

x2 y 2 (2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 a b 2 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; 2 x2 y2 ( 3 ) 试确定 m 的取值范围,使得椭圆 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 4 3 ? 2 13 2 13 ? ; y ? 4 x ? m 对称(答: ? ? ? 13 , 13 ? ?) ? ?
(4)抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是

1 1 (y ? )) 2 2 特别提醒: 因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !
(答: x ? 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 a a2 b2 2 x2 y ? ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 a2 b2 如与双曲线 (答:

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

4 x2 y 2 ? ? 1) 9 4
2 2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 相应准线的距离)为

2b 2 ,焦准距(焦点到 a

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
7

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ① | AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ? 4 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)
13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程. (答:

y ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) );
2

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: y 2 ? 2 x ) ; ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程; 如(1)由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则
0

动点 P 的轨迹方程为 是_______ (答: y 2 ? 16 x );

(答: x2 ? y 2 ? 4 );

(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程 (3) 一动圆与两圆⊙M: x 2 ? y 2 ? 1 和⊙N: x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆 心的轨迹为 (答:双曲线的一支); ④代入转移法: 动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化, 并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2, 1 则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法:当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。(答: x ? y ? a | y | );
2 2
? ??

(2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x ? y ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____
2 2

(答: y ? 2 x ? 1(| x |?
2

1 ) ); 2
8

(3)过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的 轨迹方程是________(答: x2 ? 2 y ? 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。 如已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 a2 b2

(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. ( 1 ) 设 x 为 点 P 的 横 坐 标 , 证 明
c x; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存 a 在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. b2 b2 2 2 2 ? a 时不存在;当 ? a 时存在,此时∠ (答: (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当 c c | F1 P |? a ?
F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线 的双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量” 为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ; (2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 ?, 使AB ? ? AC ;③若存在实 数 ? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. (6) 锐角, 给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ?AMB 是 直 角 , 给 出

?

?

?

?

?

??? ?

??? ?

??? ?

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是
? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD
9

是菱形;

(10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是 矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角 形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的 垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
2 2 2

??? ? ????

??? ? ????

??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 (14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC | ?ABC 的内心; ( 15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心
? ???? 1 ??? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 2 ???? ? ????? y 2 ? 1的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则 (1)已知双曲线 x ? 2 ????

(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ?

?

?

点 M 到 x 轴的距离为(C)

2 3 (D) 3 3 ? ? ? ? ? (2)已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3)i ? yj , ? ? ? ? ? ? b = ( x ? 3)i ? yj ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹. ? ? ? ? ? 解: ?b ? i ? ( x ? 3)i 2 ? yi ? j ? x ? 3 ,
(A) (B) (C) ∴ x ? 3 ? ( x ? 3) ? y ,化简得 y 2 ? 4 3x ,
2 2

4 3

5 3

故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x ? ? 3 为准线的抛物线

(3)已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点, OA ? OB ? 0 ,点 C 坐标为 (0,2p) (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 AM = ? BM ( ? ? R )且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。 (1)证明:设 A( x1 ,

??? ? ??? ?

???? ? ??? ?

??? ? ??? ? x12 x2 ), B( x2 , 2 ) ,由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p 2 2 ???? ? x12 ??? x22 ? x12 x1 x2 2 ) x1 x2 ? ? 0,? x1 x2 ? ?4 p ,又? AC ? (? x1 , 2 p ? ), AB ? ( x2 ? x1 , 2p 2p 2p 2p ??? ? ??? ? x 2 ? x12 x2 ?? x1 ? 2 ? (2 p ? 1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,? AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 2p 2p
10

(2)由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 OM ? AB ? 0 及 AM = ? BM ( ? ? R )知 OM?AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即点 M 的轨 迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0,y?0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐 标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (1) (2, 2 ) (2) (
A Q H P F B

???? ? ??? ?

1 ,1 ) 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔 细体会。

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 例 2、F 是椭圆 4 3
(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或 准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
y A F 0 ′ F P H x

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。
11

(2)3 ∴ PF ?

作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=

1 , 2

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

12


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