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2.2.2对数函数及其性质(1)


复习回顾
1. 对数的定义

a ? N ? log a N ? x
x

(a ? 0, a ? 1)
2. 对数的运算性质

问题一、某种细胞分裂时,由一个分裂成2个,2个分裂成
4个,4个分裂成8个 ……,1个这样的细胞分裂 x 次后,得 到的细胞个数 y 和 x 的函数关系是什么?

y?2

x

问题二、上题中,如果要求这种细胞经过多少次分裂,

可以得到细胞1万个,10万个……?这种细胞经过多少
次分裂,可以得到细胞 y 个? x = log 2 10 4 ,x = log 2 10 5,…… ,x = log 2 y

这样 x 是 y 的函数,我们常用 自变量,于是就有:

x 表示

y ? log2 x

对数函数的定义: 一般地 , 函数 y ? loga x (a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做对数函数。
其中x是自变量,函数的定义域是 (0,+∞) . y

对数函数的图象:
y ? log2 x
(1)作图象:y = log 2 x

y ? log 1 x
2

o

1

x

y ? log 1 x
2

思考:
函数 y ? log2 x与 y ? log 1 x 的图象关于
2

X轴
y = log 2 x

对称.

y 探究:

选取a 的若干个不同的值,在同一平面直角坐 标系内作出相应的对数函数的图象。观察图象, 你能发现它们有哪些共同特征吗?
o 1
10

P

x

y ? lg x y ? log 1 x

P

'

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

y ? log 1 x
2

对 数 函 数 图 象
-4

y

4

y ? log2 x
2

1
-2

y ? lg x
x
2 4 6 8

o
-2

y ? log 1 x
10

图象特征:
-4

y ? log 1 x
2

(1)这些图象都在 y 轴右边. (2)函数图象都过定点(1,0).
(3)底数大于1时,图象是上升的曲线; 底数大于0小于1时,图象是下降 -----的曲线. (4)底数大于1时,图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0.在(1,0)点 -------左边的纵坐标都小于0.底数大于0小于1时相反.

y

a>1
x=1 y

0<a<1
x=1

图 象

o

1

x

y= ㏒ax (a>1)

o

1

x y= ㏒ax (0<a<1)

定义域

( 0 , + ∞) R

值域
性 质

过定点(1 ,0),即 x = 1 时,y = 0 函数值 当 x>1 时,y>0 当 x>1 时,y<0 分布 当 0<x <1 时, y<0 当 0<x<1 时,y>0
单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数

定点

在( 0 , + ∞ )上是减函数

注意
(1)单调性是对数函数的重要性质, y 轴是函 数图象的渐近线 (2) 当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 x 轴.

(当 a>1 时,真数大于1,图高底小.)
当 0<a<1 时,a 的值越小,图象越靠近 x 轴.

(当 0<a<1 时,真数大于1,图高底小.)

思考:
a

设a>0,且a≠1,则函数y=ax和 x轴 对称. 对称;函数y ? loga x和 y ? log 1 x的图象关于______
y 考察 a>1 y = log a x

1 y ? ( ) x 的图象关于____ y轴 a

o

x

1
y ? l og1 x

= -log a x

a

例1、求下列函数的定义域:
(1) y = log a x 2 (2) y = log a ( 4-x ) (3) y = log a ( 9-x 2 ) 定义域: 定义域: 定义域: (-∞, 0 )∪( 0 , + ∞) (- ∞, 4 ) (-3, 3 )

求函数定义域的方法: (1)分式的分母不能为零 (2)偶次方根的被开方数大于等于零 (3)对数的真数必须大于零 (4)指数函数、对数函数的底数要满足大于零且不等于1 (5)实际问题要有意义

例2 作出下列函数的图象

(1) y ? log2 ( x ?1) (2) y ? log 2 | x |
y
y

y ? log2 ( x ?1)
y ? log 2 | x |

0

1

2

x

-1

0

1

x

课堂练习
求下列函数的定义域:

(1) y ? log 5 (1 ? x) 1 (2) y ? log 2 x 1 (3) y ? log 7 1 ? 3x (4) y ? log 3 x

(1) (??,1)
答案:

(2) (0,1)

(1, ??)

1 (3) (??, ) 3 (4) [1, ??)

1、对数函数 的定义. 2、对数函数的图象与性质:
函数
底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y 1

0<a<1

图象 定义域
值域 定点

o

1

x

o

x

(0,+∞)
R 过定点( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0

函数值 分布
单调性

当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0
在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数

当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0
在( 0 , + ∞ )上是减函数

反思:
1.利用对数函数的单调性可以解决哪些问题?

如何运用?
2.函数 y ? loga x 与 y ? a 的定义域和值
x

域互换, 那么它们的图象间有何关系?

作业布置

P74 习题2.2

A组 7. 10.


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