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日本第7届数学奥林匹克竞赛试题及解答


第七届日本数学奥林匹克竞赛试题
问题 1 两个整数相加时,得到的数是一个两位数,且两个数字相同; 相乘时,得到的数是一个三位数,且三个数字相同。请写出所有满足上述 条件的两个整数。(12 分) 问题 2 把 26 个玻璃球分装在 a、b、c、d、e 五个袋子里,每个袋里 的球数不同且都装了 1 个以上。用一台天平称重量,当称到装有 11 个玻 璃球的袋子时,超重警铃就会响。看下图:

当①、③、④的状态时,警铃就响;②的状态时,警铃不响。 请按从小到大的顺序写出装入 5 个袋中玻璃球的数量的组合(例如: 1、3、5、7、10),并写出所有的组合。解答栏中有 6 组空,但不一定全 部使用。(14 分) (注:不用考虑袋子的重量) 请按下面两个 问题 3 把 6cm×10cm 的长方形沿点线分割成 4 个图形, 要求分割。 ①分割后的 4 个图形,面积可大可小,但它们应该互为相似形。 ②分割后的 4 个图形,可以有面积相等的,但不能都是面积相等的图 形。

请回答出 4 种分割方法,并分别在解答栏中用实线画出。(翻转后如 果同另一种分割重叠的话,将看做是同一种分割方法。)(20 分)

问题 4 右图三角形 ABC 是等腰三角形。AB=AC,BAC=120°。三角形 ADE 是正三角形,点 D 在 BC 边上,BD∶DC=2∶3。当三角形 ABC 的面积是 50cm2 时,三角形 ADE 的面积是多少?(14 分)

问题 5 有一只表分不清长针和短针了,多数情况下可根据两针所指的 位置判断出正确的时间。但有时也会出现两种情况,使你判断不出正确的 时间。请问从中午 12 点到夜里 12 点这段时间会遇到多少次判断不出的情 况?(12 分)(注:不包括中午 12 点和夜里 12 点) 问题 6 把一个多边形沿着几条直线剪开,分割成若干个多边形。分割 后的多边形的边数总和比原多边形的边数多 13 条,内角和是原多边形内 角和的 1.3 倍。请问:①原来的多边形是几边形?②把原来的多边形分割 成了多少个多边形?(14 分)

求△ABC 滚动过的面积。 (14 问题 7 把△ABC 滚到△A′B′C′的位置。 分)(注:圆周率取 3.14)

分析与解 问题 1 两个整数相加时,得到的数是一个两位数,且两个数字相同;相乘 时,得到的数是一个三位数,且三个数字相同,请写出所有满足上述条件 的两个整数。 分析与解 两位数中,数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、 88、99 共九个,它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式,例如 33=1+32=2+31=3+30=……=16+17,共有 16 种形式,如果把每个数都这样 分解,再相乘,看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数,显然太繁琐 了。可以从乘积入手,因为三个数字相同的三位数有 111、222、333、444、 555、666、777、888、999,每个数都是 111 的倍数,而 111=37×3,因此 把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时,必有一 个因数是 37 或 37 的倍数,但只能是 37 的 2 倍(想想为什么?) 把九个三位数分解: 111=37×3 222=37×6=74×3 333=37×9 444=37×12=74×6

555=37×15 666=37×18=74×9 777=37×21 888=37×24=74×12 999=37×27 把两个因数相加,只有(74+3=)77 和(37+18=)55 的两位数字相同。 所以满足见意的答案是 74 和 3,37 和 18。 问题 2 把 26 个玻璃球分装在 a、b、c、d、e 五个袋子里,每个袋子里的 球数不同且都装了 1 个以上。用一台天平称重量,当称到装有 11 个玻璃 球的袋子时,超重警铃就会响。看下图。

当①、③、④的状态时,警铃就响;②的状态时,警铃不响。 请按从小到大的顺序写出装入 5 个袋中玻璃球的数量的组合(例如: 1、3、5、7、10),并写出所有的组合。 分析与解 根据题意,a、b、c、d、e 袋中装的玻璃球的数量各不相同。a、 b、c、d、e 五个袋子里共装有 26 个玻璃球,这 26 个玻璃球的重量应是相 同的,所以五个袋子的重量各不相同。用一台天平称重,当称到装有 11 个玻璃球的袋子时,超重警铃就会响,这一条件,应理解为天平称得的玻 璃球个数是 11 或多于 11 个时,超重警铃就会响。从给出的条件可知:

比较(2)、(3)、(4)式可知,a<b,a<d。 由(1)+(3),(1)+(4),(5)式可得:

由上面的三个式子可知,b、d 两袋中球的数量是 4 或 3 或 2 或 1 个, 但由于 a<b,a<d,所以 a 袋中球的数量是 2 或 1 个,b、d 两袋中的球 只能是 4 或 3 或 2 个。进一步由(2)、(3)、(4)式可知,c 袋中球的 数量只能是 8 或 9 个。 由此可列举出符合题意的数组,它们是: (1、2、3、9、11)(1、2、4、9、10) (1、3、4、8、10)(2、3、4、8、9) 问题 3 把 6cm×10cn 的长方形沿点线分割成 4 个图形,请按下面两个要求 分割。 ①分割后的 4 个图形,面积可大可小,但它们应该互为相似形;

②分割后的 4 个图形,可以有面积相等的,但不能都是面积相等的图 形。 请回答出 4 种分割方法,并分别在解答栏中用实线画出(翻转后如果 同另一种分割重叠的话,将看做是同一种分割方法)。

分析与解 先来解释一下什么是相似形。把一个多边形的各边都扩大或缩 小相同的倍数后与另一个多边形的每一对应边都完全重合,这样的两个多 边形就是相似形。例如,所有的等边三角形都是相似的,所有的正方形都 是相似的。 把大长方形沿点线分割成 4 部分,可以将其分成四个长方形。根据长 方形长与宽的不同比值,结合题意,枚举出每一类可能分割出的长方形, 看用哪一类中的 4 个长方形 (面积不同的) 能拼出 6cm×10cm 的长方形 (为 了叙述方便,下面省去单位)。 (一)1×n 形(即长方形长与宽的比是 1:n,n 是整数) (l)最小的长方形是 1×1,与它相似的长方形有 2×2,3×3,4×4, 5×5,6×6。 可以分割出 6×6 的长方形(见图 1)。

不能分割出 5×5 的长方形(见图 2),因为不论把 5 × 5 的长方形 放在 6 × 10 的长方形中的哪一位置,在这个 5×5 的长方形的上边(或 下边)的 5 个小正方形,只能分割成 5 块 1×1 的长方形,这显然不合题 意。 分割出的长方形中最大的不可能是 4×4 或更小的。因为(4 × 4) × 4= 64> 6 × 10,(4 × 4) × 3+(3 × 3)×1=57< 6 × 10。 (2)最小的长方形是 1×2,与其相似的长方形有 2×4,3 × 6,4 × 8,5 × 10。 不能分割出 5×10 的长方形(分析同(1)中 5×5)。 也不能分割出 4×8 的长方形(见图 3),因为 6×10-(4 × 8) × 1=32,(2 × 4)×3= 24<32。

还不能分割出 3×6 的长方形。 不能分出 4 个 3×6 的长方形, 因为 (3 × 6)× 4=72> 6 × 10。不能分出 3 个 3×6 的长方形,因为 6×10(3×6)×3=6, 1×2=2< 6,2 × 4 = 8>6。不能分出 2 个 3×6 的长

方形,因为 60-(3×6)×2=24,(2×4)×2=16<24,也不能分出 1 个 3 ×6 的长方形,因为(3×6)×l+(2×4)×3=42<60。 更不能分割出 2×4 或回 1×2 的长方形,因为(2×4) × 4=32< 6 ×10。 (3)最小的长方形是 1×3,与其相似的长方形有 2×6,3×9。 可以分割出 3×9 的长方形(见图 4)。

不能分割出 2×6 的长方形,因为(2×6)×4=48< 6×10。 (4)最小的长方形是 1×4,与其相似的长方形有 2×8,这样的两个 长方形都不能分割出来。因为(2×8)×4=64>6×10,(2×8)×3+(1 ×4)×1=52<6×10。 (5)最小的长方形是 1×5,与其相似的长方形有 2×10,这样的两 个长方形都不能分割出来。因为(2 ×10)×3=6×10,(2×10)×2+(1 ×5)×2=50< 6×10。 (6)同样可以证明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10 这 些长方形。

(二)对于 2×n、3×n、4×n、5×n 形的长方形,按照(一)的分 析方法,可以找到一种符合题意的分割方法(见图 5)。

也可以把 6×10 的长方形沿点线分割成其他多边形(见图 6)。

问题 4 下图三角形 ABC 是等腰三角形。AB=AC,∠BAC=120°。 三角形 ADE 是正三角形,点 D 在 BC 边上,BD∶DC=2∶3。 当三角形 ABC 的面积是 50cm2 时,三角形 ADE 的面积是多少?

分析与解 以点 A 为中心,由三个三角形 ABC 可拼成右图:

连结 QE、RF、GD,则 DEQFRG 是一个正六边形。连结 RD、DQ、RQ,显 然 RDQ 是一个等边三角形,并且它的面积是正六边形面积的一半。 S△PBC=S△ABC×3=150cm2,

S△RDQ=S△PBC-S△DQC×3=42cm2, S△ADE=S△正六边形÷6=2×S△RDQ÷6=14cm2。 问题 5 有一只表分不清长针和短针了,多数情况下可根据两针所指的 位置判断出正确的时间。但有时也会出现两种情况,使你判断不出正确的 时间。请问从中午 12 点到夜里 12 点这段时间会遇到多少次判断不出的情 况?(注:不包括中午 12 点和夜里 12 点) 分析与解 当表在某点某分时,经过一段时间后,如果时针恰好走到 原来分针的位置,而分针恰好走到原来时针的位置,即两针位置互换,由 于分针、时针分辨不清,所以凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正 确的判断当时的时间(如下图)。

两针位置互换,当时针、分针共走 60 格时,由于时针走 1 格,分针 走 午 12 点多至 1 点多,1 点多至 2 点多,2 点多至 3 点多……夜里 10 点多 至 11 点多,共 11 次。 同样可以算出两针位置互换时针、 分针共走 120、 180、 240、 300、 360、 420、480、540、600、660 格时,可以出现两针位置互换的次数分别是 10、 9、8、7、6、5、4、3、2、1 次,所以分辨不出正确时间的次数共有(11 +10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)×2=132 次。 注:题目只要求我们算出分辨不清时间的次数,所以没有必要算出具 体的时间。 问题 6 把一个多边形沿着几条直线剪开,分割成若干个多边形。分割 后的多边形的边数总和比原多边形的边数多 13 条,内角和是原多边形内 角和的 1.3 倍。请问:①原来的多边形是几边形?②把原来的多边形分割 成了多少个多边形? 分析与解 先来观察下面这组图形:

容易看出,n 边形有 n 个顶点,n 边形是由(n-2)个三角形组成的。 因此,知道了一个多边形的边数或顶点数(n),就可以求出它的内角和 (n-2)×180°,知道了一个多边形由多少个三角形(m)组成的,就可 以求出它的边数或顶点数(m+2)。 设原多边形是由 a 个三角形组成的,分割后的多边形共由 b 个三角形 组成,a 和 b 都是整数,根据题意有: 1.3×a×180°=b×180°,于是有 1.3a=b。 由于 b 是整数,所以 1.3a 也是整数,a 必是 10 的倍数,于是 1.3a 是 13 的倍数,b 也是 13 的倍数。 (一)设 a=10,则 b=13,进而可知原多边形有 12 个顶点(12 条边), 而分割后的多边形有 15 个顶点(15 条边)。 由于连结一个多边形的两顶点时,将一个多边形分成两个多边形后, 顶点的数目不变,而分出的两个多边形比原来增多 2 条边。连结多边形的 一个顶点与一边上一点时,顶点数目增多 1 个,而分出的两个多边形比原 来增多 3 条边。连接两边上一点时,顶点数目增多 2 个,而边数比原来增

多 4 条。要增多(15-12=)3 个顶点,增多 13 条边,有两种连线方法。 (见下图)

显然原多边形是 12 边形,两种连结方法都将 12 边形分成了 6 个多边 形。 (二)如果 a=20,则 b=26,原多边形有 22 个顶点,而分割后的多 边形有 28 个顶点,增多了(28-22=)6 个顶点,不论怎样连结都不能使 分割后的多边形边数总和比原来的多边形增多 13 条边。因此原多边形不 是 22 边形。 如果 a 更大,则分割后增加的顶点个数更多,不论怎样连结都不符合 题目要求。因此原多边形只能是 12 边形。 求△ABC 滚动过的面积 (注: 问题 7 把△ABC 滚到△A′B′C′的位置。 圆周率取 3.14)。

分析与解 画出△ABC 滚动到△A′B′C′的位置时滚动的轨迹图,如 下:

△ABC 滚动过的面积可分成三部分:第一部分是以 R 为圆心,三角形 的直角边为半径的扇形①;第二部分即三角形 ABC②;第三部分是以 S 为 圆心,三角形的斜边为半径的扇形(③+④)。 分别计算图中①、②、③、④部分的面积:

由勾股定理可知:AC×AC=AB×AB+BC×BC=800。 分割三角形 svf(见上图),易知分出的三个三角形都是直角三角形, △°×2+□°=180°。 由于

△ABC 滚动过的面积是 1142cm2。


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