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2010全国卷Ⅱ文数


湖南省祁阳县第四中学

何双桥整理

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ) 数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。 考试结束后,将本试卷降答题卡一同交回,满分 150 分,考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填 写清楚,并认真找准条形码上的准考证号,姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好 条形码。 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷的答案无效。 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在,每小题给出的四个选项中, 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A-B)=P(A)-P(B)

一、选择题

(A) ?1, 4?

(B) ?1,5?

(C) ?2,4?

(D) ?2,5?

【解析】 C :本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。B={3,5},∴

A ? B ? {1,3,5} ,∴ CU ( A ? B) ? {2, 4} 故选 C .

(2)不等式

x?3 <0 的解集为 x?2

(A) x ?2 ? x ? 3

?

?

(B) x x ? ? 2

?

?

(C) x x ? ?2或x ? 3

?

?

(D) x x ? 3

?

?

【解析】A :本题考查了不等式的解法



x?3 ?0 x?2 ,∴

?2 ? x ? 3 ,故选 A

(3)已知 sin ? ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3

1

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(A) ?

1 1 5 5 (B) ? (C) (D) 9 9 3 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ?
∴ (4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A)y= e
x ?1

1 9

-1(x>0) -1(x ? R)

(B) y= e

x ?1

+1(x>0) +1 (x ? R)

(C) y= e

x ?1

(D)y= e

x ?1

【解析】D:本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数 Y=1+LN(X-1)(X>1),∴

ln( x ?1) ? y ?1, x ?1 ? e y ?1, y ? ex?1 ? 1
? x ? ?1 ? (5)若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
(A)1 (B)2 (C)3 【解析】C:本题考查了线性规划的知识。 (D)4

∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与 ∴即为(1,1) ,当 x ? 1, y ? 1 时

y ? x 与 3x ? 2 y ? 5 的交点为最优解点,

zmax ? 3

(6)如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = ? (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析】C:本题考查了数列的基础知识。

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ∵ 3
2

1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

(7)若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 (A) a ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ?1 (B) a ? ?1, b ? 1 (D) a ? ?1, b ? ?1

【解析】A:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

y? ? 2x ? a

x?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1

(8)已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面

ABC , SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为

2

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(A)

3 4 7 4

(B)

5 4
3 4

(C)

(D)

【解析】D:本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连结 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 S SE 于 F,连 BF,∵正三角形 ABC,∴ E 为 BC 中点,∵ BC⊥AE,SA ⊥BC,∴ BC⊥面 SAE,∴ BC⊥AF,AF⊥SE,∴ AF⊥面 SBC,∵∠ F ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,由正三角形边长 3,∴ AE ? 3 , C E

B

3 3 sin ?ABF ? 4 AS=3,∴ SE= 2 3 ,AF= 2 ,∴

A

(9)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信 封有
2 2 C4 ? 6 ,余下放入最后一个信封,∴共有 3C4 ? 18

(10)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a , CA = b ,

??? ?

??? ?

a =1 ,

??? ? b = 2, 则 CD =
(A)

1 2 a+ b 3 3

(B)

2 1 a+ b 3 3

(C)

3 4 a+ b 5 5

(D)

4 3 a+ b 5 5

【解析】B:本题考查了平面向量的基础知识



CD 为 角 平 分 线 , ∴

BD BC 1 ? ? AD AC 2 , ∵

??? ??? ??? ? ? ? ? ? AB ? CB ? CA ? a ? b , ∴

???? 2 ??? 2 ? 2 ? ? ??? ??? ???? ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? AD ? AB ? a ? b CD ? CA ? AD ? b ? a ? b ? a ? b 3 3 3 ,∴ 3 3 3 3
(11)与正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (B)有且只有 2 个 (C)有且只有 3 个 (D)有无数个 【解析】D:本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上, ∴三个圆柱面有无数个交点,

3

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x2 y 2 3 (12)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0) a b 2
的直线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

3 ??? ? ??? ? e? A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵ AF ? 3FB , ∴ y1 ? ?3 y2 , ∵ 2 ,设 【解析】B:

a ? 2t , c ? 3t ,b ? t , x2 ? 4 y 2 ? 4t 2 ? 0 , ∴ 直线 AB 方程为 x ? sy ? 3t 。 代入消去 x ,
∴ (s ? 4) y ? 2 3sty ? t ? 0 ,∴
2 2 2

y1 ? y2 ? ?

2 3st t2 , y1 y2 ? ? 2 s2 ? 4 s ?4,

?2 y2 ? ?

1 2 3st t2 2 s2 ? , ?3 y2 ? ? 2 2 2 ,k ? 2 s ?4 s ? 4 ,解得

(13)已知α 是第二象限的角,tanα =1/2,则 cosα =__________

2 5 5 【解析】 ?
tan ? ? ?


:本题考查了同角三角函数的基础知识

1 2 5 cos ? ? ? 2 ,∴ 5

(14)(x+1/x)9 的展开式中,x3 的系数是_________ 【解析】84:本题考查了二项展开式定理的基础知识

1 Tr ?1 ? C9r x 9? r ( ) r 3 x ,∴ 9 ? 2r ? 3, r ? 3 ,∴ C9 ? 84 ∵
(15)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 A,与 C 的一个交点为 B,若 的直线与 l 相交于

,则 p=_________
???? ? ????

【解析】2:本题考查了抛物线的几何性质 设直线 AB:y ? 3x ? 3 , 代入 y ? 2 px 得 3x ? (?6 ? 2 p) x ? 3 ? 0 , 又∵ AM ? MB ,
2 2

x?


1 p?2 2 2 ,解得 p ? 4P ?12 ? 0 ,解得 p ? 2, p ? ?6 (舍去)

(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共 弦, AB ? 4 ,若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ? 。 【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识

4

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O B ∵ ON=3,球半径为 4,∴小圆 N 的半径为 7 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,作 NE 垂直于 AB,∴ NE= 3 ,同理可得 N

M E A

ME ? 3 ,在直角三角形 ONE 中,∵ NE= 3 ,ON=3,∴

?EON ?

?
6 ,∴

?MON ?

?
3,

∴ MN=3 三、解答题;本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分)

? ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 ,sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 。 13 5

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ? B 的差求出 ? BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ? BAD 的正弦,在三角 形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。 (18) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且

a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a1 a2 a3 a4 a5

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1 与 d 的方程求得 a1 与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分

5

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成两个等比数列分别求和即可求得。 (19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,AC=BC, AA 1 =AB,D 为 BB 1 的中点,E 为 AB 1 上 的一点,AE=3 EB 1 (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB 1 与 CD 的夹角为 45°, 求二面角 A 1 -AC 1 -B 1 的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识。 (1)要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线,即证明 DE 与它们都垂直,由 AE=3EB1,有 DE 与 BA1 平行,由 A1ABB1 为正方形,可证得,证明 CD 与 DE 垂直,取 AB 中点 F。连结 DF、FC,证 明 DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直。 (2)由条件将异面直线 AB1,CD 所成角找出即为 ? FDC,设出 AB 连长,求出所有能求出的 边长,再作出二面角的平面角,根据所求的边长可通过解三角形求得。 (20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T 1 ,T 2 ,T 3 ,T 4 ,电源能通过 T 1 , T 2 ,T 3 的概率都是 P,电源能通过 T 4 的概率是 0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知 T 1 ,T 2 ,T 3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。 (Ⅰ)求 P; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。

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【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率, (1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将 T1,T2,T3 至少有一个能通过 电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P。 (2)将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。
3 2

【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、 极值及函数与方程的知识。 (1)求出函数的导数,由导数大于 0,可求得增区间,由导数小于 0,可求得减区间。

? ? (2)求出函数的导数 f ( x ) ,在(2,3)内有极值,即为 f ( x ) 在(2,3)内有一个零点, ? ? 即可根据 f (2) f (3) ? 0 ,即可求出 A 的取值范围。
(22) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 B、D 两点,且 BD 的 a b
中点为 M(1.3) (Ⅰ) (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ) (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|·|BF|=17 证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。

【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。 (1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1, 3) ,可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 (2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含 A 的代数式表示,即可求得 A,则 A 点坐标可得
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(1,0) ,由于 A 在 X 轴上所以,只要证明 2AM=BD 即证得。

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