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数学文卷·2017届辽宁省沈阳二中高二下学期期末考试(2016.07)


沈阳二中 2015——2016 学年度下学期期末考试 高二(17 届)数学(文)试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数 f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域为(
B



A

1 (? ,?? ) 3

1 ( ? ,1) 3

C

1 1 (? , ) 3 3

D

1 ( ?? ,? ) 3

2.已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 tan 2? ? ( A )

4 3

B

3 4

C

?

4 3

D

?

3 4

3.在 ?ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点, AN ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的 值为( A ) B

1 2

1 3

C

1 4

D 1 )

3 4.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 是单调增函数,则 a 的最大值是(

A

0

B

1

C

2 )

D

3

5 若实数 a , b 满足 A

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值是( a b
B 2 C

2
)

2 2
2

D
n

4

6. 已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x -bnx+2 的两个零点,则 b10 等于( A.24

B. 32

C. 48

D. 64

7. 函数 y ?

cosx 的图象大致是( ln | x |



第 1 页 共 8 页

A

B

C

D

8. 某货轮在 A 处看灯塔 S 在北偏东 30 ? 方向,它向正北方向航行 24 海里到达 B 处,看灯 塔 S 在北偏东 75 ? 方向,则此时货轮看到灯塔 S 的距离为_________海里 A 12 3 B 12 2 C

100 3
)

D

100 2

9. .已知 ? ? (0, ? ) ,则 y ? A 6 B

1 9 ? 的最小值为( 2 sin ? cos 2 ?
10 C 12

D 16

10.在斜三角形 ABC 中,sin A ? ? 2 cos B cosC 且 tan B ? tan C ? 1 ? 2 ,则角 A 的值为 ( A )

? 4

B

? 3

C

? 2

D

3? 4 a 时, 2

11.若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 5)(a ? 0且a ? 1) 满足对任意的 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为(
A

) D (1, 2 5)

(??, 2 5)

B (2 5, ??)

C [1, 2 5]

12.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ,则 f ( x2 ) 的取值 范围是( A (0, ) B (?? ,

1 ? 2 ln 2 ) 4

1 ? 2 ln 2 ) 4

C (

1 ? 2 ln 2 ,?? ) 4

D(

1 ? 2 ln 2 ,0) 4

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? y?x ? 13. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为________ ? x ? ?2 ?
14.若将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 最小正值是_______ 15. 已 知 ?A B C 的 外 接 圆 圆 心 为 O , 满 足 CO ? mCA ? nCB 且 4m ? 3n ? 2 ,

?
4

) 的图像向右平移 ? 个单位, 所得图像关于 y 轴对称, 则? 的

CA ? 4 3, CB ? 6 ,则 CA ? CB ? _____________

第 2 页 共 8 页

16 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? 2? x,x ? 2
2 ?( x ? 2) , x ? 2

. 函 数 g ( x) ? b ? f (2 ? x), 其 中 b ? R , 若 函 数

y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是___________
三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题 10 分) 设 f ( x) ? 6 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求单调递增区间; 18. (本小题 12 分)

a 1 ) (n∈N*) 在函数 f ( x) ? a x 的图象 已知函数 f ( x) ? a x 的图象过点 (1, ), 且点 ( n ? 1, n 2 2 n
上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an ?1 ?

1 an ,若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 5 2

19. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值. 20. (本小题 12 分) 如图:梯形 ABCD 中,AB//CD,BC=6, tan?ABC ? ?2 2 (1)若 ?ACD ? B

?
4

,求 AC 的长; (2)若 BD=9,求 ?BCD 的面积; A

D C

第 3 页 共 8 页

21. (本小题 12 分) 已知函数 f(x)= log2 且. AB ? AC ? 0 (1)求 a 的值;
1 2 n ?1 * (2)若 S n = f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ∈N ,且 n≥2,求 S n . n n n
2x 1 1 ,过定点 A( , )的直线与函数 f(x)的图象交于两点 B、C, a?x 2 2

(3)已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

2 1 , =(Sn+1)(Sn+1+1),其中 n∈N*.Tn 为数列{an}的前 n 项 3 an

和,若 Tn ? ? (Sn ?1 ? 1) 对一切 n∈N*都成立,试求 ? 的取值范围.

22. (本小题 12 分) 已知函数 f(x)=

ln x ? 1 ,(e=2.71828…是自然对数的底数)。 ex

(1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)= xf ?( x) ,其中 f ?( x ) 为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g(x)<1+e-2.

第 4 页 共 8 页

沈阳二中 2015——2016 学年度下学期期末考试 高二(17 届)数学(文)试题答案 一. 选择题:
1. B 2 C 3 12.D 二.填空题: 13. 8 三.解答题: 17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 6 14. A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10.A 11 D

3? 8

15

36

16.

7 ?b?2 4

(1 ? cos 2 x) ? ? 3 sin 2 x ? 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 , 2 6 故 f(x)的最小正周期 T ? ? , 5? ? 2? ? 2k? 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? 6 5? 11 , k? ? ? ](k ? Z ) 得 f(x)的单调递增区间为 [k? ? 12 12

1 x 18. (1)∵函数 f(x)=a 的图象过点(1, ), 2 1 1 ∴a= ,f(x)=( )x. 2 2 又点(n-1, 2)(n∈N*)在函数 f(x )=ax 的图象上,从而 2= ?n+1? n 2n+1 (2)证明:由 bn= - n= n 得, n 2 2 2 3 5 2n+1 (3)Sn= + 2++ n , 2 2 2 1 3 5 2n-1 2n+1 则 Sn= 2+ 3++ n + n+1 , 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得: Sn= +2( 2+ 3++ n)- n+1 , 2 2 2 2 2 2
2 2

an n

an 1 n2 n-1,即 an= n-1. n 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 2n ? 1 2 sn ? ? 2 4 ? n ?1 1 2 2 2 1? 2
2n+5 ∴Sn=5- n , 2

?

2n ? 5 ? 0 ∴Sn<5 2n

19. 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ?

a . x

第 5 页 共 8 页

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , f ?( x ) ? 1 ?

2 ( x ? 0) , x

? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
即x? y?2?0. (Ⅱ)由 f ?( x ) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0 可知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? a ;

? x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值 20.(1) Q tan ?ABC ? ?2 2,??ABC 为钝角,且 sin ?ABC ?

2 2 1 , cos ?ABC ? ? 3 3

Q AB / / CD,??BAC ? ?ACD ?
(2)

?
4

,在 ?ABC 中,

BC AC ? , AC ? 8 ; sin ?BAC sin ?ABC 1 3
,

Q AB / /CD,??ABC ? ?BCD ? ?

,

cos ?BCD ? ? cos ?ABC ?

?sin ?BCD ? sin ?ABC ?

1 36 ? CD 2 ? 81 2 2 ,在 ?BCD 中, cos ?BCD ? ? , 3 2 ? 6 ? CD 3

? 21. 1)证明:∵ AB ? AC ? 0 ∴A 是 BC 的中点.设 A(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),
由 分) 而

1 ?CD2 ? 4CD ? 45 ? 0,?CD ? 9 , S?BCD ? ? 6 ? 9 ? sin ?BCD ? 18 2 ; 2
1 1 (x1+x2)= , 得 x1+x2=1, 则 x1=1?x2 或 x2=1?x1. 2 2

(2

1 1 1 1 2 x1 2 x2 = (y1+y2)= [f (x1)+f(x2)]= ( log2 ) ? log2 2 2 2 2 a ? x1 a ? x2
第 6 页 共 8 页

=

1 x x2 x x2 (1+log2 1 ? log2 ),∴log2= 1 ? 0, 2 a ? x1 a ? x2 a ? x1 a ? x 2

因此 λ>

1 1 ,即 λ 的取值范围是( , +∞) . 2 2
1 (1-x-xlnx),x∈(0,+∞), xex

22. (1)得 f ′(x)=

令 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0, 所以 x∈(0,1)时,f ′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)证明:因为 g(x)=xf ′(x). 1 所以 g(x)= x(1-x-xlnx),x∈(0,+∞). e
第 7 页 共 8 页

由(2)h(x)=1-x-xlnx, 求导得 h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne 2),


所以当 x∈(0,e 2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增;


当 x∈(e 2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减.


所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e 2)=1+e 2.
- -

1 又当 x∈(0,+∞)时,0< x<1, e 1 - - 所以当 x∈(0,+∞)时, xh(x)<1+e 2,即 g(x)<1+e 2. e 综上所述结论成立.

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