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【金识源】高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案 新人教A版必修1


2.1.1

指数与指数幂的运算

教学目标:1.理解 n 次方根、根式、分数指数幂的概念; 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质; 3.培养学生认识、接受新事 物和用联系观点看问题的能力。 教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法:学导式 教学过程: 第一课时 引例:填空

(n ? N ) ; (1) a ? a ? a ?
n *

?? ? ??? ?
n个a

a =1(a ? 0) ;
0

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N* ) n a

(2) a ? a ? a
m n

m? n

(m,n∈Z);

(am )n ? amn (m,n∈Z);
- 9 ? _____;

(ab)n ? an ? bn (n∈Z)

(3) 9 ? _____; (4) ( a ) 2 ? _____( a ? 0) ; (II)讲授新课 1.引入:

0 ? ______

a 2 ? ________

(1) 填空 (1) , (2) 复习了整数指数幂的概念和运算性质 (其中: 因为 a ? a 可看作 a ? a
m n m

?n

,

所以 a ? a ? a
m n

m ? n

可以归入性质 a ? a ? a
m n

m ? n

m ?n ;又因为 ( ) 可看作 a ? a ,所以

a b

n

a an ( ) n ? n 可以 归入性质 (ab)n ? an ? bn (n∈Z)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性 b b
质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习 n 次根式( n ? N * )的概念。 (2)填空(3) , (4)复习了平方根、立方根这两个概念。如: 2 =4 , (-2) =4 ? 3 2 =8 ? 2 叫 8 的立方根; 5 2 =32 ? 2 叫 32 的 5 次方根
2 2 2

2,-2 叫 4 的平方根 3 (-2) =-8 ? -2 叫-8 的立方根 n ? 2 =a ? 2 叫 a 的 n 次方根
3 5

分析:若 2 =4,则 2 叫 4 的平方根;若 2 =8,2 叫做 8 的立方根;若 2 =32,则 2 叫做 32 的 n 5 次方根,类似地,若 2 =a,则 2 叫 a 的 n 次方根。由此,可有: 2.n 次方根的定义: (板书) 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根( n th root),其中 n ? 1 ,且 n ? N 。
n ?

问题 1:n 次方根的定义给出了,x 如何用 a 表示呢? x ? 分析过程:

n

a 是否正确?
6

例 1. 根据 n 次方根的概念, 分别求出 27 的 3 次方根, -32 的 5 次方根, a 的 3 次方根。 (要 求完整地叙述求解过程)
1

解:因为 3 =27,所以 3 是 27 的 3 次方根;因为 ( ?2) 5 =-32,所以-2 是-32 的 5 次方根;
3

因为 (a 2 ) 3 ? a 6 ,所以 a 是 a 的 3 次方根。
2 6

结论 1:当 n 为奇数时(跟立方根一样) ,有下列性质:正数的 n 次方根是正数,负数的 n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a 的 n 次方根可表示为 x ? 从而有: 3 27 ? 3 , 5 ? 32 ? ?2 , 3 a 6 ? a 2 例 2. 根据 n 次方根的概念, 分别求出 16 的 4 次方根, -81 的 4 次方根。 解:因为 2 ? 16 , (?2) 4 ? 16 ,所以 2 和-2 是 16 的 4 次方根;
4

n

a。

因为任何实数的 4 次方都是非负数,不会等于-81,所以-81 没有 4 次方根。 结论 2:当 n 为偶数时(跟平方根一样) ,有下列性质:正数的 n 次方根有两个且互为相反 数,负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为: ? n a (a ? 0) 其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根, ? n a 表示 a 的负的 n 次方根。 例 3.根据 n 次方根的概念,分别求出 0 的 3 次方根,0 的 4 次方根。 解:因为不论 n 为奇数,还是偶数,都有 0 =0,所以 0 的 3 次方根,0 的 4 次方根均为 0。 结论 3:0 的 n 次方根是 0,记作 n 0 ? 0,即n a 当 a=0 时也有意义。 这样,可在实数范围内,得到 n 次方根的性质: 3.n 次方根的性质: (板书)
n ? ? a , n ? 2k ? 1 x?? (k ? N *) n ? ? a , n ? 2 k ?
n

其中 n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。

注意: 根式是 n 次方根的一种表示形式, 并且, 由 n 次方根的定义, 可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质: (板书) ① (n a) ? a ,即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。
n

问题 2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么? 例 4:求 3 (?2) 3 ,
5

25



4

34



(?3) 2

由所得结果,可有: (板书) ② n an ? ?

?a, n为奇数; ?| a |, n为偶数

性质的推导如下:

2

性质①推导过程: 当 n 为奇数时, x ? n a ,由xn ? a得(n a )n ? a 当 n 为偶数时, x ? ?n a ,由x n ? a得(n a )n ? a 综上所述,可知: (n a ) n ? a 性质②推导过程: 当 n 为奇数时,由 n 次方根定义得: a ?
n

an

当 n 为偶数时,由 n 次方根定义得: a ? ?n a n 则 | a |?| ? n a n |? n a n 综上所述: ( n a ) n ? ?

?a , n为奇数 ?| a | ,n为偶数

注意:性质②有一定变化,大家应重点掌握。 (III)例题讲解 例 1.求下列各式的值:
3 3 ( 1 ) (- 8) 2 (2) (- 10 ) 4 4 ( 3) ( 3-?)

(4) (a ? b) 2 (a>b)

注意:根指数 n 为奇数的题 目较易处理,要侧重于根指数 n 为偶数的运算。 (III)课堂练习:求下列各式的值 (1) 5 ? 32 (2) (?3) 4 (3) ( 2 ? 3 ) 2 (4) 5 ? 2 6

(IV)课时小结 通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。 (V)课后作业 1、书面作业: a.求下列各式的值
3 ( 1 ) -27

(2) a 6

2 ( 3) (?-4)

(4) (

x ?1 2 ) 3? x

b.书 P69 习题 2.1 A 组题第 1 题。 2、预习作业: a.预习内容:课本 P59—P62。 b.预习提纲: (1)根式与分数指数幂有何关系? (2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?

3

第二课时 1.填空
5 (1) 3 ? 64 ? ______, 32 ? _______ ;(2) 4 81 ? ______, ?4 81 ? ______;

3 12 (3) (4 3) 4 ? ______, (5 6 ) 5 ? ______ ; (4) 5 a10 ? _____, a ? _______ ;

5 (5) 5 (? 2) ? ___,7 (?3) 7 ? _____; (6) 6 (?4) 6 ? ____,4 5 4 ? ______ .

(II)讲授新课 分析: 对于 “填空” 中的第四题, 既可根据 n 次方根的概念来解: ? (a 2 ) 5 ? a10 ,? 5 a10 ? a 2 ; 也可根据 n 次方根的性质来解: 5 a 10 ? 5 (a 2 ) 5 ? a 2 。 问题 1:观察 5 a10 ? a 2 , 4 a12 ? a 3 ,结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系? 即: 当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时, ? 5 a 10 ? a 5 ? a 2 , 4 a 12 ? a 3 ? a 4 , 根式可以写成分数指数幂的形式。 问题 2:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形 式?如: 3 a 2 ? a 3 是否可行? 分析:假设幂的运算性质 (a ) ? a
m n
2

10

12

2

mn

对于分数指数幂也适用,那么 (a ) ? a
2 2

2 3 3

2 ?3 3

? a 2 ,这

说明 a 3 也是 a 2 的 3 次方根, 而 3 a 2 也是 a 的 3 次方根 (由于这里 n=3, a 的 3 次方根唯一) , 于是 3 a 2 ? a 3 。这说明 3 a 2 ? a 3 可行。 由此可有: 1.正数的正分数指数幂的意义:<板书>
2 2

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1 )
注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是要注意被开方数 a 的幂指数 n 与 根式的根指数 n 的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题 3:在上述定义中,若没有“a>0”这个限制,行不行? 分析:正例: (?8) 3 ? 3 ? 8 ? ?2, 5 (?2)10 ? (?2) 5 ? (?2) 2 ? 4, (?2) 3 ? 3 (?2) 2 等等; 反例: (?8) 3 ? 3 ? 8 ? ?2, (?8) 6 ? 6 (?8) 2 ? 2, 而实际上 ?
12
n

m n

1

10

2

1

2

1 3

2 ;又如: 6

4

12 3 4 12 4 4 ? ( ? 8) ? ( ? 8) ( ? 8) , (? 8) ? 4 812 ? 4 ( 83) ? 83 。这样就产生了混乱,因此

“a>0”这个限制不可少。至于 (?8) ?

1 3

3

? 8 ? ?2 ,这是正确的,但此时 (?8) 不能理解

1 3

4

为分数指数幂,
10 5

1 2 不能代表有理数(因为不能改写为 ) ,这只表示一种上标。而 3 6
2

那是因为 (?2)10 ? 210 , (?2) 2 ? 2 2 , 负号内部消化了。 (?2) 5 ? (?2) 5 , (?2) 3 ? 3 (?2) 2 ,

问题 4:如何定义正数的负分数指 数幂和 0 的分数指数幂? 分析:正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿;0 的分数指数幂与 0 的非 0 整数幂的意义相仿。 2.负分数指数幂:<板书>

a

?

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)

3.0 的分数指数幂:(板书) 0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂无意义(为什么?) 。 说明: (1 )分数指数幂的意义只是一种规定,前面所举的例子只表示这种规定的合理性; (2)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数; (3)可以验证整数指数幂的运算性质,对于有理数幂也同样适用,即(板书)

ar as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) ; (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
(4) 根式与分数指数幂可以进行互化 : 分式指数幂可以直接化成根式计算,也可利用
m m n

(a n ) n ? a

n?

? a m 来计算;反过来,根式也可化成分数指数幂来计算。

(5)同样可规定 a p (p ? 0, p是无理数)的意义: ① a 表示一个确定的实数; ② 上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关念和证明从略; ③ 指数概念可以扩充到实数指数(为下一小节学习指数函数作铺垫) 。 (III)例题讲解(投影 2)
2 -3 100 2 ,( ) ,( 例 2. 求值:8 3 , - 1
p

1 4

16 -3 )4 81

分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。

1 =10-1= ; 10 解: 3 3 (- ) 1 -3 16 - 2 4? 2 -3 27 -3 (-2) ? (-3) ( ) =(2-2) =2 =2 6 =64;( ) 4=( ) 4 =( ) = 。 4 81 3 3 8
3=2 8 3 =(2 3) 3?

2

2

2 3

=2 2 =4; 100 2 =( 102) 2=10



1



1

1 2? (- ) 2

例 3 .用分数指数幂的形式表示下列各式:

a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中a ? 0)
分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
5

解:

a2 ? a ? a2 ? a 2 ? a
2

1

2?

1 2 2 3

? a2; ?a3;
3 11

5

a3 ? 3 a 2 ? a3 ? a 3 ? a
1 1

3?

a a ? (a ? a 2 ) 2 ? (a 2 ) 2 ? a 4 .
(IV)课堂练习 课本 P63 练习:1、2、3、4 (V)课时小结 通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用 有理指数幂的运算性质。 (V)课后作业 1、书面作业:课本 P69 习题 2.1A 组题第 2,3,4. 2、预习作业 (1)预习内容:课本 P61 例题 5。 (2)预习提纲: a.根式的运算如何进行? b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值,有哪些常用技巧? 教学后记

3 1

第三课时 教学目标 1.掌握根式与分数指数幂的互化; 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值; 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点:有理指数幂运算性质运用。 教学难点:化简、求值的技巧 教学方法:启发引导式 教学过程 (I)复习回顾 1.分数指数幂的概念,以及有理指数幂的运算性质 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质
m n

a

? n am

ar as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) ;

a

?

m n

? n a m=

1
n

am

(ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q)

6

(a ? 0, m, n ? N*, 且n ? 1)

(ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)

2.用分数指数幂表示下列各式(a>0,x>0)
5

a2

1
4

x
6

x

x

( a )3

(II)讲授新课 例 1.计算下列各式(式中字母都是正数)

(1)(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 );

2

1

1

1

1

5

(2)(m 4 n ? 8 ) 8 .

1

3

分析: (1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并 且要注意符号。 (2)题先按积的乘方计算,后按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤。 对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示, 没有特别要求, 就用分数指数幂的形式表示。 如果有特殊要求,可根据要求给出结果,但: ① 结果不能同时含有根式和分数指数;②不能同时含有分母和负指数; ③ 根式需化成最简根式。

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )
解: ? [2 ? (?6) ? (?3)]a
2 1 1 ? ? 3 2 6

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2)(m n )
1 4 8

1 4

3 8 8 ? 3 8 3

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? (m ) (n )
3 ?3

? 4ab ? 4a;
0

m2 ? m ?n ? 3 n

例 2.计算下列各式:

(1)

a2 a a
3 2

(a ? 0);

(2)(3 25 ? 125) ? 4 5

分析: (1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算。 (2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算。 解:

(1)
5 6

a2 a ? 3 a2

?

a2 a ?a
1 2 3 2

?a

1 2 2? ? 2 3

(2)( 3 25 ? 125) ? 4 5 ? (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 53 ? 54 ? 52 ? 54 ? 53
5 5 2 1 3 1 2 1 ? 4

2

3

1

? 52

3 1 ? 4

? a ? 6 a5 ;
例 3.求值:

? 512 ? 5 4 ? 12 55 ? 5 4 5.

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ;(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
分析: (1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;

7

解:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2) 2 ? (( 3 ? 2)) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (2 ? 2) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2) ? 2 2 注意:此题开方后先带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值符号。
1 1 3 1 3 6 (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12=2 ? 3 2 ? ( ) ? (3 ? 22) 2

=2

1 1 1- + 3 3

? 32

1

1 1 + + 3 6

=2 ? 3=6

要求:例 3 学生先练习,后讲评,讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 (III)课堂练习 计算下列各式:

1 4 1 -3 ( 1 ) 162 -( ) -( ) 16 2 4 (2) [?5 ? 3 ? ( ) 0 ]? 2 15
要求:学生板演练习,做完后老师讲评。 (IV)课时小结 通过本节学习,要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值,并掌握一定的解 题技巧,如凑完全平方、寻求同底幂等方法。 (V)课后作业 第二教材有关题目

1

3

8


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