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2017创新导学案新课标高考总复习专项演练:第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-6 Word版


2-6

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2014· 福建)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )

1?x - 【解析】由题意得 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象过(3,1)点,可解得 a=3.选项 A 中,y=3 x=? ?3? , 显然图象错误;选项 B 中,y=x3,由幂函数图象可知正确;选项 C 中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象 不符;选项 D 中,y=log3(-x)的图象与 y=log3x 的图象关于 y 轴对称.显然不符.故选 B. 【答案】 B 2.(2015· 湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 【解析】 方法一:函数 f(x)的定义域为(-1,1), 任取 x∈(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x), 则 f(x)是奇函数. 1 1 2 又∵当 x∈(0,1)时,f′(x)= + = >0, 1+x 1-x 1-x2 ∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选 A. 方法二:同方法一知 f(x)是奇函数. )

当 x∈(0,1)时,f(x)=ln

2 1+x 2-(1-x) =ln =ln?1-x-1?. ? ? 1-x 1-x

2 ∵y= (x∈(0,1))是增函数,y=ln x 也是增函数, 1-x ∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选 A. 方法三:同方法一知 f(x)是奇函数. 任取 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln ∵(1-x1x2+x1-x2)-(1-x1x2+x2-x1)=2(x1-x2)<0, 且(1+x1)· (1-x2)>0,(1+x2)(1-x1)>0, 1-x1x2+x1-x2 ∴0< <1, 1-x1x2+x2-x1 ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选 A. 【答案】 A 1 3.已知 x=ln π ,y=log52,z=e- ,则( 2 A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y D.y<z<x ) (1+x1)(1-x2) 1-x1x2+x1-x2 =ln . (1+x2)(1-x1) 1-x1x2+x2-x1

【解析】 ∵x=ln π>ln e,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 1 1 1 1 1 ∵z=e- = > = ,∴ <z<1. 2 2 e 4 2 综上可得,y<z<x. 【答案】 D 4.(2015· 重庆)函数 f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是( A.-3,1] B.(-3,1) )

C.(-∞,-3]∪1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 【解析】 由对数的真数大于 0,构造不等式进行求解. 要使函数有意义,只需 x2+2x-3>0, 即(x+3)(x-1)>0,解得 x<-3 或 x>1. 故函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞). 【答案】 D log x,x>0, ? ? 2 5.设函数 f(x)=?log1(-x),x<0,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ? ? 2 )

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

a>0, ? ? 【解析】 f(a)>f(-a)??log2a>log1 a或 ? 2 ? a<0, ? ? ? ?a<0, ?a>0, ? ?log1(-a)>log2(-a)?? 或? ?a>1 ?-1<a<0 ? ? ? 2 ? ?a>1 或-1<a<0. 【答案】 C 6.(2015· 四川)lg 0.01+log216 的值是________. 【解析】 利用对数的运算法则求解. lg 0.01+log216=lg 【答案】 2
x 1 ? ?3 ,x≤0, ? 7.已知函数 f(x)= 则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围是________. ? ?log2x,x>0,


1 +log224=-2+4=2. 100

【解析】 当 x≤0 时,3x 1>1?x+1>0,∴-1<x≤0;


当 x>0 时,log2x>1?x>2,∴x>2. 综上所述,x 的取值范围为-1<x≤0 或 x>2. 【答案】 {x|-1<x≤0 或 x>2} 8.(2015· 浙江)若 a=log43,则 2a+2 a=________.


【解析】 先化简 a=log43,再代入 2a+2 a,利用对数恒等式求值.


1 ∵a=log43=log22 3= log23=log2 3, 2 ∴2a+2 a=2log2 3+2-log2 3= 3+2log2


3 3 4 3 = 3+ = . 3 3 3

【答案】

4 3 3

9.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 【解析】 (1)要使函数 f(x)有意义.
?x+1>0, ? 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ?

故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},

且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x 所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. 10.已知函数 y=log1(x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围. 2 【解析】 函数 y=log1(x2-ax+a)是由函数 y=log1 t 和 t=x2-ax+a 复合而成. 2 2 因为函数 y=log1 t 在区间(0,+∞)上单调递减, 2 a? 而函数 t=x2-ax+a 在区间? ?-∞,2?上单调递减, 又因为函数 y=log1(x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数, 2 a ? ? 2≤2, 所以? ? ?( 2)2- 2a+a≥0,

?a≥2 2, 解得? ?2- 2a+a≥0,
即 2 2≤a≤2( 2+1). B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.(2015· 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b B.a<c<b D.c<b<a )
-m|

-1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.5 3),b=

【解析】 先求得字母 m 的取值,再求得 a,b,c 的值并比较大小. 由 f(x)=2|x
-m|

-1 是偶函数可知 m=0,

所以 f(x)=2|x|-1. 所以 a=f(log0.5 3)=2|log0.5 3|-1=2log23-1=2, b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4, c=f(0)=2|0|-1=0,所以 c<a<b. 【答案】 C 12.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( )

1? ?1? A.f? ?3?<f(2)<f?2? 1? ?1? B.f? ?2?<f(2)<f?3? 1? ?1? C.f? ?2?<f?3?<f(2) 1? ?1? D.f(2)<f? ?2?<f?3? 2-x+x 【解析】 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称, 2 又当 x≥1 时,f(x)=ln x, 所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大, 1 ? ?1 ? ∵|2-1|>? ?3-1?>?2-1?, 1? ?1? ∴f? ?2?<f?3?<f(2). 【答案】 C 13.(2015· 浙江)计算:log2 2 =________,2log23+log43=________. 2

【解析】 利用对数恒等式及对数运算法则求解. log2 2 =log2 2-log22 2

1 1 = -1=- ; 2 2 2log23+log43=2log23·2log43 =3×2log43=3×2log2 3=3 3. 1 【答案】 - 3 3 2 14.(2016· 甘肃省兰州市、张掖市高三联考)函数 f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使 f(1)· f(2)· f(3)· …· f(k) 为整数的数 k(k∈N*)叫做企盼数,则在区间 1,2 016]内这样的企盼数共有________个. ln(n+2) 【解析】 ∵logn+1(n+2)= , ln(n+1) ∴f(1)· f(2)· f(3)· …· f(k) = ln(k+2) ln(k+2) ln 3 ln 4 ln 5 · · ·…· = ln 2 ln 3 ln 4 ln 2 ln(k+1)

=log2(k+2), ∵1 024=210,2 048=211,且 log24=2, ∴使 f(1)· f(2)· f(3)· …· f(k)为整数的数有 10-1=9 个. 【答案】 9 15.设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b. (1)求方程 f(x)=1 的解;

a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:ab=1, >1. 2 (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f? 使 g(b0)=0. 【解析】 (1)由 f(x)=1 得,lg x=±1, 1 所以 x=10 或 . 10 (2)证明:结合函数图象,由 f(a)=f(b)可判断 a∈(0,1),b∈(1,+∞). a+b? ? 2 ?所得到的关于 b 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),

从而-lg a=lg b,即 ab=1. 1 +b 2 a+b b 又 = > 2 2 a+b 故 ab=1, >1. 2 (3)证明:由已知可得 b=? a+b?2 ? 2 ? , 1 ·b b 1 因 ≠b?. =1? ? b ? 2

1 得 4b=a2+b2+2ab,得 2+b2+2-4b=0, b 1 g(b)= 2+b2+2-4b, b 因为 g(3)<0,g(4)>0,根据零点存在性定理可知,函数 g(b)在(3,4)内一定存在零点,即存在 b0∈(3, 4),使 g(b0)=0.


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