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辅助角公式 教案

辅助角公式 2010-4-7 一、教学目标 1、会将 a sin α + b cos α ( a 、 b 不全为零)化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学重点与 三、教学过程 1、复习引入 两角和与差的正弦公式
sin (α + β ) =_________________________________ sin (α β ) =_________________________________

π 口答:利用公式展开 sin α + =_____________________ 4


反之,若要将

2 2 sin α + cos α 化简为只含正弦的三角比的形式,则可以是 2 2

2 2 sin α + cos α =_____________________________ 2 2

尝试:将以下各式化为只含有正弦的形式,即化为 A sin(α + β ) ( A > 0 ) 的形式 (1)
3 1 sin α + cos α 2 2

(2) sin α 3 cos α

2、辅助角公式推导 对于一般形式 a sin α + b cos α ( a 、 b 不全为零) ,如何将表达式化简为只含有正 弦的三角比形式?
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 ( a a +b
2 2

sin α +

b a + b2
2

cos α )

= a 2 + b 2 sin(α + β )
a cos β = a2 + b2 其中辅助角 β 由 确定,即辅助角 β (通常 0 ≤ β < 2π )的终边经过点 b sin β = a 2 + b2
( a, b)

------------------我们称上述公式为辅助角公式, 其中角 β 为辅助角。

3、例题反馈 例1、试将以下各式化为 A sin(α + β ) ( A > 0 ) 的形式. (1)
3 1 sin α cos α 2 2

(2) sin α + cosα

(3) 2 sin α + 6 cos α

(4) 3 sin α 4 cosα

例 2、试将以下各式化为 A sin(α + β ) ( A > 0, β ∈ [ π , π ) )的形式. (1) sin α cos α

(2) cosα sin α

(3) 3 sin α cos α

例 3、若 sin( x + 50 ) + cos( x + 20 ) = 3 ,且 0 ≤ x < 360 ,求角 x 的值。 例 4、若 3 sin( x +
π
12 ) + cos( x +

π
12

)=

2 π ,且 < x < 0 ,求 sin x cos x 的值。 3 2

4、小结思考 (1)公式 a sin α + b cos α = a 2 + b2 sin (α + β ) 中角 β 如何确定? (2)能否会将 a sin α + b cos α ( a 、 b 不全为零)化为只含有余弦 余弦的 余弦 一个三角比的形式? 5、作业布置
π π (1)、 3 sin α + 3cos α + =________________ 化为 A sin(α + β ) ( A > 0 ) 的形式) ( 6 6


(2) 、关于 x 的方程 2 sin x + 5 cos x = (3)、已知 sin x 3 cos x =

1 有解,求实数 k 的取值范围。 k

4m 6 ,求实数 m 的取值范围。 4m

(4)、利用辅助角公式化简: 四、教学反思

sin 80° 1 + 3 tan10° cos 50°

(

)


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