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函数定义域求法例题及练习


函数定义域求法
一、基本的函数定义域限制
(1)分式中的分母不为 0; (2)偶次方根下的数(或式)大于或等于 0; (3)零指数幂的底数不为 0; (4)指数式的底数大于 0 且不等于 1; (5)对数式的底数大于 0 且不等于 1,真数大于 0; (6)正切函数 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? ?? ; 2 ?

(7)余切函数 y ? cot x ?x ? R, 且x ? k? , k ? ? ? ; (8)反三角函数的定义域 函数 y ? arcsin x 的定义域是 ?? 1,1? ,值域是 ??

? ? ?? ; , ? 2 2? ?

函数 y ? arccos x 的定义域是 ?? 1,1? ,值域是 ?0, ? ? ; 函数 y ? arctan x 的定义域是 R ,值域是 ( ?

, ); 2 2 函数 y ? arc cot x 的定义域是 R ,值域是 (0, ? ) 。

? ?

二、抽象函数的定义域求法
1.已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知, 要构成复合函数, 则内层函数的值域必须包含于外层函数 的定义域之中,因此可得其方法为:若 f ( x) 的定义域为 x ? ?a, b ? ,求出 f [ g ( x)] 中

a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。
2.已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义 域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x ?] 的定义域。 4.已知 f ( x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 其定义域为各基本函数定义域的交 集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。

1

1.已知 f ( x) 的定义域,求 f ?g ( x)? 的定义域
例题 2.1:已知函数 f ( x) 的定义域为 ?? 1,5?,求 f (3x ? 5) 的定义域. 分析:该函数是由 u ? 3x ? 5 和 f (u ) 构成的复合函数,其中 x 是自变量, u 是中间变 量,由于 f ( x) 与是 f (u ) 同一个函数,因此这里是已知 ? 1 ? u ? 5 ,即 ? 1 ? 3x ? 5 ? 5 ,求

x 的取值范围.
解:? f ( x) 的定义域为 ?? 1,5?,

? ?1 ? 3x ? 5 ? 5 , 4 10 ? ?x? . 3 3
故函数 f (3x ? 5) 的定义域为 ? ,

? 4 10? . ?3 3 ? ?

2.已知 f ?g ( x)? 的定义域,求 f ( x) 的定义域
2 例题 2.2:已知函数 f ( x ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0,3? ,求函数 f ( x) 的定义域. 2 分析:令 u ? x ? 2 x ? 2 ,则 f ( x ? 2x ? 2) ? f (u) ,
2

由于 f (u ) 与 f ( x) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域. 解:由 0 ? x ? 3 , 得1 ? x ? 2 x ? 2 ? 5 .
2

令 u ? x ? 2x ? 2 ,
2

则 f ( x ? 2x ? 2) ? f (u) , 1 ? u ? 5 .
2

故 f ( x) 的定义域为 ?1,5? .

2

3.已知 f ?g ( x)? 的定义域,求 f ?? ( x)? 的定义域
例题 2.3:已知函数 f (2 x ? 3) 的定义域是 (?1,3) ,求函数 f ( x ? 6) 的定义域 解:由已知函数 f (2 x ? 3) 的定义域是 (?1,3) 得 ?1 ? x ? 3 ,

1 2

? ? 5 ? 2x ? 3 ? 3
? ?5 ? 1 x ? 6 ? 3, 2

? ? 22 ? x ? ?6
所以函数 f ( x ? 6) 的定义域为 (?22,?6)

1 2

4.运算型的抽象函数
例题 2.4:若 f ( x) 的定义域为 ?? 3,5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域. 解:由 f ( x) 的定义域为 ?? 3,5? , 则 ? ( x) 必有 ?

?? 3 ? ? x ? 5 ?? 3 ? 2 x ? 5 ? 5

解得 ? 4 ? x ? 0 . 所以函数 ? ( x) 的定义域为 ?? 4,0? .

3

三、逆向型(已知定义域求参数取值范围)
例题 3.1:已知函数 y ? mx2 ? 6mx? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。 分析: 函数的定义域为 R , 表明 mx ? 6mx? m ? 8 ? 0 , 使一切 x ? R 都成立, 由x 项
2
2

的系数是 m ,所以应分 m ? 0 或 m ? 0 进行讨论。 解:当 m ? 0 时,函数的定义域为 R ; 当 m ? 0 时, mx ? 6mx ? m ? 8 ? 0 是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条
2

件是

?m ? 0 ? 2 ?? ? (?6m) ? 4m(m ? 8) ? 0
综上可知 0 ? m ? 1 。

? 0 ? m ?1

例题 3.2:已知函数 f ( x) ?

kx ? 7 的定义域是 R ,求实数 k 的取值范围。 kx ? 4kx ? 3
2

解:要使函数有意义,则必须 kx ? 4kx ? 3 ? 0 恒成立,
2

因为 f ( x) 的定义域为 R ,即 kx ? 4kx ? 3 ? 0 无实数解
2

2 ①当 k ? 0 时, ? ? 16k ? 4 ? 3k ? 0 恒成立,解得 0 ? k ?

3 ; 4

②当 k ? 0 时,方程左边 ? 3 ? 0 恒成立。 综上 k 的取值范围是 0 ? k ?

3 。 4

4

函数定义域求法练习
1.求下列函数的定义域: (1) y ?
x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

(2) y ? 1 ? (

x ?1 2 ) x ?1

(3) y ?

1 1? 1 x ?1

? (2 x ? 1) ? 4 ? x
0

2

? x 2 ? 3x ? 4 (4) y ? x

2.若函数 f ( x) 的定义域为 ?? 2,2? ,则函数 f ( x ) 的定义域是 3.已知 f ( x ) ?
1 ,求函数 f ? f ( x)? 的定义域 x ?1

4.设函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为

;函数

f ( x ? 2) 的定义域为

; ;函数

5.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 ?? 2,3? ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是
1 f ( ? 2) 的定义域为 x

6.已知函数 f (2 x ? 3) 的定义域是 (?1,4) ,函数 f (1 ? 3x) 的定义域 7.已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0,4? ,求函数 y ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ) 的定义域为

5

8.已知函数 f ( x) 的定义域是 ( a, b) ,求函数 F ( x) ? f (3x ? 1) ? f (3x ? 1) 的定义域

9.若函数 f ( x) ? (a 2 ? 2a ? 3) x 2 ? (a ? 3) x ? 1的定义域和值域都为 R , 则 a 的取值范 围是 10.若函数 f ( x) 的定义域为 ?a, b? ,且 b ? ? a ? 0 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定 义域是
1 11. 若 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 ?0,1? , 则 f ( x ? a) ? f ( x ? a)( 0 ? a ? ) 的 定 义 域 2

是 12.已知函数 y ?


2? x 的定义域是 R , 则实数 a 的范围是 ax ? (a ? 1) x ? 1
2

13.若函数 y ? ax2 ? ax ? 14.若函数 f ( x) ?

1 的定义域是 R ,则实数 a 的取值范围是 a

x?4 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围 mx ? 4mx ? 3
2

15.若函数 f ( x) ? mx2 ? mx? 1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围

6


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