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函数定义域求法例题及练习

函数定义域求法

一、基本的函数定义域限制

(1)分式中的分母不为 0; (2)偶次方根下的数(或式)大于或等于 0; (3)零指数幂的底数不为 0; (4)指数式的底数大于 0 且不等于 1; (5)对数式的底数大于 0 且不等于 1,真数大于 0;

(6)正切函数 y ? tan x ?? x ? R,且x ? k? ? ? , k ? ??? ;

?

2

?

(7)余切函数 y ? cot x ?x ? R,且x ? k? , k ? ? ?;
(8)反三角函数的定义域

函数

y

?

arc

sin

x

的定义域是

??1,1?

,值域是

????

? 2

,

? 2

? ??



函数 y ? arccosx 的定义域是 ??1,1?,值域是?0,? ? ;
函数 y ? arctanx 的定义域是 R ,值域是 (? ? , ? ) ; 22
函数 y ? arc cot x 的定义域是 R ,值域是 (0,? ) 。

二、抽象函数的定义域求法

1.已知 f (x) 的定义域,求复合函数 f [g?x?] 的定义域
由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数
的定义域之中,因此可得其方法为:若 f (x) 的定义域为 x ? ?a,b? ,求出 f [g(x)] 中
a ? g(x) ? b 的解 x 的范围,即为 f [g(x)]的定义域。
2.已知复合函数 f [g?x?] 的定义域,求 f (x) 的定义域 方法是:若 f [g?x?] 的定义域为 x ? ?a,b? ,则由 a ? x ? b 确定 g(x) 的范围即为 f (x)
的定义域。
3.已知复合函数 f [g(x)] 的定义域,求 f [h(x)] 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [g?x?] 定义 域求得 f ?x? 的定义域,再由 f ?x? 的定义域求得 f [h?x?] 的定义域。
4.已知 f (x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交

1

集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
1.已知 f (x) 的定义域,求 f ?g(x)?的定义域 例题 2.1:已知函数 f (x) 的定义域为 ??1,5?,求 f (3x ? 5) 的定义域.

分析:该函数是由 u ? 3x ?5 和 f (u) 构成的复合函数,其中 x 是自变量, u 是中间变

量,由于 f (x) 与是 f (u) 同一个函数,因此这里是已知 ?1 ? u ? 5,即 ?1 ? 3x ? 5 ? 5 ,求

x 的取值范围.
解:? f (x) 的定义域为 ??1,5?,

??1? 3x ?5 ? 5 ,

? 4 ? x ? 10 .

3

3

故函数

f

(3x

?

5)

的定义域为

? ??

4 3

, 10 3

? ??



2.已知 f ?g(x)?的定义域,求 f (x) 的定义域 例题 2.2:已知函数 f (x2 ? 2x ? 2) 的定义域为 ?0,3? ,求函数 f (x) 的定义域.
分析:令 u ? x2 ? 2x ? 2 ,则 f (x2 ? 2x ? 2) ? f (u) , 由于 f (u) 与 f (x) 是同一函数,因此 u 的取值范围即为 f (x) 的定义域. 解:由 0 ? x ? 3 , 得1? x2 ? 2x ? 2 ? 5 . 令u ? x2 ? 2x ? 2, 则 f (x2 ? 2x ? 2) ? f (u) ,1 ? u ? 5 .
故 f (x) 的定义域为 ?1,5?.

2

3.已知 f ?g(x)?的定义域,求 f ??(x)?的定义域
例题 2.3:已知函数 f (2x ? 3) 的定义域是 (?1,3) ,求函数 f (1 x ? 6) 的定义域 2
解:由已知函数 f (2x ? 3) 的定义域是 (?1,3) 得 ?1? x ? 3, ? ?5 ? 2x ?3 ?3 ? ?5? 1 x?6 ? 3,
2 ? ? 22 ? x ? ?6 所以函数 f (1 x ? 6) 的定义域为 (?22,?6)
2

4.运算型的抽象函数
例题 2.4:若 f (x) 的定义域为 ?? 3,5?,求?(x) ? f (?x) ? f (2x ? 5) 的定义域.

解:由 f (x) 的定义域为 ?? 3,5?,

则?

(

x)

必有

?? ???

3 3

? ?

?x 2x

?5 ?5?

5

解得 ? 4 ? x ? 0 .

所以函数?(x) 的定义域为 ?? 4,0?.

3

三、逆向型(已知定义域求参数取值范围)
例题 3.1:已知函数 y ? mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

分析:函数的定义域为 R ,表明 mx2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 ,使一切 x ? R 都成立,由 x 2 项 的系数是 m ,所以应分 m ? 0 或 m ? 0 进行讨论。

解:当 m ? 0 时,函数的定义域为 R ;

当 m ? 0 时, mx2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条

件是

?m ? 0 ??? ? (?6m)2 ? 4m(m ? 8) ? 0 综上可知 0 ? m ? 1。

?0? m?1

例题

3.2:已知函数

f

(x)

?

kx? 7 kx2 ? 4kx?

3

的定义域是

R

,求实数

k

的取值范围。

解:要使函数有意义,则必须 kx2 ? 4kx ? 3 ? 0 恒成立,

因为 f (x) 的定义域为 R ,即 kx2 ? 4kx ? 3 ? 0 无实数解
①当 k ? 0 时, ? ? 16k 2 ? 4 ? 3k ? 0 恒成立,解得 0 ? k ? 3 ; 4
②当 k ? 0 时,方程左边 ? 3 ? 0恒成立。 综上 k 的取值范围是 0 ? k ? 3 。
4

4

函数定义域求法练习

1.求下列函数的定义域: (1) y ? x2 ? 2x ?15
x?3 ?3

(2) y ? 1? ( x ?1)2 x ?1

(3)

y

?

1?

1 1

? (2x ?1)0 ?

4 ? x2

x ?1

(4) y ? ? x2 ? 3x ? 4 x

2.若函数 f (x) 的定义域为 ?? 2,2?,则函数 f ( x ) 的定义域是 3.已知 f (x) ? 1 ,求函数 f ? f (x)?的定义域
x ?1
4.设函数 f (x) 的定义域为 ?0,1?,则函数 f (x2 ) 的定义域为

;函数

f ( x ? 2) 的定义域为



5.若函数 f (x ?1) 的定义域为 ?? 2,3?,则函数 f (2x ?1) 的定义域是
f ( 1 ? 2) 的定义域为 x
6.已知函数 f (2x ? 3) 的定义域是 (?1,4) ,函数 f (1? 3x) 的定义域

;函数

7.已知函数 f (x) 的定义域为 ?0,4?,求函数 y ? f (x ? 3) ? f (x2 ) 的定义域为

5

8.已知函数 f (x) 的定义域是 (a,b) ,求函数 F(x) ? f (3x ?1) ? f (3x ?1) 的定义域

9.若函数 f (x) ? (a2 ? 2a ? 3)x2 ? (a ? 3)x ?1的定义域和值域都为 R ,则 a 的取值范

围是
10.若函数 f (x) 的定义域为 ?a,b?,且 b ? ?a ? 0 ,则函数 g(x) ? f (x) ? f (?x) 的定

义域是

11. 若 函 数 f (x) 的 定 义 域 是 ?0,1? , 则 f (x ? a) ? f (x ? a)(0 ? a ? 1) 的 定 义 域
2





12.已知函数

y

?

ax2

?

2?x (a ?1)x

?1

的定义域是

R

,

则实数 a 的范围是

13.若函数 y ? ax2 ? ax ? 1 的定义域是 R ,则实数 a 的取值范围是 a

14.若函数

f

(x)

?

mx2

x ?

?4 4mx ? 3

的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围

15.若函数 f (x) ? mx2 ? mx ?1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围
6