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根的判别式与韦达定理专项


根的判别式与韦达定理专题
一、导入:脑经急转弯 (1)猪圈里的猪出来了,怎么办?{猜一个明星} (2)猪圈里的猪又出来了,怎么办?{猜一个明星} (3)猪圈里的猪出第 3 次来了,怎么办?{猜一个明星} 二、知识点回顾: 1、一元二次方程及其根的含义 2、一元二次方程的常用解法 三、知识点精讲 1、判别式的意义及一元二次方程根的情况。 (1)定义:把 符号“ (2)一元二次方程。 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 2. ? 的“来历” : 任 何 一 个 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? ( 0 a ? 0) 用 配 方 法 将 其 变 形 为
b2 - 4ac b 2 b2 - 4ac 2 (x ? ) ? ? a ? 0,? 4a ? 0 ,因此对于被开方数 来说,只需研究 b 2 - 4ac 为如下 2 2 4a 2a 4a

叫做一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的判别式,通常用 ”表示。 ; ; 。

几种情况的方程的根。 (1)当 b 2 - 4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根。 即 (2)当 (3)当 3.韦达定理: (1) x1 ? x 2 ? 4.根的符号问题: (1)两根同为正: (2)两根同为负: (3)两根一正一负: (2) x1x 2 ? ; ; 。 时,方程有两个相等的实数根,即 时,方程没有实数根。 。

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1

例 1、不解方程,判别下列方程的根的情况: (1) 2x 2 +3x-4=0 ; (2) 16y2 +9=24y ;
-7x=0 (3) 5(x 2 +1)

【变式训练 1】 : 1.不解方程,判别下列方程的情况: (1) (5) ;

2 例 2、方程 kx ? 3x ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,则 k=



【变式训练 2】 : 1.若关于 x 的一元二次方程 kx 2 ? 4 x ? 3 ? 0 有实数根,则 k 的非负整数值是 。

2.已知 k>0 且一元二次方程 3kx 2 ? 12x ? k ? ?1 有两个相等的实数根,则 k=



3.当 k 不小于-

2 1 时,一元二次方程 ?k ? 2?x ? ?2k ? 1?x ? k ? 0 根的情况是 4



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2

例 3、关于 x 的方程 mx2 ? 2?3m ? 1?x ? 9m ? 1 ? 0 有两个实数根,则 m 的范围是



【变式训练 3】 :
2 1. 如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ?m ? 2?x ? 2?m ? 1?x ? m ? 0 只 有 一 个 实 数 根 , 那 么 方 程

mx2 ? ?m ? 2?x ? ?4 ? m? ? 0 的根的情况是



2 2. 如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 mx ? 2?m ? 2?x ? m ? 5 ? 0 没 有 实 数 根 , 那 么 关 于 x 的 方 程

?m ? 5?x 2 ? 2?m ? 2?x ? m ? 0 的实根个数是



计算对称式的值:
例 4、若 x1, x 2 是方程 x ? 2x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

(1) x12 ? x 22 ;

(2)

1 1 ? ; x1 x 2

(3) (x1 ? 5)(x 2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x 2 | .

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3

【变式训练 4】 : 1.设 x1,x2 是方程 2x2-6x+3=0 的两根,则 x12+x22 的值为_________

2.已知 x1,x2 是方程 2x2-7x+4=0 的两根,则 x1+x2= (x1-x2)2=

,x1·x2=



3.已知方程 2x2-3x+k=0 的两根之差为 2

1 ,则 k= 2

例 5、关于 x 的方程 x 2 ? ?m ? 2?x ? m ? 3 ? 0 的两根的平方不大于 25,求最大的整数 m。

【变式训练 5】 : 1.关于 x 的方程 x 2 ? ?2m ? 3?x ? m 2 ? 6 ? 0 的两实根之积是两实根之和的 2 倍,求 m 的值。

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4

2. 设 x1 , x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ?2m ? 1?x ? ?m ? 2?2 ? 0 的两实根,当 m 取什么值时,

?x1 ? x2 ?2 ? 15?

1 3.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ( k ? 1)x ? k 2 ? 1 ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的值. 4

(1) 方程两实根的积为 5; (2) 方程的两实根 x1 , x 2 满足 | x1 |? x 2 .

例 6、已知一元二次方程 x 2 ? 10x ? 21? a ? 0 。 (1)当 a 为何值时,方程有一正、一负两个根?(2) 此方程会有两个负根吗?为什么?

【变式训练 6】 : 1.已知关于 x 的一元二次方程 2 x 2 ? 4 x ? m ? 1 ? 0 有两个非零实数根。 (1)求 m 的取值范围; (2)两个非零实数根能否同为正数或同为负数?若能,请求出相应的 m 的取值范围,若不能,请 说明理由。

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5

四、巩固练习 (一)选择题: (每个 4 分,共计 20 分) 2 1、已知 x=1 是一元二次方程 x +bx-2=0 的一个根,则方程的另一个根是( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 2 2、已知一元二次方程 x -4x+3=0 两根为 x1、x2, 则 x1·x2=( ) A. 4 B. 3 C. -4 D. -3 2 3、已知关于 x 的一元二次方程 x +bx+a=0 有一个根是-a(a≠0),则 a-b 的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 b a 4、已知 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x 2 ? nx ? 1 ? 0 的两实数根,则式子 ? 的值是( a b A. n 2 ? 2 B. ? n 2 ? 2 C. n 2 ? 2 ) D. x 2 ? x ? 6 ? 0 D. ? n 2 ? 2



5、以 3 和—2 为根的一元二次方程是( A. x 2 ? x ? 6 ? 0 B. x 2 ? x ? 6 ? 0

C. x 2 ? x ? 6 ? 0

(二)填空题: (每个 4 分,共 20 分) 1.若一元二次方程 x2+(a2-2)x-3=0 的两根是 1 和-3,则 a= ; 2 2 2.若关于 x 的一元二次方程 x +2(m-1)x+4m =0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么 m 的值 为 ;
2 3.已知 x1 , x 2 为一元二次方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两实根,则 x1 ? 3x 2 ? 20 ? __________ .

4.一元二次方程 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 与 x 2 ? 2x ? 6 ? 0 的所有实数根的和为___________. 5.关于 x 的一元二次方程方程 ax 2 ? 2x ? 1 ? 0 的两个实数根同号,则 a 的取值范围是__________. (三)解答题: (60 分) 1、关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2。 (1)求 k 的取值范围; (2)如果 x1+x2-x1x2<-1 且 k 为整数,求 k 的值。

2 2.m 取什么值时,方程 ?m ? 2?x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根?

2 3.m 取什么值时,方程 x ? ?m ? 3?x ? ?m ? 1? ? 0 有两个不相等的实数根? 2

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6

4.已知:关于 x 的方程 2x(mx-4)=x2-6 有两个实数根,求 m 的最大整数值.

5.求证:不论 m 为任何实数,关于 x 的方程 x -2mx+6m-10=0 总有两个不相等的实数根.

2

6.已知

a ? 4 ? b ?1 ? 0

2 ,当 k 取何值时,方程 kx ? ax ? b ? 0 有两个不相等的实数根?

五、思维拓展 1.已知方程 ?x ? 1??x ? 2? ? k ,k 为实数,且 k≠0,不解方程证明:
2

(1)这个方程有两个不相等的实数根; (2)一个根大于 1,另一个根小于 1。

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7


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