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对数函数图像和性质-函数专题平移和变换


函数专题:对数函数图象及其性质(1)
学习目标: 1.知道对数函数的定义 2.能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质

3.会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点:对数函数的图象、性质及其应用
学习过程: 一、复习引入: 1、指对数互化关系:

2、 y ? a ( a ? 0且 a ? 1) 的图象和性质
x

王新敞
奎屯

新疆

a>1
6 5

0<a<1
6 5

图 象
1
-4 -2

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

性 质

(1)定义域:__R___ (2)值域:__y>0_____ (3)恒过点___(0,1)______ (4)在 R 上是_增___函数 (4)在 R 上是__减____函数 (5)底数互为倒数的对数函数,图象关于_y 轴___对称 (6)图象在第一象限,随着底数 a 的变大,越靠近__y____轴

3、我们曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的
函数,这个函数可以用指数函数 y = 2 表示 现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到 1 万个, 10 万个??细胞?
王新敞
奎屯 新疆

x

二、新课学习: 1.对数函数的定义:

一般地,形如 y= log a x (a>0 且 a≠1)的函数叫对数函数。 练习:判断以下函数是对数函数的为(D)
A 、 y ? log 2 (3 x ? 2) B 、 y ? log ( x ?1) x C 、 y ? log 1 x 2 D 、 y ? ln x
3

2.对数函数的图象研究: 画出下列函数的图象 f ( x ) ? log 2 x ,

f ( x ) ? log 1 x 图像略
2

3.对数函数的性质: 对比指数函数图像和性质,得出对数函数的性质 a>1

王新敞
奎屯

新疆

0<a<1

图 象

定义域:__x>0_______ 值域:___R_____ 性 质 恒过点__(1、0)________,即当 x=_1__时,y=__0___ 在(0,+∞)上是_增_____函数 在(0,+∞)上是_减____函数

底数互为倒数的对数函数,图象关于_x 轴___对称 图象在第一象限,随着底数 a 的变大,越靠近__x____轴 分析说明: 根据定义知,指数函数和对数函数互为反函数,所以定义域值域互换可得;图像关于 y=x 直线对称,所以对数函数的性质及图像就一目了然了。 三、知识应用: 例 1:求下列函数的定义域: (1)y ? log
a

x ;

2

(2)y ? log a ( 4 ? x ) ;

(3)y ?

log 0.5 ? 4 x ? 3 ?

练习: (1) y ? log 5 (1 ? x )

(2) y ?

1 log 2 x

例 2. 比较下列各组数中的两个值大小 (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 (2) log 0.3 1.8 , (3) log a 5.1 ,
(4) log 3 5 , log 0.3 2.7 log a 5.9 ( a >0,且 a ≠1) log 2 5

解析技巧: 对数比较大小的步骤:1.与 0 比其乐无穷满足口诀“同步为正,不同步为负” 2.与 1 比其乐融融 满足口诀“每个对数换为 log a a 比较” 3.同底比~ 应用公式“换底公式①、②”

四、思考:
2 函 数 f(x)=log ( x ? ax ? 1)的 定 义 域 为 R, 求 a 的 取 值 范 围 ? 2

函数专题:对数函数图象的平移和变换(2)
探究:如何画 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象?
y ? log 2 ( x ? 1) 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到:

y ? log 2 x ? ? y ? log 2 ( x ? 1)
新知:1.对数函数图象的变换( a ? 0且 a ? 1, c 为常数). ① 左右平移变换. (针对 x 变量的变化:符合口诀“左加右减” ) ( ) y ? log a x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? y ? log a ( x ? c ) . ② 上下平移变换.(针对 y 变量的变化:符合口诀“上加下减” ) ( ) y ? log a x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? y ? log a x ? c . ③ y ? log a x 与 y ? log a ( ? x ) 的图象关于 y 轴
y ? log
a

对称.

x 与 y ? ? log a x 的图象关于 x 轴
a

对称.

y ? log

x 与 y ? ? log a ( ? x ) 的图象关于原点中心对称.
a
( ) x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? log ?

④ y ? log ⑤ y ? log

a

x . x .

解析说明:针对 x 加绝对值,图像关于 y 轴对称。
a
( ) x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? log ?

a

解析说明:针对 y 加绝对值,图像关于 x 轴对称。 总结结论:函数图像的变换总是连接函数的两大主角同时出现,就像自变量与函数值不可 分离又相互对应一样。 所以, 当我们看到 x 身上发生变化时, 那一定出现了关于 y 的变换。 反之,也成立。

拓展深入: 怎样才能直接写出对数型函数的单调区间. 【知识链接】 对数函数图象的平移和变换来探究. 【典型例题】 例 1.直接写出下列函数的单调区间. (1) y ? log (4) y ? log
( x ?1 ) 2

; (2) y ? log

(? x) 2

; (3) y ? log
x

(? x?2) 2



1 2

(5) y ? log x? 2;

1 3

; (6) y ? log

2

x .

解析技巧:观察函数的单调区间,画出函数图像最直观。 步骤:1.画出指定底数的对数函数图像; 2.根据平移变换口诀进行变换; 3.找准分段点,直接写出增减区间。

变式思考: 例 2.讨论方程 log 3 ( x ? 3) ? a ( a 为 常 数 ) 根的情况.

作业练习: 1. 指出下列函数那些是对数函数.

(1) y ? log 2 ( x ? 1) ( 2 ) y ? 2 log

1 2

x ( 3) y ? log

4

x ?1
1 2

( 4 ) y ? log 4 x ( 5 ) y ? log
2

x

x ( 6 ) y ? log

( 2 a ?1 )

x(a ?

且 a ? 1)

2. 求下列函数的定义域. (1) y ? log 3 x 2 ; (2) y ? log a (3 ? x ) ; (3) y ? log 2 (3 ? x ) ; (4) y ? log 1 ( 4 x ? x ) .
2 2

3. (1) y ? log 2 (3 x ? 5) 的定义域是 (2) y ? log 2 ( x ? 2 x ) 的定义域是
2

4.已知 y ? f ( x ) 的定义域为 (1, 2 ] ,求函数 y ? f (log

2

x ) 的定义域.

5. 比较下列实数的大小. (1) log 2 0 .5, log 2 0 .6 ; (2) log 0.3 2.8, log 0.3 2.7 ; (3) log 0 .4 0 .7 , log 1 .1 0 .8 ; (4) log 2 3, log 3 2 ;. .

6. 在坐标系中分别画出下列函数的图像,并写出其单调区间。 (1) y ? log 3 x -1 (2) y ? l og 1 x 的图像.
3

附页:答案 对数函数图象及其性质(1)答案
?3 ? 例一: (1)x≠0; (2)x<4; (3) ? ,? 1 ?4 ?

1 (2) ? 0,1? ? ?1, ? +? 练习: (1) ? - ? ,? ;

例二: (1)<; (2)>; (3)当 a>1 时,<;当 0<a<1 时,>; (4)< 四、思考答案:a>2 或 a<-2 对数函数图象的平移和变换(2)答案
+? 0 -2 例一: (1) ? -1, ? 单调递增; (2) ? - ?,? 单调递减; (3) ? - ? , ? 单调递减; +? +? 0 (4) ? 0, ? 单调递减; (5) ? - ?,? 单调递增, ? 0, ? 单调递减; +? (6) ? 0,1 ? 单调递减, ?1, ? 单调递增

变式思考:例 2:由口诀可得函数图像,当 a>0 时,方程有两个不相等的实根; 当 a=0 时,方程有一个实根; 当 a<0 时,方程没有实数根。 作业练习:答案 1. (6) 2. (1)x≠0; (2)x<3; (3)x<2; (4)0<x<4.
?5 ? + 3. (1) ? , ? ? ; (2) ?3 ?

4.

? 2, 4 ?

5. (1)<; (2)<; (3)>; (4)>
1 +? 6. 画图略, (1)单调区间是: ? - ? ,? 单调递减, ? 1, ? 单调递增; +? (2)单调区间是: ? 0,1 ? 单调递减, ?1, ? 单调递增


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