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专题三第12讲空间图形的基本关系与公理_图文

专题 三 立体几何初步

第12讲 空间图形的基本 关系与公理
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1.四个公理
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么 这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一 个平面(即可以确定一个平面).
公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么 它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. www.gzjxw.net

2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类. ???共面直线?????平相行交直直线线 ?? 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点
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(2)异面直线所成的角. ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ②范围:__???0_,__α2_???__.
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3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内 三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补.
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1.平面基本性质的应用 【例1】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、 F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 证明:(1)连接EF,CD1,A1B.因为E、F分别是 AB、AA1的中点,所以EF∥BA1.
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又A1B∥D1C,所以EF∥CD1,所以E、C、D1、F四 点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF<CD1, 所以CE与D1F必相交, 设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD, 得P∈平面ABCD, 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, 所以P∈直线DA.所以CE、D1F、DA三线共点.
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剖析:公理 1 是判断一条直线是否在某个平面内的依 据;公理 2 是判断或证明点、线共面的依据;公理 3 是证 明三线共点或三点共线的依据.
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2.判断空间两直线的位置关系 【例2】 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平 面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中 点,在这个正四面体中, ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE 与 MN 垂直.
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以上四个命题中,正确命题的序号是________. 解析:把正四面体的平面展开图还原, 如图所示,GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异 面直线,GH 与 MN 成 60°角,DE⊥MN.

答案:②③④

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剖析:空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、 平行和垂直的判定.对于异面直线,可采用直接法或反证 法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、 公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关 系,往往利用线面垂直的性质来解决.
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3.求两条异面直线所成的角 【例 3】 (1)如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点 E, F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的 角是( )
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A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

(2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=

AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( )

(导学号 54840045)

A.30° C.60°

B.45° D.90°

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解析:(1)连接 AB1,易知 AB1∥EF,连接 B1C,B1C 与 BC1 交于点 G,取 AC 的中点 H,连接 GH,则 GH∥ AB1∥EF.设 AB=BC=AA1=a,连接 HB, 在△GHB 中,易知 GH=HB=GB= 22a, 故所求的两直线所成的角即为∠HGB=60°.
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(2)如图,可补成一个正方体,

所以 AC1∥BD1. 所以 BA1 与 AC1 所成角为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形,

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所以∠A1BD1=60°.即 BA1 与 AC1 所成角的大小为 60°. 答案:(1)B (2)C
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剖析:(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法, 平移法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
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(2)求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、 三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、 中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等 进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题, 进而求解.
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1.下列命题:

①经过三点确定一个平面;

②梯形可以确定一个平面;

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;

④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.

其中正确命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

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解析:对于①,未强调三点不共线,故①错误;② 正确;对于③,三条直线两两相交,如空间直角坐标 系,能确定三个平面,故③正确;对于④,未强调三点 共线,则两平面也可能相交,故④错误.
答案:C
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2.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满 足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定
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解析:在如图所示的长方体中, 不妨设 l2 为直线 AA1,l3 为直线 CC1, 则直线 l1,l4 可以是 AB,BC; 也可以是 AB,CD;也可以是 AB,B1C1. 故选 D. 答案:D
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3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 ()
A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 解析:由直线、平面的位置关系分析可知两条直线 相交、平行或异面都有可能. 答案:D
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4.如图所示,在三棱锥 PABC 的六条棱所在的直线 中,异面直线共有( )
A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.6 对
解析:根据异面直线的定义观察图形,可知有三对异

面直线,分别是 PB 与 AC、PA 与 BC、PC 与 AB,故选

B. 答案:B

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5.在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,若 AB=BB1,D 是 CC1 的中点,则 CA1 与 BD 所成角的大小是( )
π 5π A.3 B.12 C.π2 D.71π2 解析:取 A1C1 的中点 E,连接 DE,BE,设该棱柱 的棱长为 2a,
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则有 BD= 5a,DE= 2a,BE= 7a,所以 BD2+ DE2=BE2,
所以∠EDB=π2,根据异面直线所成角的定义,可知 CA1 与 BD 所成角的大小是π2,故选 C.
答案:C
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6.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体, 有以下判断:
①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB; ③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF,其中正确判断的 序号是( )
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A.①③ C.①②④

B.②③ D.②③④

解析:由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的

直观图如图所示:

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在正方形 EFMN 中,两条对角线互相垂直, 所以 FN⊥EM. 正方体 ABCD 中,MC⊥平面 EFMN,FN?平面 EFMN, 所以 FN⊥MC.
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??FN⊥EM,

由?

?FN⊥平面 EMC,

??FN⊥MC

故 FN⊥EC;

同理 AF⊥EC,

所以 EC⊥平面 AFN,故①正确;由 CN∥BE,则

CN∥平面 AFB,故②正确;

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由 图 可知 BM∥DE 显 然 错误 , 故 ③ 不正 确 ;由 BD∥NF 得 BD∥平面 NCF,DE∥CF 得 DE∥平面 NCF, 由面面平行判定定理可知平面 BDE∥平面 NCF,故④正 确,故选 C.
答案:C
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7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置 关系:
(1)AD1所在的直线与平面BCC1B1的位置关系是 ________;
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________.
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解析:(1)AD1∥BC1,AD1?平面 BCC1B1,BC1?平面 BCC1B1
所以 AD1∥平面 BCC1B1. (2)平面 A1BC1 与平面 ABCD 有公共点 B,故相交. 答案:(1)平行 (2)相交
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8.如图所示,点A是平面BCD外一点,AD=BC= 2,E、F分别是AB,CD的中点,且EF= 2 ,则异面直 线AD和BC所成的角为________.

解析:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.

因为E,F分别是AB,CD的中点,故EG∥BC且EG

=12BC=1,FG∥AD,且FG=12AD=1.

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即∠EGF为所求的角,又EF= 2 ,由勾股定理逆 定理可得∠EGF=90°.

答案:90°

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9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB =AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于____.

解析:如图,延长CA到D,使得AD=AC,连接

A1D,BD,则四形边形ADA1C1为平行四边形,所以∠

DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又三角形A1DB

为等边三角形,所以∠DA1B=60°.

答案:60°

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10.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在 AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1, CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点. (1)解:因为AEEB=CFFB=2,所以EF∥AC, 所以 EF∥平面 ACD,而 EF?平面 EFGH,
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平面 EFGH∩平面 ACD=GH, 所以 EF∥GH,所以 AC∥GH. 所以HAHD=GCGD=3. 所以 AH∶HD=3∶1.
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(2)证明:因为 EF∥GH,且EAFC=13,GAHC=14, 所以 EF≠GH,所以四边形 EFGH 为梯形. 令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH?平面 ABD, 又 P∈FG,FG?平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 P∈BD.所以 EH、FG、BD 三线共点.
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