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艺术生三角函数


三角函数知识点归纳
1、任意角的三角函数: (1)定义:以角 α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 α 的终边上任取 一个异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r , 则 sin α = ; cos α = ; tan α = .

如:终边在直线 y = x 上第一象限三个三角函数为______________________________; 终边在直线 y = 3 x 上第三象限三个三角函数为______________________________. (2)三角函数的符号口诀: (3)特殊角的三角函数:

α
sin α cos α tan α

0

π
6

π
4

π
3

π
2

π

3π 2

2、同角三角函数的关系:

(1)平方关系:________________________ ( sin 2 α = 1 ? cos 2 α , cos 2 α = 1 ? sin 2 α ) ; 商式关系:_____________________. 同角三角函数的基本关系式的主要应用是:已知一个角的三角函数, 同角三角函数的基本关系式的主要应用是:已知一个角的三角函数,求此角的其它三角函数 即知一求二; 值.即知一求二; 注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: (3, , )(6, , )(5, , ) 注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: ,4,5)( ,8,10)( ,12,13)(8, ( ; ; ; , 15,17)等等. , )等等. 3.三角函数的诱导公式: sin x 角x

cos x

tan x

角x

sin x

cos x

tan x

π ?α
π +α

2π ? α 2 kπ + α
-1-

π

+α 2 3π ?α 2 3π +α 2 推导以上公式的工具:

π

2



助 记 口 诀 同角三角函数的关系与诱导公式的运用: 同角三角函数的关系与诱导公式的运用 已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值. 如 sin 300 0 = 注意:1、该过程可以简单概括为: 6、和角与差角公式、二倍角公式、升降幂公式: (1)和、差角公式:
sin(α ± β ) = _____________________________; cos(α ± β ) = _____________________________; tan(α ± β ) = _____________________________.

(2)二倍角公式(升幂公式) : sin 2α = ________________ cos 2α = _________________ = _________________ = __________________. (3)倍角公式的变形(降幂公式) :
sin 2 α = _______________________; cos 2 α = ______________________. (sin α ± cos α ) 2 = __________________________________________.



8、辅助角公式的应用: a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + θ ) (其中 θ 角所在的象限由 a 、 b 的符号确定, θ 角的值由
b 确定)在求最值、化简时起着重要作用. a 9、三角函数的性质 (1)三角函数的性质表解: tan θ =
函 性 质 数

y = sin x

y = cos x

y = tan x

图象

定义域 值域 当 x= 最值

( k ∈ Ζ) 时 ,

当 x=
ymax = 1 ;当 x=

时,

ymax = 1 ;当 x=

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周期性

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .

既无最大值也无最小值

-2-

奇偶性 在

( k ∈ Ζ ) 上是增函数;
单调性 在



上是增函数; 在

( k ∈ Ζ ) 上 是 减 函 ( k ∈ Ζ ) 上是增函数.
数.



( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对称中心 ( kπ , 0 )( k ∈ Ζ ) 对称性 对称轴 x = kπ +

π
2

(k ∈ Ζ)

π ? ? 对称中心 ? kπ + , 0 ? ( k ∈ Ζ ) 2 ? ?
对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )

? kπ ? 对称中心 ? , 0? (k ∈ Ζ) ? 2 ?

无对称轴

: 11、三角函数变换( A > 0, ω > 0, ? > 0 ) (1) 将函数 y = sin x 的图象上所有点向左 (右) 平移__________个单位长度, 得到函数 y = sin ( x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的__________倍(纵 坐标不变) ,得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸 长(缩短)到原来的______倍(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 注意:在对横坐标进行伸缩或平移时,只对__________进行变换. 注意:在对横坐标进行伸缩或平移时,只对__________进行变换. __________进行变换 高考题演练
1. (辽宁卷理)7.设 sin ( A. ?

7 9

π 1 +θ) ,则 sin 2θ = = 4 3 1 1 B. ? C. 9 9

D.

7 9

2. (全国新课标理) 5) ( 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y = 2 x 上, cos 2θ = 则 (A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

3. (浙江理)6.若 0<α<

π π π 1 π β 3 β , - <β <0 , cos( + α ) = , cos( ? ) = ,则 cos(α + ) = 2 2 4 3 4 2 3 2
3 3 sin 2α 的值等于 cos 2 a
C.4 D.6 C.

A.

3 3

B. ?

5 3 9

D. ?

6 9

4. (福建理)3.若 tan α =3,则 A.2 B.3

( . 5.(辽宁卷理)16.已知函数 f (x) =Atan( ω x+ ? ) ω > 0, | ? |<
-3-

π
2

) ,y= f (x)

的部分图像如下图,则 f (

π
24

)=



6. (全国大纲卷理)(14)已知 a∈(

π
2

, π ),sinα=

5 4 ,则 tan2α= ? 5 3

7. (重庆理)14.已知 sin α =

1 ? π? + cos α ,且 α ∈ ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2α 的值为__________ π? ? sin ? α ? ? 4? ?

8. (江苏)7.已知 tan( x +

π
4

) = 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x

9. (江苏)9.函数 f ( x ) = A sin( wx + ? ), ( A, w, ? 是常数, A > 0, w > 0) 的部分图象如图所示,则 f(0)=

10(2010 浙江理数) ( 浙江理数) (11)函数 f ( x ) = sin(2 x ?

π
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是_____________ . 4 ,则 tan a = 3


11( 理数) (13)已知 a 是第二象限的角, tan(π + 2a ) = ? 11(2010 全国卷 2 理数)

tan α = ?
12(2010 全国卷 2 文数) ( 文数) (13)已知α是第二象限的角, 13(2010 浙江文数) ( 浙江文数) (12)函数 f ( x ) = sin (2 x ?
2

1 2 ,则 cosα=__________


π
4

) 的最小正周期是

14( 文数) 14(2010 全国卷 1 文数)(14)已知 α 为第二象限的角, sin a =

3 ,则 tan 2α = 5 3 π 15( 理数) 15(2010 全国卷 1 理数)(14)已知 α 为第三象限的角, cos 2α = ? ,则 tan( + 2α ) = 5 4

.

.

16(2010 湖南文数)16. (本小题满分 12 分) ( 湖南文数) 已知函数 f ( x) = sin 2 x ? 2sin 2 x (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合。

-4-

17(2010 浙江理数) ( 浙江理数) (18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C = ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

18( 北京文数) (15) (本小题共 13 分) 18(2010 北京文数) 已知函数 f ( x) = 2 cos 2 x + sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

π

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值

19( 天津理数) (17) (本小题满分 12 分) 19(2010 天津理数) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x ? 1( x ∈ R ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? π? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) =

6 ?π π ? , x0 ∈ ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

-5-


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