当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大版必修1 (1)_图文

第二章 函数

§3 函数的单调性(一)

学习目标
1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间,判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

函数的单调性

思考
画出函数f(x)=x、f(x)=x2的图像,并指出f(x) =x、f(x) =x2的图 像的升降情况如何?

答案 两函数的图像如右: 函数f(x)=x的图像由左到右是
上升的;函数 f(x) = x2 的图像

在y轴左侧是下降的,在y轴右
侧是上升的.
答案

梳理
单调性是相对于区间来说的,函数图像在某区间上上升,则函数在该
区间上为增函数.反之则为减函数.

很多时候我们不知道函数图像是什么样的,而且用上升下降来刻画单
调性很粗糙.所以有以下定义:

一般地,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数
x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A 上是 增加的 ,有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递增的 .

在函数 y =f(x) 的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任意两数 x1 ,x2∈A ,
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是 减少的,

有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递减的 .
如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,就称函数y

=f(x)在该子集上具有单调性;如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的
或是减少的,我们分别称这个函数是增函数或减函数,统称为单调函数.

知识点二

函数的单调区间

思考
我们已经知道f(x)=x2在(-∞,0]上是减少的,f(x)= (-∞,0)上是减少的,这两个区间能不能交换? 答案

1 在区间 x

f(x)=x2的减区间可以写成(-∞,0),而f(x)= 1 的减区间 x 1 (-∞,0)不能写成(-∞,0],因为0不属于f(x)= 的定义域. x

答案

梳理
一般地,有下列常识: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题, 所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端 点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D?定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大.

题型探究

类型一 例1

求单调区间并判断单调性

如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单

调区间,以及在每一单调区间上,它是增加的还是减少的?



y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)

在区间[-5,-2],[1,3]上是减少的,在区间[-2,1],[3,5]上是增加的.
解答

反思与感悟
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的 子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开, 不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是增加 的,要么是减少的,不能二者兼有.

跟踪训练1 写出函数y=|x2-2x-3|的单调区间,并指出单调性.

2 ? x ? -2x-3,x<-1或x>3, 先画出 f(x)=? 的图像,如图. 2 ? ?-?x -2x-3?,-1≤x≤3

所以y=|x2-2x-3|的单调区间有(-∞,

- 1] , [ - 1,1] , [1,3] , [3 ,+ ∞ ) ,其中
递减区间是 ( - ∞ ,- 1] , [1,3] ;递增区

间是[-1,1],[3,+∞).

解答

类型二

证明单调性

命题角度1 证明具体函数的单调性

例2 证明f(x)= x 在其定义域上是增函数.

证明

反思与感悟
运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间 上任意取 x1 , x2 且 x1<x2 的条件下,转化为确定 f(x1) 与 f(x2) 的大小,要牢 记五大步骤:取值→作差→变形→定号→小结.

1 跟踪训练2 求证:函数f(x)=x+ 在[1,+∞)上是增函数. x

证明

命题角度2 证明抽象函数的单调性
例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0

时,f(x)>1.求证:函数f(x)在R上是增函数.

证明

反思与感悟

因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但可以借助

题目提供的函数性质来确定 f(x1)-f(x2)的大小,这时就需要根据解题需
要对抽象函数进行赋值.

跟踪训练3

已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)

=f(m)· f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:f(x)在R上是减函数.

证明

类型三

单调性的应用

命题角度1 利用单调性求参数范围
例4
? ??3a-1?x+4a,x<1, 若函数 f(x)=? 是定义在 R 上的减函数,则 a ? ?-ax,x≥1

的取值范围为 1 1 A.[8,3) 1 C.[8,+∞) 1 B.(0,3) 1 1 D.(-∞,8]∪[3,+∞)
解析 答案

反思与感悟

分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要接口处不 能反超.另外,函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的.

跟踪训练4

已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数

a ≤ 1 或a ≥2 a的取值范围为_____________. 解析 由于二次函数开口向上, 故其增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],而f(x)在区间[1,2]上单调, 所以[1,2]?[a,+∞)或[1,2]?(-∞,a],即a≤1或a≥2.

解析

答案

命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的 取值范围.
? ?-1<1-a<1, ? f(1-a)<f(2a-1)等价于?-1<2a-1<1, ? ? ?1-a>2a-1,



2 解得 0<a<3,

2 即所求 a 的取值范围是 0<a<3.

解答

反思与感悟

若已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1),f(x2)的大小; 由f(x1),f(x2)的大小,可得x1,x2的大小.

跟踪训练5 在例5中若函数y=f(x)的定义域为R,且为增函数,f(1-a)<

f(2a-1),则a的取值范围又是什么? 解 ∵y=f(x)的定义域为R,且为增函数,
2 f(1-a)<f(2a-1),∴1-a<2a-1,即 a>3, 2 ∴所求 a 的取值范围是(3,+∞).

解答

当堂训练

1.函数y=f(x)在区间[-2,2]上的图像如图所示,则此函数的增区间是

A.[-2,0]

B.[0,1] D.[-1,1]



C.[-2,1]

1

2

3

4

5

答案

6 2.函数y= 的减区间是 x A.[0,+∞)

B.(-∞,0]

C.(-∞,0),(0,+∞) √

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

1

2

3

4

5

答案

3. 在下列函数 f(x) 中,满足对任意 x1 , x2∈(0 ,+ ∞) ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的是 A.f(x)=x2 C.f(x)=|x| B.f(x)=



1 x D.f(x)=2x+1

1

2

3

4

5

答案

4. 已知函数 y = f(x) 满足: f( - 2)>f( - 1) , f( - 1)<f(0) ,则下列结论正确 的是 A.函数y=f(x)在区间[-2,-1]上递减,在区间[-1,0]上递增 B.函数y=f(x)在区间[-2,-1]上递增,在区间[-1,0]上递减 C.函数y=f(x)在区间[-2,0]上的最小值是f(-1) D.以上的三个结论都不正确



1

2

3

4

5

答案

5.若函数f(x)在R上是减函数,且f(|x|)>f(1),则x的取值范围是 A.x<1 B.x>-1 D.x<-1或x>1



C.-1<x<1

1

2

3

4

5

答案

规律与方法
1.若f(x)的定义域为D,A?D,B?D,f(x)在A和B上都递减,未必有f(x)在 A∪B上递减. 2.对增函数的判断,对任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2),也可以用一个不等式 来替代:
f?x1?-f?x2? (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 或 >0.对减函数的判断,对任意 x1<x2,都 x1-x2 有 f(x1)>f(x2),相应地也可用一个不等式来替代:(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 或 f?x1?-f?x2? <0. x1-x2

3.熟悉常见的一些单调性结论,包括一次函数,二次函数,反比例函 数等. 4.若f(x) , g(x)都是增函数, h(x)是减函数,则:①在定义域的交集 (非 1 空 ) 上, f(x) + g(x) 递增, f(x) - h(x) 递增,②- f(x) 递减,③ 递减 f?x? (f(x)≠0). f?x1? 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x),证明单调性时,也可以作商 f?x2? 与1比较.

本课结束


相关文章:
...3函数的单调性(一)课件北师大版必修1 (1)_图文.ppt
高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大版必修1 (1)_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数 §3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调区间、...
高中数学第二章函数3函数的单调性(二)课件北师大版必修....ppt
高中数学第二章函数3函数的单调性()课件北师大版必修1 (1) - 第二章 函
...高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大版必修1_图文_....ppt
2017_2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大版必修1_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数 §3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调...
2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一) 北师....ppt
2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一) 北师大版必修1_数学_
高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大必修1.ppt
高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大必修1_数学_高中教育_教育专区。§3 函数的单调性(一) 学习目标 1.了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数单调...
2017-2018学期高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(二....ppt
2017-2018学期高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(二) 北师大版必修1_...解答 类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[...
2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(二) 北师....ppt
2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性() 北师大版必修1_数学_高中教育_教育专区。2018 §3 函数的单调性(二) 学习目标 1.理解函数的最大(小)值...
高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1_....ppt
高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1_互联网_IT/计算机_专业...减少? 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上. (1)如果对于_任__意...
2016_2017学年高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件....ppt
2016_2017学年高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1 - §3 函数的单调性 自主学习 新知突破 如图为济南市 2014 年 1 月某天 24 小时内...
...2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一) 北....ppt
2017-2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一) 北师大版必修1_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数§3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调...
2017_2018学年高中数学第二章函数3函数的单调性一学案....doc
2017_2018学年高中数学第二章函数3函数的单调性一学案北师大版必修1(含答案) - 2017_2018学年高中数学学案北师大版必修1(含答案)
高中数学 第二章《函数的单调性》第一课时参考课件 北师大版必修1....ppt
高中数学 第二章《函数的单调性》第一课时参考课件 北师大版必修1_初三数学_数学_初中教育_教育专区。§3 函数的单调性 第1课时 定义1: 在函数y=f(x)的...
...高中数学第二章函数第3节函数的单调性课件北师大版必修1_图文_....ppt
2019-2020年高中数学第二章函数第3节函数的单调性课件北师大版必修1 - 阶 阶 段 段 一 三 §3 函数的单调性 学 阶段二 业分层测 评 1.理解函...
2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(一)学案北师大....doc
2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(一)学案北师大版必修1 - 。。。
2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学案 ....doc
2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学案 北师大版必修1_数学_...函数 y=f(x)的增区间为[-1,0),[1,2],减区间为[-2,-1), [0,1)....
高中数学第二章函数3函数的单调性(一)学案北师大版必修1.doc
高中数学第二章函数3函数的单调性(一)学案北师大版必修1_数学_高中教育_教育...-1), 答案 [-1,0) [1,2] [-2,-1) [0,1) 知识点二 函数的单调...
...2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学....doc
[配套K12]2017-2018版高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学案 北师大版必修1_数学_高中教育_教育专区。配套 K12 内容资料 3 函数的单调性(一) 学习...
版高中数学第二章函数3函数的单调性二学案北师大版必修....doc
高中数学第二章函数3函数的单调性二学案北师大版必修1(数学教案) - 3 函数的单调性(二) 学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助...
2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(二)学案北师大....doc
2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(二)学案北师大版必修1 - 。。。
...章函数2.3函数的单调性(3)课件北师大版必修1_图文.ppt
陕西省蓝田县高中数学第二章函数2.3函数的单调性(3)课件北师大版必修1 - 枚