当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学人教A版选修2-1高二数学圆锥曲线单元测试题

高中数学学习材料
(灿若寒星 精心整理制作)

高二数学圆锥曲线单元测试题 姓名______班级______得分_________ 一、选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是( )

A. y2 ? ?2x

B. y2 ? ?4x

C. y2 ? ?2x

D. y2 ? 4x

2.曲线 x2 ? y2 ? 1(m ? 6) 与曲线 x2 ? y2 ? 1(5 ? m ? 9) 的(

)

10 ? m 6 ? m

5?m 9?m

A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同

3 已知两定点 F1(?1, 0) 、F2 (1, 0) 且 F1F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是( )

A. x2 ? y2 ? 1 16 9

B. x2 ? y2 ? 1 16 12

C. x2 ? y2 ? 1 43

D. x2 ? y2 ? 1 34

4.已知双曲线

x a

2 2

?

y2 2

? 1(a ?

2) 的两条渐近线的夹角为 ? ,则双曲线的离心率为 ( 3



(A) 2 3 3

(B) 2 6 3

(C) 3

(D)2

5. 双曲线 x2 ? y2 ? 1(mn ? 0) 的离心率为 2, 有一个焦点与抛物线 y2 ? 4x 的焦点重合,则 mn 的 mn

值为( )

A. 3

B. 3

C. 16

D. 8

16

8

3

3

6. 设双曲线以椭圆 x2 ? y2 ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐 25 9

近线的斜率为( )

A. ?2

B. ? 4 3

C. ? 1 2

D. ? 3 4

7. 抛物线 y ? 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )

A. 17 16

B. 15 16

C. 7

D. 0

8

8.直线 y=x+3 与曲线 y2 - x ? x =1 交点的个数为 94

()

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9 过抛物线 y2 ? 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,

则这样的直线( ) A. 不存在 B. 有无穷多条 C. 有且仅有一条

D. 有且仅有两条

10.离心率为黄金比

5 ?1 的椭圆称为“优美椭圆”.设 2

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 是优美椭圆,F、

A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个顶点,则 ?FBA等于(



A. 60

B. 75

C. 90

D.120

11.M 是 y2 ? x 上的动点,N 是圆 (x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 1关于直线 x-y+1=0 的对称曲线 C 上的一点, 则|MN|的最小值是( )

A. 11 ?1 2

B. 10 ?1

C.2

2

D. 3 ?1

12.点 P(-3,1)在椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上,过点 P 且方向向量为 a ? (2, ?5) 的光 a2 b2
线,经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )

A. 3 3

B. 1

C. 2

D. 1

3

2

2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13.如果双曲线 5x 2 ?4 y 2 ? 20 上的一点 P 到双曲线右焦点的距离是 3,那么 P 点到左准线的距

离是



14.以曲线 y 2 ? 8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切,则这些圆必过一定点,则这

一定点的坐标是_________.

15. 设 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0)

的离心率

e?[

2,2] , 则 两 条 渐 近 线 夹 角 的 取 值 范 围



.

16.如图,把椭圆 x2 ? y2 ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部
25 16

分于 P1, P2 , P3, P4 , P5, P6 , P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,

则 P1F ? P2F ? P3F ? P4F ? P5F ? P6F ? P7F ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.求中心在坐标原点,对称轴为坐标轴且经过点(3,-2),一条渐近线的倾斜角为 ? 的双
6

曲线方程。

18.已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)。 (1)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过 点 P? 的双曲线的标准方程。

19.P 为椭圆 C: y2 a2

?

x2 b2

? 1?a

?b

? 0? 上一点,A、B 为圆 O:x2

?

y2

? b2 上的两个不同的点,

直线 AB 分别交 x 轴,y 轴于 M、N 两点且 PA ? OA ? 0 , PB ? OB ? 0 , O 为坐标原点.(1)若

椭圆的准线为 y ? ? 25 ,并且 a2 ? b2 ? 25 ,求椭圆 C 的方程.

3

| OM |2 | ON |2 16

(2)椭圆 C 上是否存在满足 PA ? PB ? 0 的点 P?若存在,求出存在时 a , b 满足的条件;若不 存在,请说明理由.

20(12 分).如图,M 是抛物线 y2 ? x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且

|MA|=|MB|.(1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值;(2)若 M 为动点,且 ?EMF ? 90 ,

求 ?EMF 的重心 G 的轨迹方程.

y M

x AB

E

F

21. 已知双曲线 C 的中点在原点,抛物线 y2 ? 8x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线

过点 C( 2, 3 ).(1) 求双曲线 C 的方程;(2) 设双曲线 C 的左顶点为 A,右焦点为 F,在第一象 限内任取双曲线上一点 P,试问是否存在常数 ?(? ? 0) ,使得 ?PFA ? ??PAF 恒成立?并证明 你的结论。

22.已知 M(-3,0)﹑N(3,0),P 为坐标平面上的动点,且直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为常数 m(m ? -1,m ? 0).(1)求 P 点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线?(2)若 m ? ? 5 , P 点的轨迹为曲
9

线 C,过点 Q(2,0)斜率为 k1 的直线

与曲线
1

C

交于不同的两点

A﹑B,AB

中点为

R,直线

OR(O

为坐标原点)的斜率为 k2 ,求证 k1k2 为定值;(3)在(2)的条件下,设 QB ? ? AQ ,且 ? ?[2,3] ,

求 1 在 y 轴上的截距的变化范围.

参考解答

一、选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.B 2.A 3. C 4.D 5.A 6.C 7.B 9.D 10.C 11.A 12.A 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13. 14 3

14.(2,0)

三、解答题

15.[ ? , ? ] 32

16.35

17.解:渐近线方程为 y ? ? 3 x ,设双曲线方程为 x2 ? 3y2 ? ? ,将点(3,-2)代入求得 ? ? ?3 , 3
所以双曲线方程为 y2 ? 1 x2 ? 1. 3

18

解:(1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为

x a

2 2

+

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 , ∴ a ? 3 5 ,

b2 ? a2 ? c2 ? 45 ? 36 ? 9,故所求椭圆的标准方程为 x 2 + y 2 ? 1; 45 9

(2)点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

P?(2,5) 、 F1 ' (0,-6)、 F2 ' (0,6)

设所求双曲线的标准方程为 x 2 a1 2

y2 -
b12

? 1 (a1

? 0,b1

? 0) ,由题意知半焦距 c1

?6,

2a1 ? | P' F1'| ? | P' F2 '| ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5 , ∴ a1 ? 2 5 ,

b12

? c12

? a12

? 36

? 20

? 16 ,故所求双曲线的标准方程为

y2 20

x2 -
16

? 1。

19.解:(1)设 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) , P(x0 , y0 ) 易求得 PA : x1x ? y1 y ? b2 , PB : x2 x ? y2 y ? b2 ,

则 x1 x0 ? y1 y0 ? b2 , x2 x0 ? y2 y0 ? b2

于是

AB :

x0 x

?

y0 y

?

b2 ( x0 y0

?

0 ),可求得 M (b2 x0

, 0)

N (0, b2 ) y0

a2 ? b2

2

2

OM ON

? a2 b4

? b2 b4

? a2 x02 ? b2 y02

b4

b4

?

a2 b2

(

x02 b2

?

y02 a2

)

?

a2 b2

? 25 16

x02 y02

再由条件 a2 ? 25 ,以及 a2 ? b2 ? c2 易得 a ? 5, b ? 4, c3

于是所求椭圆为 y2 ? x2 ? 1, 25 16

( 2 ) 设 存 在 P(x0 , y0 ) 满 足 要 求 , 则 当 且 仅 当 O B P A为 正 方 形 。 O P ? 2 b, 即

x02 ? y02 ? 2b 2 (1)



y02 a2

?

x02 b2

? 1? a

?b

?

0?

(2)

解(1)(2)得 x02

?

b2 (a2 ? 2b2 ) , a2 ? b2

y02

?

b2a2 a2 ? b2

所以 (ⅰ)当 a ? 2b ? 0 时,存在 P(x0 , y0 ) 满足要求; (ⅱ)当 0 ? b ? a ? 2b 时,不存在 P(x0 , y0 ) 满足要求.

20. 解:设 M ( y02 , y0 ) ,直线 ME 的斜率为 k(k>0),则直线 MF 的斜率为 -k, 直线 ME 的方程为

y

?

y0

?

k(x

?

y02 ). 由

?y ? ?

?

y0 ? y2

k(x ?x

?

y02 )



ky2 ? y ? y0 (1? ky0 ) ? 0 .解得 y0 ? yE ?

y0 (1? ky0 ) , k





y ? 1?ky0

E

k

? xE

?

(1? ky0 )2 k2

.同理可得

yF

? 1? ky0 ?k

,? xF

?

(1? ky0 )2 k2

.

? kEF

?

yE ? yF xE ? xF

?? 1 2 y0

(定值)

(2)当 ?EMF ? 90 时,?MAB ? 45 ,所以 k=1,由(1)得 E((1? y0 )2,1? y0 ) . F ((1? y0 )2 , ?(1? y0 )) 。

?

设重心

G(x,y),则有

?? x ?

?

xM

? xE ? xF 3

? 2 ? 3y02 3

? ??

y ? yM ? yE ? yF 3

? ? y0 3

,

消去参数 y0 得

y2 ? 1 x ? 2 (x ? 0) . 9 27

21.

解:(1)抛物线焦点为

F(2,0),设双曲线方程为

4

x2 ? b2

y2 ? b2

? 1,将点(

2,

3 )代入得 b2 ? 3 ,所

以双曲线方程为 x2 ? y2 ? 1. 3

(2)当 PF ? x 轴时,P(2,3),|AF|=1+2=3,??PFA ? 90 , ?PAF ? 45 ,此时 ? =2.

以下证明当 PF 与 x 轴不垂直时 ?PFA ? 2?PAF 成立.



P(

x0 ,

y0

),则 kPA =tan ?PAF

=

y0 x0 ?1

, kPF

?

? tan ?PFA

?

y0 x0 ?

2

.

tan2

?PAF

=

2kPA 1 ? kPA2

=

2(x0 ?1) y0 (x0 ?1)2 ? y02

.



x02

?

1 3

y02

?1



y02 ? 3(x02 ?1) 代 入 上 式 , 得

tan2 ?PAF =

2 y0

= ? y0 = tan ?PFA恒成立.

x0 ?1? 3(x0 ?1) x0 ? 2

?PFA?(0, ? ) (? , 2? ) , ?PAF ?(0, ? ) (? , ? ) ,??PFA ? 2?PAF 恒成立.

2 23

4 43

22.解:(1)由 y y ? m, 得 y2 ? m(x2 ? 9) ,若 m= -1,则方程为 x2 ? y2 ? 9 ,轨迹为圆; x?3 x?3

若 ?1? m ? 0 ,方程为 x2 ? y2 ? 1,轨迹为椭圆;若 m ? 0,方程为 x2 ? y2 ? 1 ,轨迹为双

9 ?9m

9 ?9m

曲线。(2) m ? ? 5 时,曲线 C 方程为 x2 ? y2 ? 1,设

9

95

的方程为:
1

x

?

ty

?

2 与曲线

C

方程

联立得:(5t2 ? 9) y2 ? 20ty ? 25 ? 0 ,设 A(x1, y1), B(x 2, y 2)

,则

y1

?

y2

?

?20t 5t2 ? 9

①,

y1 y2

?

?25 5t2 ? 9

②,可得

18 R(5t2 ?

9

,

?10t

5t

2

?

) 9



k1k2

?

1 t

(?

5t 9

)

?

?

5 9



(3)由

BQ

?

?QA



y2

?

??

y1

代入①②得:

(1? ?) y1

?

?20t 5t2 ? 9

③,

?

y12

?

25 5t2 ?

9

④,

③式平方除以④式得:

1 ?

?

2

?

?

?

16t 2 5t2 ? 9

,而

1 ?

?2??



? ?[2,3]

上单调递增,

1 2

?

1 ?

?

2

?

?

?

4 3



3 4

?

5t 2 ? 9 16t 2

?

2




1

y

轴上的截距为

b, b2

?

(?

2)2 t

=

4 t2

?[ 28 9

,12]



b ?[?2 3, ? 2 7 ] [ 2 7 , 2 3] 。

3

3