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“函数极值导数”教研课反思论文

“函数的极值与导数”教研课的反思 2012 年 2 月河南省郑州市 101 中学开展了“两地三校”的同课 异构活动,笔者作为一名来自上海的授课教师参加了此次活动。这 次活动中通过听课专家和同行们的指点,笔者感觉受益良多。下面 将本次授课内容做一个简单的呈现和反思,以期得到同行们的指 教。 一、教学目标 知识与技能目标. 1、理解函数极值的定义。 2、掌握利用导数求函数极值的方法。 3、能较熟练地求出已知函数的极值,能解决与函数极值有关的基 本综合问题。 过程与方法目标 1、让学生结合实际经验探索出函数的极值与导数值变化之间的关 系。 2、通过提出组合问题,让学生充分的理解函数的极值的定义。 3、通过对比原函数的增减性和导函数的正负情况,结合函数的图 像,给函数的极值以直观的验证。 情感、态度与价值观目标: 1、通过观察图像特征,培养学生细心提炼有关特征的良好习惯。 2、通过对函数极值的研究,提高学生分析和解决问题的能力和严 谨的学习态度。 二、教学重点难点 重点:函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤。 难点:函数在某点取得极值必要条件和充分条件。 三、教学方法 本节课力求在贯彻“以学生为主体”的教学理念下,以问题探究 为主要形式,依照学生的认知规律,采用自主学习与合作探究相结 合的模式。教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的 关系。对于学生所学习的效果,采用问题和练习的形式给以检查和 纠正。 四、教学过程 情景引入: 教师:问题 1:下图为 000768 西飞国际近 15 个月的收盘价走势图 以及抽象出的对应函数图象 观察图形,函数 y=f(x)在 a、b、c、d、e、 f 等点的函数值分别与 这些点附近的函数值有什么关系? 学生:其中 a 、c、e、g 这些点对应的函数值与其附近的点所对 应的函数值相比是最大值;b、d、f、h 这些点对应的函数值与其附 近的点所对应的函数值相比是最小值。 教师追问:能否称 为函数的最大值, 为函数的最小值? 学生:不能,因为函数的最值是对函数的整个定义域而言的,具 有整体性;而上述这些值是局部范围的,所以不能用最值来刻画。 定义给出: 函数的极值: 教师:1.极大值:一般地,设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点 学生:2.极小值:一般地,设函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 定义深化:: 教师:问题 2:结合图像和定义思考下列三个简单的问题。 (1) (2) (3) 大? 教师引导,学生归纳总结: (1)极值是一个局部概念函数极值只是某个点的函数值与它附近 点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内 极大值或极小值可以不止一个,在整个定义区间可能有多个极值。 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大 函数的极值是否一定是该函数的最值? 函数的极大值和极小值是否是唯一的? 函数的某一个极大值是否一定比该函数的某一个极小值 值未必大于极小值。 如何求极值: 教师:问题 3:回到问题一的图像,你是如何发现这些极值的? 学生:在 这些值附近的左边函数图象是上升的,右边图象是下降 的;在 这些值附近的左边函数图象是下降的,右边图象是上升的。 教师追问:函数图象的上升和下降可以用函数的什么性质来刻 划? 学生众:单调性。 教师进一步问:现在我们知道,函数的极值可以用函数的单调性 来判断;那么函数的单调性可以用什么来判断呢? 学生众:函数的导数。 教师:也即是说,我们现在可以用函数的导数来求函数的极值, 那么它们两者之间的关系是什么呢? 学生:函数在极大值点左侧切线的斜率(导数)为正,右侧为负; 函数在极小值点左侧切线的斜率(导数)为负,右侧为正。 教师:那么极值点的导数是多少呢? 学生:函数在极值点处切线的斜率(导数)为 0。 (视学生的情况 而定,可用图像描述加以简单说明;也可用反证法加以简单说明) 问题 4:讲解书中的例 4(略) 教师:通过问题 4 我们能否归纳求函数极值的步骤 学生:(1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) 。 (2)求方程 f′(x)=0 的根。 (3) 检查 f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f (x) 在这个根处取极大值; 如果左负右正,那么 f (x)在这个根处取极小 值。 巩固练习: 问题 5:求函数 的极值 解: 令 ,解得 当 时,此时 当 时,此时 当 的变化情况如下表: 0 (0, 1) 1 - 0 - 0 + 1 发现 不是函数的极值点,所以当 时,函数有极小值 小结: 是函数 处取得极值的必要不充分条件, 因此由 求出的 的 值后,一定要判断 左右两侧导数是否异号,否则不能确定 一定是 极值点。 问题 6:已知函数 f(x) =x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,求实 数 a,b 的值,并判断 f(1)=10 是极大值还是极小值 分析:f(x)在 x=1 处有极值的充要条件是 f′(1)=0 且 f′(x)在 x=1 两侧异号 解:f′(x) =3x2+2ax+b 由题意得: 解得 或 当 时,f′(x) =3x2-6x+3=3(x-1)2≥0 此时 x=1 不是极值点,故舍去。 当 时,f′(x) =3(3x+11)(x-1) 当 1 时,f′(x0)>0 所以 x=1 是极小值点,f(1)=10 是极小值 再次强调:f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x = x 0 处取得极值的必要 不充分条件,因

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