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复变函数习题答案第5章习题详解


第五章习题详解
1. 下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级: 1) 解: 2)

z (z + 1)
2

1

2

sin z1 z3

3)

1 z ? z ? z +1
3 2

4)

lz ( z + 1) z

5)

z (1 + z )(1 + e πz )
2

6)

1 e z ?1 1 z (e z + 1)
2

7)

z 2n 8) , n 为正整数 1 + zn

9)

1 sin z 2

2. 求证:如果 z 0 是 f ( z ) 的 m (m > 1) 级零点,那么 z 0 是 f

'

(z ) 的 m ? 1 级零点。

3. 验证: z =

πi
2

是 chz 的一级零点。

4. z = 0 是函数 (sin z + shz ? 2 z ) 的几级极点?
?2

1

5. 如果 f ( z ) 和 g ( z ) 是以 z 0 为零点的两个不恒等于零的解析函数,那么 两端均为 ∞ )

lim
z → z0

f (z ) f ' (z ) (或 = lim ' g ( z ) z → z0 g ( z )

,那么下列三个函数在 z = a 处各有什 6. 设函数 ? ( z ) 与ψ ( z ) 分别以 z = a 为 m 级与 n 级极点(或零点) 么性质: 1)

? ( z )ψ ( z ) ;
? (z ) ; ψ (z )

2)

3)

? (z ) + ψ (z ) ;

7. 函 数 f ( z ) =

1 在 z =1 处有一个二级极点;这个函数又有下列洛朗展开式: 2 z ( z ? 1)

1 1 1 1 , z ? 1 > 1 ,所以“ z = 1 又是 f ( z ) 的本性奇点” ; = L+ ? + 2 5 4 z ( z ? 1) ( z ? 1) ( z ? 1) ( z ? 1) 3
又其中不含 ( z ? 1) 幂,因此 Re s[ f ( z ),1] = 0 。这些说法对吗?
?1

8. 求下列各函数 f (z ) 在有限奇点处的留数:

1)

z +1 z ? 2z
2

2)

1 ? e 2z z4

3)

(z

1 + z4
2

+ 1)

3

4)

z cos z

2

5)

cos

1 1? z

6)

z 2 sin

1 z

7)

1 z sin z

8)

shz chz

9. 计算下列各积分(利用留数;圆周均取正向) 1)


z=

sin z dz z 3
2

2)

e 2z dz 2 ∫ z = 2 ( z ? 1)

3)


z=

1 ? cos z dz , 其中 m 为整数 zm 3
2

4)

z ? 2i = 1

∫ thzdz

5)

z =3

∫ tgπzdz
1

6)

z =1

∫ (z ? a ) (z ? b)
n

n

dz (其中 n 为正整数,且 a ≠ 1 , b ≠ 1 , a < b ) 。[提示:试就 a , b 与 1

的大小关系分别进行讨论。 ] 10. 判定 z = ∞ 是下列各函数的什么奇点?并求出在 ∞ 的留数:
1

1)

e

z2

解:
3

2)

cos z ? sin z

3)

2z 3 + z2

11. 求 Re s[ f ( z ), ∞ ] 的值,如果

1)

ez f (z ) = 2 z ?1

2)

f (z ) =

z ( z + 1) ( z ? 4 )
4

ez

12. 计算下列各积分, C 为正向圆周: 1)

∫ (z
C

2

+ 1) (z 4 + 2 )
2 1

z 15

3

dz , C : z = 3

2)

z3 z ∫ 1 + z e dz , C : z = 2 C

z 2n 3) ∫ dz ( n 为一正整数) C : z = r > 1 , n C 1+ z
13. 计算下列积分: 1)

∫ ∫

+∞

0

1 d? 5 + 3 sin ?

2)

+∞

0

sin 2 ? d? , (a > b > 0) a + b cos ?
1

3)

∫ (1 + x )
?∞ +∞

+∞

2 2

dx

4)

x2 ∫? ∞ 1 + x 4 dx

4

5)

∫ ∫

+∞

?∞

cos x dx x + 4x + 5
2

6)

x sin x dx ?∞ 1 + x 2

+∞

14. 试用图 5.10 中的积分路线,求例 4 中的积分:



+∞

0

sin x dx x

15. 利用公式 (5.4.1) 计算下列积分: 1) 解: 2)

1 dz z z =3

∫ ∫

z dz z =3 z ? 1
2

3)

z =3

∫ tgzdz
1

4)

z =3

∫ z(z + 1) dz

16. 设 C 为区域 D 内的一条正向简单闭曲线, z 0 为 C 内一点。如果 f ( z ) 在 D 内解析,且 f (z 0 ) = 0 ,

f ' (z 0 ) ≠ 0 。在 C 内 f ( z ) 无其他零点。试证:

1 zf ' ( z ) dz = z 0 2πi ∫ f ( z ) C

17. 设 ? ( z ) 在 C :z = 1 上及其内部解析, 且在 C 上 ? ( z ) < 1 。 证明在 C 内只有一个点 z 0 使 ? (z 0 ) = z 0 。

18. 证明:当 a > e 时,方程 e ? az = 0 在单位圆 z = 1 内有 n 个根。
z n

19. 证明方程 z ? z + 12 = 0 的根都在圆环域 1 ≤ z ≤ 2 内。
7 3

5


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